一、定积分概念的推广二、定积分的应用第四节 定积分的应用三、小结四、练习一、定积分概念的推广第四节 定积分的应用例
1
300)(/
2
3
L
tt
ttrL
润滑油多少出去，请问需要生产此发的润滑油并在需要时分次性生产该批飞机所需
），该公司要一表示飞机服役的年数（其中
，年）由下式给出：油率（单位：
用油，一年后该批飞机的适于该机型的特殊润滑种诺将为客户终身供应一后停产了，但该公司承批超音速运输机之某制造公司在生产了一
第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广记作,
a xxf d)(
也称此广义积分收敛
1.无穷区间的广义积分
bab xxf d)(lim
．若极限，且，设 baaCxf )[)(
上的，间在无穷区函数存在，则称此极限值为
)[
)(
a
xf广义积分,
第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广即类似地
1.无穷区间的广义积分
baba xxfxxf d)(limd)(
baab xxfxxf d)(limd)(
cc xxfxxfxxf d)(d)(d)(
注意,只有右端的两个广义积分都收敛时,左端才收敛,
第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广例
．计算广义积分 x
x
d
1
1
0 2?
例,计算广义积分 x
x de0 2?
计算下列广义积分
0 21 2 d1)2(d
1)1( x
x
xx
x
1.无穷区间的广义积分练一练第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广例
．计算广义积分 xx de
计算下列广义积分
02
de)2(d
1
1)1( xxx
x
x
1.无穷区间的广义积分练一练第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广也称此广义积分收敛记作,
ba xxf d)(
2.无界函数的广义积分
b
tat xxf d)(l i m
．若极限，且设
)(lim],()( xfbaCxf
ax
上的，在数存在，则此极限值为函 ]()( baxf
广义积分,
第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广即类似地
2.无界函数的广义积分
bt
at
b
a xxfxxf d)(limd)(
ba xxf d)(
t
abt xxf d)(l i m
)(lim xf
bt
第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广类似地
2.无界函数的广义积分
ba xxf d)( bcca xxfxxf d)(d)(
)(lim xf
ct
bca
注意,只有右端的两个广义积分都收敛时,左端才收敛,
第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广例
．计算广义积分 x
x
d
1
11
0 2?
例
．计算广义积分 xx dln10?
计算下列广义积分
0 1 240 2 d1)2(d
1)1( x
x
xx
x
2.无界函数的广义积分练一练第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广例
．计算广义积分 xx dc s c4
4
2
计算下列广义积分
2
2
23
2 3 2 ds e c)2(d
1
)1( xxx
x
2.无界函数的广义积分练一练二、定积分的应用
x
y
o
ba
)( xfy?
)( xgy?
如何求此平面图形的面积?
第四节 定积分的应用如图
1.平面图形的面积
)( xfy?
x
y
o
ba
)( xgy?
dxx?x
二、定积分的应用第四节 定积分的应用
1.平面图形的面积
xxgxfA d)()(dAd
平面图形的面积 xxgxfAA b
a
b
a d)()(d
面积微元二、定积分的应用第四节 定积分的应用
1.平面图形的面积例围图形的面积．
所及抛物线求由直线 xxyxy 22
例积．
所围图形的面及求由直线 3xyxy
练一练成的面积．
所围及求由曲线 2xyxy
二、定积分的应用第四节 定积分的应用如图
1.平面图形的面积
x
y
o
d
)( yx
)( yx
如何求此平面图形的面积?
二、定积分的应用
x
y
o
d
c
)( yx
)( yx
y
dyy?
第四节 定积分的应用
1.平面图形的面积面积微元
yyy
A
d)()(
d
平面图形的面积 yxxAA d
c
d
c d)()(d
二、定积分的应用第四节 定积分的应用
1.平面图形的面积例所围图形的面积．
及抛物线求由直线 xyxy 24 2
练一练成的面积．
所围及求由曲线 22 xyyx
二、定积分的应用
x
y
o
)( xfy?
ba
如何求此旋转体的体积?
第四节 定积分的应用
2.旋转体的体积如图二、定积分的应用
x dxx? x
y
o
)( xfy?
ba
第四节 定积分的应用
2.旋转体的体积
xxfV d)]([d 2
体积微元旋转体的面积 xxfV b
ax d)]([
2
二、定积分的应用如何求此旋转体的体积?
第四节 定积分的应用
2.旋转体的体积
c
d
x
y
o
)( ygx?
如图二、定积分的应用
c
d
x
y
o
)( ygx?
y
dyy?
第四节 定积分的应用
2.旋转体的体积体积微元旋转体的面积 yygV d
cy d)]([
2
yygV d)]([d 2
二、定积分的应用例转体的体积．
轴旋转而成的旋绕求椭圆 x
b
y
a
x
1
2
2
2
2
成的旋转体的体积．
轴旋转而绕求椭圆 y
b
y
a
x
1
2
2
2
2
第四节 定积分的应用
2.旋转体的体积练一练二、定积分的应用如图如何求此平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积?
o
y
x
)( xfy?
)( xgy?
a b
第四节 定积分的应用
2.旋转体的体积思考
xxgxfVVV ba d)]()([ 22小大二、定积分的应用如图如何求此平面图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积?
o
y
x
)( yx)( yx c
d
第四节 定积分的应用
2.旋转体的体积
yyyVVV dcy d)]()([ 22小大思考二、定积分的应用例积．轴旋转成的旋转体的体轴和形分别绕所围成的平面图及求由
yx
xyxy 2
的旋转体的体积．
轴旋转成轴和面图形分别绕所围成的平及求由
yx
xyxy
3
第四节 定积分的应用
2.旋转体的体积练一练三、小结
1.广义积分
(1)无穷区间上的广义积分 ;
(2)无界函数的广义积分,
2.定积分的应用
(1)平面图形的面积 ;
(2)旋转体的体积,
第四节 定积分的应用四、练习第四节 定积分的应用
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
de)6(d
1
)5(
d
1
1
)4(d
1
2
)3(
d
ln
)2(d
1
)1(
.1
3
2
2
1
0
2
0
2
e1
4
计算广义积分值．
散性．若收敛，判断下列广义积分的敛轴．轴和，分别绕，
轴；，绕，，
转所得旋转体的体积：
图形绕指定轴旋求由下列曲线所围成的
．，；，；，；，
形的面积：求由下列曲线所围成图
yxyxxy
xyxyx
yxxyyxxy
xyxyyxy
22
2222
32
)2(
00042)1(
.3
1)4(42)3(
)2(01)1(
.2
四、练习第四节 定积分的应用
1
300)(/
2
3
L
tt
ttrL
润滑油多少出去，请问需要生产此发的润滑油并在需要时分次性生产该批飞机所需
），该公司要一表示飞机服役的年数（其中
，年）由下式给出：油率（单位：
用油，一年后该批飞机的适于该机型的特殊润滑种诺将为客户终身供应一后停产了，但该公司承批超音速运输机之某制造公司在生产了一
第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广记作,
a xxf d)(
也称此广义积分收敛
1.无穷区间的广义积分
bab xxf d)(lim
．若极限，且，设 baaCxf )[)(
上的，间在无穷区函数存在，则称此极限值为
)[
)(
a
xf广义积分,
第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广即类似地
1.无穷区间的广义积分
baba xxfxxf d)(limd)(
baab xxfxxf d)(limd)(
cc xxfxxfxxf d)(d)(d)(
注意,只有右端的两个广义积分都收敛时,左端才收敛,
第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广例
．计算广义积分 x
x
d
1
1
0 2?
例,计算广义积分 x
x de0 2?
计算下列广义积分
0 21 2 d1)2(d
1)1( x
x
xx
x
1.无穷区间的广义积分练一练第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广例
．计算广义积分 xx de
计算下列广义积分
02
de)2(d
1
1)1( xxx
x
x
1.无穷区间的广义积分练一练第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广也称此广义积分收敛记作,
ba xxf d)(
2.无界函数的广义积分
b
tat xxf d)(l i m
．若极限，且设
)(lim],()( xfbaCxf
ax
上的，在数存在，则此极限值为函 ]()( baxf
广义积分,
第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广即类似地
2.无界函数的广义积分
bt
at
b
a xxfxxf d)(limd)(
ba xxf d)(
t
abt xxf d)(l i m
)(lim xf
bt
第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广类似地
2.无界函数的广义积分
ba xxf d)( bcca xxfxxf d)(d)(
)(lim xf
ct
bca
注意,只有右端的两个广义积分都收敛时,左端才收敛,
第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广例
．计算广义积分 x
x
d
1
11
0 2?
例
．计算广义积分 xx dln10?
计算下列广义积分
0 1 240 2 d1)2(d
1)1( x
x
xx
x
2.无界函数的广义积分练一练第四节 定积分的应用一、定积分概念的推广例
．计算广义积分 xx dc s c4
4
2
计算下列广义积分
2
2
23
2 3 2 ds e c)2(d
1
)1( xxx
x
2.无界函数的广义积分练一练二、定积分的应用
x
y
o
ba
)( xfy?
)( xgy?
如何求此平面图形的面积?
第四节 定积分的应用如图
1.平面图形的面积
)( xfy?
x
y
o
ba
)( xgy?
dxx?x
二、定积分的应用第四节 定积分的应用
1.平面图形的面积
xxgxfA d)()(dAd
平面图形的面积 xxgxfAA b
a
b
a d)()(d
面积微元二、定积分的应用第四节 定积分的应用
1.平面图形的面积例围图形的面积．
所及抛物线求由直线 xxyxy 22
例积．
所围图形的面及求由直线 3xyxy
练一练成的面积．
所围及求由曲线 2xyxy
二、定积分的应用第四节 定积分的应用如图
1.平面图形的面积
x
y
o
d
)( yx
)( yx
如何求此平面图形的面积?
二、定积分的应用
x
y
o
d
c
)( yx
)( yx
y
dyy?
第四节 定积分的应用
1.平面图形的面积面积微元
yyy
A
d)()(
d
平面图形的面积 yxxAA d
c
d
c d)()(d
二、定积分的应用第四节 定积分的应用
1.平面图形的面积例所围图形的面积．
及抛物线求由直线 xyxy 24 2
练一练成的面积．
所围及求由曲线 22 xyyx
二、定积分的应用
x
y
o
)( xfy?
ba
如何求此旋转体的体积?
第四节 定积分的应用
2.旋转体的体积如图二、定积分的应用
x dxx? x
y
o
)( xfy?
ba
第四节 定积分的应用
2.旋转体的体积
xxfV d)]([d 2
体积微元旋转体的面积 xxfV b
ax d)]([
2
二、定积分的应用如何求此旋转体的体积?
第四节 定积分的应用
2.旋转体的体积
c
d
x
y
o
)( ygx?
如图二、定积分的应用
c
d
x
y
o
)( ygx?
y
dyy?
第四节 定积分的应用
2.旋转体的体积体积微元旋转体的面积 yygV d
cy d)]([
2
yygV d)]([d 2
二、定积分的应用例转体的体积．
轴旋转而成的旋绕求椭圆 x
b
y
a
x
1
2
2
2
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成的旋转体的体积．
轴旋转而绕求椭圆 y
b
y
a
x
1
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2
2
第四节 定积分的应用
2.旋转体的体积练一练二、定积分的应用如图如何求此平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积?
o
y
x
)( xfy?
)( xgy?
a b
第四节 定积分的应用
2.旋转体的体积思考
xxgxfVVV ba d)]()([ 22小大二、定积分的应用如图如何求此平面图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积?
o
y
x
)( yx)( yx c
d
第四节 定积分的应用
2.旋转体的体积
yyyVVV dcy d)]()([ 22小大思考二、定积分的应用例积．轴旋转成的旋转体的体轴和形分别绕所围成的平面图及求由
yx
xyxy 2
的旋转体的体积．
轴旋转成轴和面图形分别绕所围成的平及求由
yx
xyxy
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第四节 定积分的应用
2.旋转体的体积练一练三、小结
1.广义积分
(1)无穷区间上的广义积分 ;
(2)无界函数的广义积分,
2.定积分的应用
(1)平面图形的面积 ;
(2)旋转体的体积,
第四节 定积分的应用四、练习第四节 定积分的应用
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
de)6(d
1
)5(
d
1
1
)4(d
1
2
)3(
d
ln
)2(d
1
)1(
.1
3
2
2
1
0
2
0
2
e1
4
计算广义积分值．
散性．若收敛，判断下列广义积分的敛轴．轴和，分别绕，
轴；，绕，，
转所得旋转体的体积：
图形绕指定轴旋求由下列曲线所围成的
．，；，；，；，
形的面积：求由下列曲线所围成图
yxyxxy
xyxyx
yxxyyxxy
xyxyyxy
22
2222
32
)2(
00042)1(
.3
1)4(42)3(
)2(01)1(
.2
四、练习第四节 定积分的应用
