第1章 函数（练习题）(一)
一、判断题(正确与否请说明理由)
1.复合函数的定义域即的定义域.
2.设,则一定可以通过成为的函数.
3.没有既是奇,又是偶的函数.
4.若为偶函数,为奇函数,则为偶函数.
5.两个单调增函数之和仍为单调增函数.
6.两个单调增(减)函数之积必为单调增(减)函数.
7.在内处处有定义,则在内一定有界.
二、填空题
1.若的定义域为,那么的定义域为,
2.设为奇函数,为偶函数,则下列函数的奇偶性为:是 ;
是 ; 是,
3.若为奇函数,则为,
4.设在条件 下,它的反函数是其自身.
5.是由函数 复合而成的.
6.函数的定义域是 ; ;
;,
7.若,则 ;,
8.设,则,
9,的定义域为,
三、解答题
1.设,求.
2.求函数定义域.
四、应用题
1.(截面边长)将直径为的圆木料锯成截面为矩形的木材(如图),列出矩形截面两边长之间的函数关系.
(1题图)
2.(指数增长模型)生物在稳定的理想状态下,细菌的繁殖按指数模型增长,
(表示分钟后的细菌数)
假设在一定的条件下,开始时有2000个细菌,且20分钟后已增加到6000个,试问1小时后将有多少个细菌?
3.(保本分析)某公司每天要支付一笔固定费用300元(用于房租与薪水等),它所出售的食品的生产费用为1元/千克,而销售价格为2元/千克.试问他们每天应当销售多少千克食品才能使公司的收支保持平衡?
4.(停车场收费)某停车场收费标准为:凡停车不超过两小时的,收费2元.以后每多停车1小时(不到1小时仍以1小时计)增加收费0.5元.但停车时间最长不能超过5小时.试建立停车费用与停车时间之间的函数模型.
5.(指数衰减模型)设仪器由于长期磨损,使用年后的价值是由下列模型
确定的.使用20年后,仪器的价值为8986.58元.试问当初此仪器的价值为多少?
6.(贷款购房)设一个家庭贷款购房的能力是其偿还能力的100倍,而这个家庭的偿还能力是月收入的20%.
(1)试把此家庭贷款购房能力表示成月收入的函数;
(2)如果这个家庭的月收入是4000元,那么这个家庭购买住房可贷款多少?
第5章 积分学及应用(练习题)（一）
一、 判断题(正确与否请说明理由)
1..
2.若,则.
3.若,则.
4.若,则.
5.凡偶函数的原函数都是奇函数.
6..
7.若是的两个原函数,则.
8.若在上连续,,则
.
9..
10.
11.定积分的几何意义为:介于曲线、轴与直线及之间曲边梯形的面积.
二、填空题
1.同一函数的任意两个原函数之间的关系是,
2.一曲线过原点且每一点的切线的斜率等于2x,这条曲线的方程是,
3.若，且，则 。
4.，说明定积分的值与 无关。
5.若，且，则 ；
当，则 .
6.(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8) ;
(9) ; (10) ;
(11) ; (12) ;
7．如图，用阴影部分的面积表示定积分 。
y
o e x
三、选择题
1.若F(x)是函数f(x)的一个原函数,则下式中正确的是( )
A B
C D
2.
A B (是的一个原函数)
C D
3.设，则
A 是的原函数 B 是的不定积分
C 是的原函数 D 是的不定积分
4.设的一个原函数是 ,则,
A B
C D
5.设连续曲线在上与轴围城三块面积,其中在轴的下方,在轴的上方.已知则,
A B C D
6.极限,
A B C D
7.若,则,
A B C D
四、求下列积分
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7.
五、解答题
1.先利用定积分的定义计算积分,然后再用牛顿—莱布尼兹公式验证你的结果.
2.比较积分与的大小.
3.求由参数表示式所确定的函数对的导数.
4.求由所确定的隐函数对的导数.
5.求极限.
6.设,求.
7.设,求在上的表达式,并讨论在
内的连续性.
8.已知的一个原函数是,求.
9.设,求.
10.设,求.
11.求的极值点.
12.设函数满足,求.
六、应用题
1.(路程问题)一物体又静止开始运动,在秒末的速度为,问:
(1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少?
(2) 物体走完360米需多少时间?
2.(几何问题)一曲线通过点,且在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线方程.
3.(污染问题)某工厂每周向河流排放污染物的速率为,其中为排污时间(单位:周)是排放污染物的数量(单位:吨),试求
(1) 污染物总量的函数表达式;
(2) 第一年工厂排放的污染物是多少?
5.(血液中的药物水平)药物制造者研制开发了一种时间—释放胶丸,血管里药物数量是由模型
确定的,式中是时间(小时),且,求病人服用胶丸后前4个小时血管里药物的平均值.
七、积分悖论
由于,
于是.所以有.试问错在何处？
第五章 积分学及应用(练习题)（二）
一、判断题(正确与否请说明理由)
1..这样计算对吗?
2.二重积分的几何意义是以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积.
二、选择题
1.广义积分 收敛.
A B C D
2.设,其中,则,
A B C D
3.当是 围成的区域时,.
A 轴,轴及 B 直线
C D
4.,
A B
C D
三、下列各广义积分如果收敛，求其值。
1. 2.
3. 4,
5,
四、解答题
1.计算,其中是由所围成的.
2.计算,其中是由所围成的.
3.计算,其中:.
4.,是所围成的区域.
5.,是所围成的区域.
6.更换积分次序:.
四、应用题
1.(面积问题)分别用定积分和二重积分计算由曲线及所围成的面积.
2.(面积问题)计算由抛物线与直线所围成的平面图形的面积.
3.(面积问题)求位于曲线下方,该曲线过原点的切线的左方及轴上方之间的图形面积.
3.(功问题)已知引力与距离的平方成反比,现在有一个不动质点吸引一动质点,这动质点自距离不动质点处沿直线移动到距离处,试求引力所做的功.
4.(体积问题)求曲线围成的图形分别绕轴和轴旋转所得到的旋转体的的体积.
5.(体积问题)计算由三个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积.
一、判断题(正确与否请说明理由)
1.复合函数的定义域即的定义域.
2.设,则一定可以通过成为的函数.
3.没有既是奇,又是偶的函数.
4.若为偶函数,为奇函数,则为偶函数.
5.两个单调增函数之和仍为单调增函数.
6.两个单调增(减)函数之积必为单调增(减)函数.
7.在内处处有定义,则在内一定有界.
二、填空题
1.若的定义域为,那么的定义域为,
2.设为奇函数,为偶函数,则下列函数的奇偶性为:是 ;
是 ; 是,
3.若为奇函数,则为,
4.设在条件 下,它的反函数是其自身.
5.是由函数 复合而成的.
6.函数的定义域是 ; ;
;,
7.若,则 ;,
8.设,则,
9,的定义域为,
三、解答题
1.设,求.
2.求函数定义域.
四、应用题
1.(截面边长)将直径为的圆木料锯成截面为矩形的木材(如图),列出矩形截面两边长之间的函数关系.
(1题图)
2.(指数增长模型)生物在稳定的理想状态下,细菌的繁殖按指数模型增长,
(表示分钟后的细菌数)
假设在一定的条件下,开始时有2000个细菌,且20分钟后已增加到6000个,试问1小时后将有多少个细菌?
3.(保本分析)某公司每天要支付一笔固定费用300元(用于房租与薪水等),它所出售的食品的生产费用为1元/千克,而销售价格为2元/千克.试问他们每天应当销售多少千克食品才能使公司的收支保持平衡?
4.(停车场收费)某停车场收费标准为:凡停车不超过两小时的,收费2元.以后每多停车1小时(不到1小时仍以1小时计)增加收费0.5元.但停车时间最长不能超过5小时.试建立停车费用与停车时间之间的函数模型.
5.(指数衰减模型)设仪器由于长期磨损,使用年后的价值是由下列模型
确定的.使用20年后,仪器的价值为8986.58元.试问当初此仪器的价值为多少?
6.(贷款购房)设一个家庭贷款购房的能力是其偿还能力的100倍,而这个家庭的偿还能力是月收入的20%.
(1)试把此家庭贷款购房能力表示成月收入的函数;
(2)如果这个家庭的月收入是4000元,那么这个家庭购买住房可贷款多少?
第5章 积分学及应用(练习题)（一）
一、 判断题(正确与否请说明理由)
1..
2.若,则.
3.若,则.
4.若,则.
5.凡偶函数的原函数都是奇函数.
6..
7.若是的两个原函数,则.
8.若在上连续,,则
.
9..
10.
11.定积分的几何意义为:介于曲线、轴与直线及之间曲边梯形的面积.
二、填空题
1.同一函数的任意两个原函数之间的关系是,
2.一曲线过原点且每一点的切线的斜率等于2x,这条曲线的方程是,
3.若，且，则 。
4.，说明定积分的值与 无关。
5.若，且，则 ；
当，则 .
6.(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8) ;
(9) ; (10) ;
(11) ; (12) ;
7．如图，用阴影部分的面积表示定积分 。
y
o e x
三、选择题
1.若F(x)是函数f(x)的一个原函数,则下式中正确的是( )
A B
C D
2.
A B (是的一个原函数)
C D
3.设，则
A 是的原函数 B 是的不定积分
C 是的原函数 D 是的不定积分
4.设的一个原函数是 ,则,
A B
C D
5.设连续曲线在上与轴围城三块面积,其中在轴的下方,在轴的上方.已知则,
A B C D
6.极限,
A B C D
7.若,则,
A B C D
四、求下列积分
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7.
五、解答题
1.先利用定积分的定义计算积分,然后再用牛顿—莱布尼兹公式验证你的结果.
2.比较积分与的大小.
3.求由参数表示式所确定的函数对的导数.
4.求由所确定的隐函数对的导数.
5.求极限.
6.设,求.
7.设,求在上的表达式,并讨论在
内的连续性.
8.已知的一个原函数是,求.
9.设,求.
10.设,求.
11.求的极值点.
12.设函数满足,求.
六、应用题
1.(路程问题)一物体又静止开始运动,在秒末的速度为,问:
(1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少?
(2) 物体走完360米需多少时间?
2.(几何问题)一曲线通过点,且在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线方程.
3.(污染问题)某工厂每周向河流排放污染物的速率为,其中为排污时间(单位:周)是排放污染物的数量(单位:吨),试求
(1) 污染物总量的函数表达式;
(2) 第一年工厂排放的污染物是多少?
5.(血液中的药物水平)药物制造者研制开发了一种时间—释放胶丸,血管里药物数量是由模型
确定的,式中是时间(小时),且,求病人服用胶丸后前4个小时血管里药物的平均值.
七、积分悖论
由于,
于是.所以有.试问错在何处？
第五章 积分学及应用(练习题)（二）
一、判断题(正确与否请说明理由)
1..这样计算对吗?
2.二重积分的几何意义是以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积.
二、选择题
1.广义积分 收敛.
A B C D
2.设,其中,则,
A B C D
3.当是 围成的区域时,.
A 轴,轴及 B 直线
C D
4.,
A B
C D
三、下列各广义积分如果收敛，求其值。
1. 2.
3. 4,
5,
四、解答题
1.计算,其中是由所围成的.
2.计算,其中是由所围成的.
3.计算,其中:.
4.,是所围成的区域.
5.,是所围成的区域.
6.更换积分次序:.
四、应用题
1.(面积问题)分别用定积分和二重积分计算由曲线及所围成的面积.
2.(面积问题)计算由抛物线与直线所围成的平面图形的面积.
3.(面积问题)求位于曲线下方,该曲线过原点的切线的左方及轴上方之间的图形面积.
3.(功问题)已知引力与距离的平方成反比,现在有一个不动质点吸引一动质点,这动质点自距离不动质点处沿直线移动到距离处,试求引力所做的功.
4.(体积问题)求曲线围成的图形分别绕轴和轴旋转所得到的旋转体的的体积.
5.(体积问题)计算由三个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积.
