习 题 1
1．试利用贷款各参数间的关系式，完成以下公积金贷款利率表（表1-9）．
表1-9 个人住房公积金贷款利率表年份
月数
月利率/‰
年利率/%
月还款额
本息总额
总利息
1
12
3.45
4.14
到期一次还本付息
10 414.000
414.000
2
24
3.45
4.14
434.873
10 436.943
436.943
3
36
3.45
4.14
295.863
10 651.069
651.069
4
48
3.45
4.14
226.418
10 868.043
868.043
5
60
3.45
4.14
184.798
11 087.861
1 087.861
6
72
3.825
4.59
159.154
11 459.117
1 459.117
7
84
3.825
4.59
139.421
11 711.330
1 711.330
8
96
3.825
4.59
124.656
11 967.011
1 967.011
9
108
3.825
4.59
113.205
12 226.151
2 226.151
10
120
3.825
4.59
104.073
12 488.736
2 488.736

2,某工厂有一水池，其容积为100，原有水为10,现在每10min注入0.5的水,试将水池中水的体积表示为时间 t 的函数，且问需用多少min水池才能灌满？
解 设水的体积为 V,则V=0.05t + 10
(min)
3,以速率A (单位：)往一圆锥形容器注水,容器的半径为 R cm，高为H,试将容器中水的体积 V 分别表示成时间 t 与水高度 y 的函数,
解 
4,(手机服务的选择问题)假设目前的手机收费标准是这样的：“133 环保网”的收费为每月基本费用 50 元，每通话 1 min(不足 1 min按 1 min计算)再加收 0.2 元；“神州行”无每月基本费用，但按每通话 1 min(不足 1 min按 1 min计算)加收 0.6 元计算话费．若仅在本地区使用手机，如何选择手机服务？请给出一个建议．
解 133 环保网话费为；神州行话费为
≤0时，即≥125（h）时，≤，即使用“133 环保网”所需交纳的话费较少，
若每月通话时间不足 125 min则用“神州行”合适．
5,某公司每天要支付一笔固定费用 300 元(用于房租与薪水等)，它所出售的食品的生产费用为 1 元/kg，而销售价格为 2 元/kg．试问他们每天应当销售多少 kg 食品才能使公司的收支保持平衡?
解 (kg)
6,设某商品的供给函数(即供给量作为价格的函数)为,需求函数(即需求量作为价格的函数)为,其中为价格．
(1)在同一坐标系中，画出的图形；
(2)若该商品的需求量与供给量均衡，求其价格．
解 由实际意义取
7,有一物体作直线运动，已知物体所受阻力的大小与物体的运动速度成正比，但方向相反．当物体以4m/s的速度运动时，阻力为 2 N，试建立阻力与速度之间的函数关系．
解 设
8,一架飞机起飞用油是一个固定量，着陆用油是一个(不同的)固定量，空中飞行每km用油也是一个固定量，所需的燃料总量是如何依赖于航程距离的？写出有关函数的表达式．解释表达式中常数的意义．
解 设起飞用油为，着陆用油，空中飞行用油为，则为常量，其中，其中为飞行每km用油量，为航程，因此所需燃料总量
9,财产保险要估价财产，例如对小汽车或冰箱进行估价．财产的价值将随其使用时间的加长而降低，也就是会贬值．例如最初花 100 000 元购买的小汽车，几年后只值 50 000 元．计算财产值的最简单方法是利用“贬值直线”，它假定财产价值是时间的线性函数．如果一个 1 950 美元的冰箱 7 年后贬得一文不值，求出其价值作为时间函数的表达式．
解 设财产价值为，时间为，则此线性函数可设为
时，；；
所以
10．(1) 利用表1-10中的数据确定一个形如

的公式．该公式给出了时刻  (以月计)时，兔子的数量．
(2) 该兔子种群的近似倍增期是多少?
(3) 利用你的方程预测该兔子种群何时达到1 000只．
表1-10

0
1
2
3
4
5

25
43
75
130
226
391
解 （1）解方程组：，所以公式为
（2）由得到：(月)
（3）由得到：(月)
注：求r的时候可以选取任意两组数据进行计算，也可以用其他方式进行计算，比如用各相邻两组数据的差的平均值．结果略有差异．
11,旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过 20 kg免费，超过 20 kg部分，每kg收费 0.20 元,超过50 kg部分再加收 50 %,试列出收费与物品重量的函数关系式,
解 设收费为，物重为，则当≤20时，；
≤

12,某停车场收费标准为：凡停车不超过2 h的，收费 2 元；以后每多停车 1 h(不到 1 h仍以 1 h计)增加收费 0.5 元．但停车时间最长不能超过 5 h．试建立停车费用与停车时间之间的函数关系模型．
解 设收费为，停车时间为，则当≤
≤
13,设仪器由于长期磨损，使用年后的价值是由下列模型

确定的．使用 20 年后，仪器的价值为 8 986.58 元．试问当初此仪器的价值为多少?
解 由，将代入得到：
14,生物在稳定的理想状态下，细菌的繁殖按指数模型增长:
 (表示  min后的细菌数)
假设在一定的条件下，开始时有 2 000 个细菌，且 20 min后已增加到 6 000 个，试问 1 h后将有多少个细菌?
解 
15,大气压力随着离地球表面的高度的增加而呈指数减少：

其中是海平面处的大气压力，以m计．
(1) 珠穆朗玛峰的顶峰海拔高 8 848.13 m，那里的大气压力是多少？将其表示为海平面处大气压力的百分数；
(2) 一架普通商用客机的最大飞行高度大约是 12 000 m,此高度的大气压力是多少？将其表示为海平面处大气压力的百分数．
解 
16,某工厂的空气经过过滤使得污染数量(单位：mg/L)正按照方程减少，其中表示时间（单位：h）．如果在前 5 h内消除了 10 % 的污染物：
(1) 10 h后还剩百分之几的污染物？
(2) 污染减少 50 % 需花多少时间？
(3) 画出污染物关于时间的函数图象，在图象上表示出你的计算结果．
(4) 解释污染量以这种方式减少的可能原因．
解 
(3) 图像略。
(4) 略。
17,某有机体死亡  年后所剩的放射性碳-14含量由式

给出，其中是初始量．
(1) 考古控掘出土的某头盖骨含有原来碳-14含量的15%，估计该头盖骨的年龄．
(2) 试根据此方程计算碳-14的半衰期．
解 (1) 由
(2) 
18,一幅佛m尔(Vermeer)(1632—1675)的绘画含有其原有碳-14(半衰期为5 739年)含量的 99.5 %．根据这一信息，是否能判断出该画是不是赝品，请解释理由．
解 由上一道题目
即这幅画只有40多年的历史，由画家的生卒年月判断这不会是画家的作品．
19,某动物种群数量 1 月 1 日低至 700，7 月 1 日高至 900，其总量在此两值之间依正弦曲线改变．
(1) 画出种群总量关于时间的图象．
(2) 求出种群量作为时间  的函数的表达式，其中  以月为单位计量．
解 (1)
(2)设群量为A，则
20,同一元素的不同类(称为同位素)可能具有很不同的半衰期．钚-240的衰减由公式

给出，而钚-242的衰减则由公式

给出，求钚-240和钚-242的半衰期．
解 (1) 钚-240：
(2) 钚-242：
21,某一储水池中水的深度在水的平均深度 7 m上下每隔 6 h完成一次正弦振荡．如果最小深度为 5.5 m，最大深度为 8.5 m，求出水的深度表达式(单位：h)(可能的答案很多)．
解 设水的深度表达式为：，由题意可知，周期。从而，，则水深表达式为：

其中任意。
22,在一个拥有80 000人的城市里，在时刻  得感冒的人数为

其中  是以天为单位．试求开始感冒的人数及第 4 天感冒的人数．
解　由（人）
（人）
23,将下列函数分解成基本初等函数的复合
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
解（1）由复合而成；
　（2）由复合而成；
　（3）由复合而成；
　（4）由复合而成．
24,设，，求(1)，进而求；(2) 求,
解（1）
（2）
（3）
25,求下列函数的反函数，指出定义域：
(1) ； (2) ； (3)(x ≥．
解　(1)；(2)；(3)≤≤
26,加拿大芳迪湾(Bay of Fundy)以拥有世界上最大的海潮著称，其高低水位之差达 15 m 之多．假设在芳迪湾某一特定点，水的深度 （单位：m）作为时间  的函数由

给出，其中为自 1994 年 1 月 1 日午夜以来的小时数．
(1) 解释  的物理意义．
(2) 求出  的值．
(3) 求出  的值，假定连续两次高潮位的时间间隔为  h．
(4) 解释  的物理意义．
解 (1)  表示海潮的平衡位置高度．
(2) =15/2=7.5m
(3) 
(4)  表示1994 年 1 月 1 日午夜以来海潮第一次达到最高位置的小时数。
27,设一个家庭贷款购房的能力 y 是其偿还能力 u 的 100 倍，而这个家庭的偿还能力 u 是月收入 x 的 20 %．
(1)试把此家庭贷款购房能力 y 表示成月收入 x 的函数;
(2)如果这个家庭的月收入是 4 000 元，那么这个家庭购买住房可贷款多少?

28,(1) 从表1-11中所给数据，说明区间 0≤≤4 上0的根的数目，并给出这些根的近似值的大致位置；

0
1
2
3
4

0
0.84
-0.76
0.41
-0.29
(2) 试利用图形计算器或计算机，在区间 0≤≤4 上画图验证(1)中所得结果；
(3) 利用计算器或计算机估算每个根精确到一位小数；
(4) 解释最小正根为的理由；
(5) 求出方程在区间04上所有根的精确值(如等)．
解 (1) 由题目给出的数据可得在0处有一个根，在区间(1，2)至少存在一个根，在区间(2，3)至少存在一个根，在区间(3，4)至少存在一个根．即在区间[0，4]至少存在四个根；
(2) 略；
(3) ；
(4)
(5) ,
29,决定图1-55，1-56每个图象的三次多项式．

解 (1) 图象与x轴有三个交点：，因此可设函数为：，
把代入：，因此所求方程为：
(2) 图象与x轴有两个交点，所以其中有一个是重根，如图可设，因此可设函数为，把带入得：，因此所求方程为：
30,考虑下图的图象．

(1) 此函数有多少零点？求零点的近似位置；
(2) 计算和的近似值；
(3) 该函数在 1 附近是递增的还是递减的？ 3 附近情况又如何？
解 (1) 如图可知，此函数有四个零点．
(2) 
(3) 函数在1附近是递减的，3附近是递增的．
31,(1) 考虑如图1-58(a)所示的函数，求的坐标；
(2) 考虑如图1-58(b)所示的函数，求用表示的的坐标．

解 (a) C所在的直线方程为
代入抛物线的方程，
是题目给出的交点，所以所求的交点C为
　 (b) C所在的直线方程为，代入抛物线的方程：

所求的交点C为．
32．化学反应中的催化剂是一种加速反应进程但其本身并不改变的物质．如果反应生成物本身是催化剂，该反应则称为自催化的．假设其一特定的自催化反应的速率正比于原物质的剩余量与生成物的数量的函数．
(1) 将表示为的函数；
(2) 当反应进程最快时，的值是多少？
解 设元物质总量为Q，由题意可知：
(1) ，其中k为正比例常数。
(2) 求r的最大值，可得：，即原物质剩余量p减少为原来的一半时，反应进程最快。
33．在空间直角坐标系中，说明下列各点的位置
A(3，1，2)、B(2，-3，2)、C(1，-2，-4)、D(-3，0，4)、E(0，0，-2)、F(-2，6，-2)．
解 A(3，1，2)位于第一卦限、B(2，-3，2) 位于第四卦限、C(1，-2，-4) 位于第八卦限、D(-3，0，4) 位于平面、E(0，0，-2) 位于z轴负向、F(-2，6，-2) 位于第六卦限．
34．求点M(2，3，4)关于(1)各坐标面(2)各坐标轴(3)坐标原点的对称点的坐标,
解 (1) 关于的对称点为(2，3，-4)，关于的对称点为(-2，3，4)，关于的对称点为(2，-3，4)．
(2)关于x轴的对称点为(2，-3，-4)，关于y轴的对称点为(-2，3，-4)，关于z轴的对称点为(-2，-3，4)．
(3)关于坐标原点的对称点的坐标为(-2，-3，-4)．
35,求下列各函数的定义域，并画出定义域的图形：
(1)； (2) ；
(3) ； (4) ．
36,某公司生产中使用 I 和 II 两种原料，已知 I 和 II 两种原料分别使用x单位和y单位可生产U单位的产品，这里并且第 I 种原料每单位的价值为10元，第 II 种原料每单位的价值为 4 元，产品成品每单位的售价为 40 元，试给出其利润函数．
解 其单位产品利润为 P=单位价格-单位成本=
37,一个灯泡悬吊在半径为r的圆桌正上方，桌上任一点受到的光照度与光线的入射角的余弦值成正比(入射角是光线与桌面的垂直线之间的夹角)，而与光源的距离平方成反比．试求桌子边缘所得到的光照度．

38,在平行四边形ABCD中，已知，，M为对角线 AC 与 BD 的交点，试用 a，b 表示，，，．
解 所以

39,已知|a|=5，|b|=3，|a + b|＝7，求|a - b|．
解 设两向量之间的夹角为，则由余弦公式，所以，
所以|a－b|
40,由坐标系的原点到一点所引的向量称为这一点的向径,已知在平行四边形 ABCD 中，三个顶点 A、B、C的向径表达式为：＝，＝，＝，试求向径的表达式，如图 1-59 所示,

解 
41,一条东西走向的河流，水由东流向西，流速为 1 km/h，某游泳者从河南岸的 A 点以 2 km/h的速度游往对岸，方向为正北,若河的宽度为4km，画图分析游泳者的真实游泳方向，然后求解：
(1) 游泳者的游动速度？
(2) 游泳者花多长时间可以游至对岸？所游的路程为多少？
解 (1)
(2) （h），所游路程为：（km）
42,求下列各对点之间的距离
(1) 点 A(0，0，0)与点 B(-2，3，1)； (2) 点 C(5，2，-3)与点 D(-1，3，-2),
解 (1) 
(2) 
43,在x轴上求与点A(1，2，3)和B(-2，-3，5)等距离的点,
解 设这个点为：，则
解之可得：
44,在 yOz 面上，求与点 A(4，-2，- 2),B(3，1，2)和 C(0，5，1)等距离的点,
解 设这个点为：，则
解之得：，所以这个点为
45,已知 a=i＋j - 4k，b=2i -2j＋k，试求：、|a|,|b|及(),
解 =； |a|=,|b|=
cos()=
46,已知|a|＝4，|b|＝5，()=，试求：
(1)  (2) (a + b) (3) (3a - 2b)((2a + 3b)
解 


47,已知= i＋3k，=j＋3k,(1)求△OAB的面积；(2)求与之间的夹角正弦,
解 　，
，，所以
所以三角形的面积为
48,已知a＝(2，- 3，1)，b＝(1，- 1，3)，c＝(1，- 2，0)，计算下列各式：
(1) ()c - ()b (2) 
解　(1) ()c - ()b=(2 + 3 + 3)c - (2 + 6 + 0)b=(0，-8，-24)
(2) (-8，-5，1)(1，-2，0)
49,一架飞机在某高度并以常速600km/h飞行，一架歼击机瞄准了这一飞机前进路线上的 P 点，以便对它射击．飞机距 P 点2km时，歼击机以 1 200 km/h的速度飞行，并且距离 P 点 4 km，又若两机相距5km。问此时的距离减少速度为多少？
解 画图易知，两机位置及P点构成的三角形，与两速度向量和距离减少速度向量组成的三角形相似。从而可知，距离减少速度为1 500 km/h。
习 题 2
1. 一动点与两定点 (2，1，3) 和 (4，5，6) 等距离，求此动点的轨迹，并说明它表示一个什么样的曲面．
解,设动点坐标为（x，y，z），根据两点间距离公式得

即  为动点轨迹的方程．
所以，该动点的轨迹是一个平面．
2. 方程表示什么曲面？
解：将已知方程配方得

所以，原方程表示以（1，(2，(1）为球心，半径为的球面．
3. 求经过点 ，且法向量为 i＋j＋k 的平面方程,
解：设所求平面为 ，法向量为 ．由点法式得

即  为所求平面的方程．
4. 一平面经过点 (1，0，-2)，且平行于平面2x＋3y－5z＝0，试写出其法向量，并写出平面的方程．
解：设所求平面为 ，法向量为 
已知平面：，其法向量 
因为 ,所以 ，即  （为非零常数）
又因点（1，0，(2）在平面 上，所以由点法式得

即  为所求平面的方程．
5. 求经过三点P(2，3，0)，Q((2，(3，4)，R(0，6，0) 的平面方程，并根据方程写出其法向量．
解：法1 设所求平面方程为
 　（1）
依题意得  　（2）
解（2）式得  （3）
将（3）式代入（1）式得 
当  时, 即为所求平面的方程，且法向量为 
法2　设所求平面为 ，法向量为 
依题意 ,
因为P、Q、R都在平面上，所以 ,,即 
且 ，（l为非零常数）
所以 
即  为所求平面的方程，且法向量为 ．
6. 求经过两点 (1，(5，1) 和 (3，2，(2)，且平行于y轴的平面方程．试写出其参数方程．
解：由于平面平行y轴,设所求平面方程为
 　（1）
将已知点代入（1）式得
 　（2）
解（2）式得  （3）
再将（3）式代入（1）式得

即  为所求平面的方程．
令 ，则其参数方程为 
7. 一平面经过点(4，1，(2)，它在x轴和y轴上的截距分别为2和1，求其方程．并将其转化为平面的参数方程．
解：设所求平面方程为
 （1）
依题意 ，点（4，1，(2）代入（1）式得 
即所求平面方程为 
令  则平面的参数方程为 
8. 求与坐标原点O及点 (2，3，4) 的距离之比为2(1的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？试给出其参数方程．
解：设曲面上的动点坐标为 
依题意 
即  为所求曲面方程（是一个球面）．
其参数方程为 
9. 确定下列各旋转曲面的一般方程与参数方程：
(1) xOy面上的直线  绕y轴旋转；
(2) xOz面上的圆  绕x轴旋转；
(3) yOz面上的抛物线  绕y轴旋转,
解：（1） 将方程  两边平方得 
再将上式中的  换为  得 ，此式即为所求旋转曲面的方程．
其参数方程为 
（2）将方程中的  换为  即得旋转曲面方程

该方程表示球心为（(1，0，0），半径为2的球面，其参数方程为

（3）将抛物线方程中的  换为  即得绕 y轴旋转的曲面方程

其参数方程为 
10,说明下列旋转曲面是怎样形成的：
（1）；（2） ；（3） ；
（4） ．
解：（1） 注意到方程中  前面的系数一样，
所以该曲面是由曲线  或曲线  绕 x 轴旋转而成的．
（2） 由于方程中  前面的系数一样．
所以该曲面是由曲线  或曲线绕 y 轴旋转而成的．
（3） 因为方程中前面的系数一样．
所以该曲面是由曲线  或曲线  绕 x 轴旋转而成的．
（4）由于方程中  前面的系数一样．
所以该曲面是由曲线  或曲线  绕 z 轴旋转而成的．
11,指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴：
(1) ； (2) ； (3) ；(4) ．
解：（1）由于方程中  前面的系数一样．
所以母线为  或 ，旋转轴为 z 轴．
（2）由于方程中  前面的系数一样．
所以母线为  或 ，旋转轴为 z 轴．
（3）由于方程中  前面的系数一样．
所以母线为  或 ,旋转轴为 y 轴．
（4）由于方程中  前面的系数一样．
所以母线为  或 ，旋转轴为 x 轴．
12,说明下列柱面所对应的母线特征与准线方程，并给出其参数方程，画出其草图：
(1) ； (2) ； (3) ．
解：（1） 因为方程中缺少坐标 y,所以该柱面的母线平行于 y轴，且准线方程为 
其参数方程为 
（2）因为方程中缺少坐标 x,所以该柱面的母线平行于 x 轴，且准线方程为
其参数方程为 
（3）因为方程中缺少坐标x，所以该柱面的母线平行于
x轴，且准线方程为 ．
其参数方程为 
13,指出下列方程表示怎样的曲面，试写出其参数方程：
(1) x+(z－a)＝a； (2) z＝－；(3) xy＝4z．
解：（1）因为方程中缺少坐标 y,所以该方程表示母线平行于y轴的柱面．
其参数方程为 
（2）由于方程中  前面的系数一样．
所以该曲面是由曲线  或曲线  绕 z 轴旋转而成的旋转曲面．
（3）由于方程中  前面的系数一样．
所以该曲面是由曲线  或曲线  绕 z 轴旋转而成的旋转曲面．
14,画出下列方程所表示的曲面，试给出它们的参数方程：
(1) x+；(2) x+y＝4z；(3) ．
解：（1）所给方程表示一个椭球，其参数方程为

（2）所给方程表示一个旋转抛物面，其参数方程为

（3）所给方程表示一个开口向下的椭圆抛物面，其参数方程为

15．按指定条件求出直线方程：
（1）平行于直线且经过点（(1，2，1）；
解：法1：经过点平行于两个平面的直线，可以由经过点分别平行于两个平面的平面相交而成，因而所求直线即为过点分别平行于已知平面的两个平面的交线．
过点（(1，2，1）平行于的平面方程为
即
过点（(1，2，1）平行于的平面方程为
即
因此所求直线的一般方程为：
法2：直线的方向向量为 (1，1，(2)((1，2，(1) = (3，(1，1)，所以直线的方程为：

（2）经过两点（3，(2，(1）和（5，4，5）；
解：根据两点式得：
（3）经过点（(5，1，4）且和平面=０垂直；
解：因为直线与平面垂直，因此直线的方向向量与平面的法向量平行，可取直线的方向向量为（3，(1，2），则直线的标准方程为：
16．试求下列直线的标准方程：
（1）；
解：法1：①2+②消去z，，，代入①得到

所以直线的标准方程为：
法2：直线的方向向量为(2,3,-1) (3,-5,2)=(1,-7,-19)
直线上一点
所以直线的方程为,
（2）；
解：法1：②代入①得到：，
②变形后即得：
所以所求方程为：．
法2：直线的方向向量为(1，-1，-2) (0，1，-6)=(8，6，1)
直线上一点为（-2，3，0）
所以直线方成为　．
17．两条直线的夹角是指两条直线的方向向量所夹的角（0），求下列两直线之间的夹角：
（1）；
解：第一条直线的方向向量为：（3，(2，1），第二条直线的方向向量为（2，1，3）
设两条直线的夹角为，则，因为0，所以
（2）；
解：经过变形得到：
第一条直线的标准方程为，即为（3，4，(1）,
第二条直线的标准方程为，即为（2，(1，2）,
所以，.
18,证明两直线垂直．
解：经过变形得到：
第一条直线的标准方程为，即为（1，(1，2）,
第二条直线的标准方程为，即为（0，2，1）,
所以，.
所以两条直线垂直．
19．确定下列方程组所表示的曲线并画出草图：
（1）；
解：两个三元一次方程表示两个平面，因此此方程组表示的是两个平面的交线．
图略．
（2）；
解：第一个方程表示一个球面，第二个方程代表一个锥面．他们的交线是一个圆图略．
（3）；
解：第一个方程表示一个抛物面，第二个方程表示一个平面．它们的交线是一个圆．
图略．
20．将空间曲线的参数方程化成一般方程．
解：由①，②可得：；由①③可得：
曲线为以上两曲面的交线，所以曲线的一般方程为：
21．指出下列方程组在平面直角坐标系下与在空间直角坐标系下分别表示什么图形．
（1）；
解：平面直角坐标系下这两个方程表示两条直线的交点．空间直角坐标系下表示两个平面的交线．
（2）；
解：平面直角坐标系下表示一个椭圆和一条直线的的交点（其实是切点）；
空间直角坐标系下表示一个柱面和一个平面的交线（一条）．
22．分别求出母线平行于 x 轴及 y 轴并且通过曲线  的柱面方程。
解：要求母线平行于 x 轴且过已知曲线的柱面方程，只要将方程组的 x 消去即可：
①-②×2得：
同理母线平行于 y 轴且过所给曲线的柱面方程只要将方程组的 y 消去：
①+②得：
23．求球面与平面的交线在 xOy 面上的投影方程．
解：过此交线且母线平行于 z 轴的柱面方程为：，
整理得：，所以交线在 xOy 面上的投影方程为：
24．求旋转抛物面≤≤在三坐标面上的投影：
解：
≤≤≤
≤，≤≤
≤
25．求曲线在 xOy 面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线．
解：消去 z 得到：；
原曲线可化为，由此可知是一条抛物线．
26．指出下列方程所表示的曲线：
（1）；
解：将②代入①得到，所以是一条双曲线．
（2）；
解：将②代入①得到，是一条抛物线．
（3）；
解：将②代入①得到，为一椭圆．
27．求直线  向上平移1个单位，又向左平移2个单位，最后按逆时针旋转所得的直线方程，并画出变换后的图形，给出所用的变换表达式．
解：变换表达式①为：，代入直线方程得：；
变换表达式②为：，代入直线方程得：；
变换表达式③为：，代入方程为：

28,在单位圆周上均匀撒布 360 个点，将仿射变换作用其上后，试研究有无不变的向量或变到相反方向的向量．
需编程解决．解略．
29,在单位圆周上随机撒布一批点，经过多次仿射变换后，试研究有无不变的向量或变到相反方向的向量．
需编程解决．解略．
30,当一架超音速飞机在高空中飞行时，由于飞机的速度比声速快，所以人们常常先看到飞机在天空中掠过，片刻之后才能听到震耳的隆隆声．问题是，在同一时刻，天空中的什么区域内可以听到飞机的声音．
(1) 设空间有一点声源，它在  时发出的声波以音速向四面八方传传播，经过时间s之后所能达到的最大传播范围是一个以声源为心的球面，球面半径恰好是声波在 s 时间内所传播的距离，因此，人们常把声波称为球面波，以为半径的球面称为 s 时的波前．想像能听到飞机声音的区域是什么形状的．
(2) 以  时飞机的位置为坐标原点，以飞机前进的方向作为 x 轴，建立三维直角坐标系．当时，飞机处在点，试给出 [0，a] 时间段内任一时刻 s，飞机所发出的球面波的波前的方程．
(3) 试消去 s，求包围能听到飞机声音区域(即上述球面所充斥区域)的曲面的方程．
解：（1）应为锥形区域。
（2）容易得到，时，飞机处于．由于波前为一球面，且其半径为，因此，此时刻的波前方程为：

　（3）由于任一时刻的波前球面与所述锥形区域相切，从而可知锥顶角的一半．从而锥面的方程为．将代入方程即得：飞机声音区域(即上述球面所充斥区域)的曲面的方程为：

习 题 3
1,试按 n 的几种不同取法，求数列与数列的极限近似值，观察所得计算结果，以检验两个公式的正确性.
解：取n=3i，（i=1，2，3，……）时，计算得
i
1
2
3
4
5
6
7
8

2.370 37
2.581 17
2.669 59
2.701 69
2.712 71
2.716 42
2.717 66
2.718 07

0.981 584
0.997 944
0.999 771
0.999 975
0.999 997
1.
1.
1.
取n=5i，（i=1，2，3，……）时，计算得
i
1
2
3
4
5
6
7

2.488 32
2.665 84
2.707 49
2.716 11
2.717 85
2.718 19
2.718 26

0.993 347
0.999 733
0.999 989
1.
1.
1.
1.
取n=10i，（i=1，2，3，……）时，计算得
i
1
2
3
4
5

2.593 74
2.704 81
2.716 92
2.718 15
2.718 27

0.998 334
0.999 983
1.
1.
1.
可以看出，公式：成立.
2,设数列满足及，写出这一数列的前 10 项，考察所给数列的变化趋势，进而猜测这一数列的极限值.
解：
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
xn
1.
1.732 05
1.931 85
1.982 89
1.995 72
1.998 93
1.999 73
1.999 93
1.999 98
2.
从表中可以看出：.
事实上，当判定数列确实存在后，设,对两边取n→∞时的极限可得：

两边平方，整理后得到方程：a2–a–2=0,解得：a=2（–1是这个无理方程的增根，舍去），与刚才的结果相同.
3,复利，即利滚利，不仅是一个经济问题，而且是一个古老又现代的经济社会问题,随着商品经济的发展，复利计息将日益普遍，同时，复利的期限将日益变短，即不仅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率.
（1）设本金为 p，年利率为 r，若一年分为 n 期，每期利率为 r/n，存期为 t 年，则本利和为多少?
（2）现某同学有元，年利率，存期年，请按（ⅰ）季度；（ⅱ）月；（ⅲ）日；（ⅳ）小时,计算本利和；
（3）猜测以连续复利（即随时计算利息并加入本金）的方式计算时，本利和为多少？
解：
（1）设本金为 p，年利率为 r，若一年分为 n 期，每期利率为 r/n，则本利和为：
第 1 期后 
第 2 期后 
第 n 期，即一年后 
这样，t 年后，本利和为 （1）
（2）某同学有 p=1 000 元，年利率，存期，那么
（ⅰ）按季度计息，即 n=4，代入（1）式，计算本利和约为 1 126.49 元；
（ⅱ）按月计息，即 n=12，代入（1）式，计算本利和约为 1 127.16 元；
（ⅲ）按日计息，即 n=365，代入（1）式，计算本利和约为 1 127.49 元；
（ⅳ）按小时计息，即 n=365×24，代入（1）式，计算本利和约为 1 127.5 元.
（3） 以连续复利计息，即随时计算利息并加入本金的方式计算，此时即求 n→∞ 时（1）的极限，，从而本利和为pert.
4,在求极限时，若相邻两次的计算结果（在符合精度要求的条件下）相同时，则认为计算结果已达到精度要求，计算停止，并取计算结果为极限的近似值,请用这一方法研究极限：

解：计算结果列表如下：
n
…
1998
1999
2000
…
2997
2998
2999
3000
…
表达式的值
…
2.567 64
2.567 65
2.567 66
…
2.575 85
2.575 85
2.575 86
2.575 86
…
5,根据给定函数的图形，求解以下极限问题：
（1） （i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）；（vii）.
题图见教材。
解：如图可得：
（i）=2
（ii）=0
（iii）由于≠，故不存在.
（iv）=2
（v）=2
（vi）=0
（vii）≠，故不存在.
（2）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）.
解：如图可得：
（i）=0
（ii）=0
（iii）由于=，故=0.
（iv）没定义
（v）=+∞
（vi）=+∞
（3）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）.
题图见教材。
解：如图可得：
（i）=–∞
（ii）=–∞
（iii）因为==–∞，故=–∞
（iv）=1
（v）=2
（vi）=2
（4）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）.
解：如图可得：
（i）=3
（ii）=3
（iii）由于==3，故=3
（iv）=3
（v）=0
（vi）不存在
（5）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）.
题图见教材。
解：如图可得：
（i）=–∞
（ii）=+∞
（iii）由于≠，则不存在.
（iv）没定义
（v）=0
（vi）=2
（6）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）.
解：如图可得：
（i）=1
（ii）=–∞
（iii）因为≠，故不存在.
（iv）=3.5
（v）=+∞
（vi）=+∞
6,计算下列各极限：
（1）；
解：=–3
（2）；
解：=12×3=36
（3）；
解：==–3
（4）；
解：
（5）；
解：
（6）；
解：
（7）；
解：
7,计算下列各极限：
（1）；
解：
（2）；
解：
（3）；
解：
（4）；
解：
（5）；
解：
（6）；
解：

8,在距建筑物 L m 处看建筑物的视角为，由此可知建筑物的高度为.
（1）当m，时，试用公式计算建筑物的高度；
（2）当很小时，由于与是等价无穷小，从而可将公式近似为，求（1）中的，比较二者的结果.
解：（1）当m，时，=500×tan6°≈52.552 1（m）
（2）用近似公式计算为（m），它比（1）中的精确值较小，且误差较大.
9,已知某药物在人体内的代谢速度与药物进入人体的时间 t 呈现函数关系,试画出该函数的大致图形，并求出代谢速度最终的稳定值（即时的极限）.
解：函数大致图形如下：

注意到，从而代谢速度最终的稳定值是 24.61.
10,假定某种疾病流行天后，感染的人数 N 由下式给出：

（1）从长远考虑，将有多少人染上这种病？
（2）有可能某天会有 100 多万人染上病吗？50 万人呢？25 万人呢？（注：不必求出到底哪天发生这样的情形.）
解：
（1） 注意到，故从长远考虑，将有 100 万人染上这种病.
（2） 不会有 100 多万人染上这种病，但可能某一天会有 50 万人或 25 万人染上它.
11,设清除费用与清除污染成分的 x % 之间的函数模型为

求（1）；（2）；（3）能否 100 % 地清除污染.
解：
（1） 
（2） 
（3） 由（2）可知，要想 100 % 地清除污染，清除费用是无限大的，因此不能否 100 % 地清除污染.
12,已知生产 x 对汽车挡泥板的成本是（单位：元），每对的售价为 40 元,于是销售收入为.
（1）出售 x+1 对比出售 x 对所产生的利润增长额为

当产量稳定、生产量很大时，这一增长额为，试求这一极限值；
（2）生产了 x 对挡泥板时，每对的平均成本为，同样当产品产量很大时，每对的成本大致是，试求这一极限.
解：（1）

求，实质上是求

于是，
（2）
13,放入 200 ℃ 烤炉中的甘薯的温度 T 由下列关于时间 t 的函数给出：

其中 T 的单位是 ℃，t 以 min 为单位，k>0.
（1） 若甘薯的初始温度为20℃，求与
（2） 若甘薯温度又满足（℃/min），求 k.
解：（1）放入 200 ℃ 烤炉中的甘薯的温度 T 随着时间的变化，将趋近 200 ℃，即有
 （1）
又甘薯的初始温度为 20 ℃，即有
T(0)=a(1–e–k×0)+b=b=20
将 b=20，代入（1）式，得 a=180.
（2）

令1–e–kt=u，则，且当 t→0 时，u→0，将它们代入上式，得

　　　
图3–26 　图3–27
又由条件，得到 k=1/90.
14,分形几何中有一种曲线，叫Koch雪花（图3–26），它可通过递归方法生成,设有一个边长为1的正三角形；将其每一边三等分，以中间三分之一段为边向外作正三角形，如图3–27所示，每一条边生成四条新边；又将得到的多边形的每一条边三等分，都以中间三分之一段为边向外作正三角形，……，如此进行下去,每一次等分并向外作正三角形称为一次递归.
（1）写出第一个三角形的周长，一次递归所得多边形的周长，二次递归所得多边形的周长，……，n 次递归所得多边形的周长；
（2）写出第一个三角形的面积，一次递归所得多边形的面积，二次递归所得多边形的面积，……，n 次递归所得多边形的面积；
（3）求（1）（2）中所得通项当时的极限，并考虑为什么会有这样的结果.
解：（1）最初三角形的周长是 P0=3.
将其每一边三等分，以中间三分之一段为边向外作正三角形，每一条边生成四条新边，新边长为原来边长的1/3，故一次递归所得多边形的周长为.
依次进行下去，得二次递归所得多边形的周长，
……
n 次递归所得多边形的周长.
（2）最初三角形的面积是.
将其每一边三等分，以中间三分之一段为边向外作正三角形，生成三个新三角形，每个的面积为原来三角形面积的1/9，故一次递归所得多边形的面积为.
依次进行下去，得二次递归所得多边形的面积，
……
注意，递归中：（1）每一条边生成四条新边；（2）下一步，四条新边共生成四个新的小三角形，得到 n 次递归所得多边形的面积

（3）有（1）、（2）可得

这意味着 Koch 雪花具有有界的面积，无穷大的边长.
15,由实验知，在培养基充足等条件满足时，某种细菌繁殖的速度与当时已有的数量 A0 成正比，即 v=kA0（为比例常数），为求经过时间以后细菌的数量，试按以下过程进行计算：
（1）为求时的细菌数量，将时间间隔 [0，t] 分成等份，将每一等份中的细菌繁殖速度近似看作不变时，计算第一段时间末的细菌的总数量；第二段时间末的细菌的总数量；……；归纳给出最后一段时间末的细菌的总数量（注：这只是细菌数量的一个近似值）；
（2）当时间间隔分得越细时，（1）中所得值越接近时的细菌总数量，试用你所学的知识求这里的精确值──即求时细菌总数量的精确值；
（3）若测得 5 天时的细菌总数为 936 个，10 天时的细菌总数为 2 190 个，用（2）中所得公式，求开始时的细菌个数与 60 天后细菌的总数.
解：
（1）为了计算出时的细菌数量，我们将时间间隔 [0，t] 分成 n 等份,由于细菌的繁殖是连续变化的，在很短的一段时间内数量的变化很小，繁殖速度可近似看作不变，因此，在第一段时间内细菌繁殖的数量为：，第一段时间末细菌的总数量为；同样，第二段时间末的细菌的总数量为；……；依此类推，到最后一段时间末的细菌的总数量为.
（2）显然，（1）计算出的结果只是细菌数量的一个近似值，因为我们假设了在每一小段时间（i=1，2，…，n）内细菌繁殖的速度不变（同时还假设了各小段时间内只繁殖一次）,可以看出，当时间间隔分得越细（即当 n 等份时，n 越大）时这个值越接近精确值，若对时间间隔无限细分（即当 n 等份时，n→∞），则可求得其精确值,所以，经过时间 t 后细菌的总数是

将这个结果与第 3 题中连续复利的计算公式比较，发现二者是一样的,这并不偶然，事实上，现实世界中不少事物的生长规律都服从这个模型，所以也称 y=Aekt 为生长函数.
（3）细菌繁殖服从生长函数 y=A0ekt,由题目所给数据，得

解此方程组，得A0=，k=,即开始时细菌个数为400,按此速度增长下去，则 60 天后细菌个数为
y（60）= A0e60k≈1.076 78×107
16.（兔子问题）“有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生产小兔一对，以后每月生产一对小兔,而所生小兔也在第二个月成年，第三个月生产小兔一对，以后也每月生产小兔一对,假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？”这一生产过程可用一树状图来表示，如图3–28所示，其中●表示未成年兔，○表示成年兔.
（1）试用树状图计算出一年内各月末小兔的数量，考察邻近三个月小兔数量间联系，给出计算小兔数量的递推关系，最后计算出一年后的小兔数量；
（2）试用数学归纳法证明，n 月后小兔的总量满足如下公式

（3）利用（2）中通项公式，求两个比值极限：与的精确值，用精确值给出近似值，并将结果与黄金分割值0.618作比较.
解：（1）从图3–28可以看出，自三月份开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和,按规律可以写出数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144
可见一年后共有兔子 144 对.
这是一个有限项数列，按上述规律写出的无限项数列就叫做 Fibonacci 数列，其中的每一项称为 Fibonacci 数.
若设 F1=1，F2=1，F3=2，F4=3，F5=5，……，则此数列应有下列递推关系：
Fn+2=Fn+1+Fn （n=1，2，3，……）
（2）用数学归纳法证明，月后小兔总量的公式是：
 （2）
当 n=1 时，
当 n=2 时，
当 n=3 时，，满足递推关系式（1）.
假设当n<k+1时，（2）满足递推关系式（1），即有Fn+2=Fn+1+Fn （n=1，2，3，……，k–2）.
那么，当n=k+1时，

也满足递推关系式（1），有数学归纳法可知公式（2）成立.
（3）∵

∴
由于，从而
故

前者刚好就是黄金分割值.
17,为求极限（其中与h无关）的值，考察图3–29，图3–29中标明了的和（是的增量，即为h）.
（1）通过仔细考查图形可知：
扇形 OAQ 的面积△OQR 的面积扇形 OBR 的面积试用一个数学不等式表示这一关系；
（2）利用（1）中不等式，求本题中的极限
.
解：（1）考查图形可知：
扇形 OAQ 的面积△OQR 的面积扇形 OBR 的面积
即：

（2）由上式可得

两边取 h→0 时的极限，得到

18,求下列函数的定义域，并判断函数的连续性：
（1）；
解：是初等函数，故它在定义区间（–∞，+∞）上是连续的.
（2）；
解：定义区域：
{（x，y）|sin（x2+y2）+1≠0}
={（x，y）|sin（x2+y2）≠–1}
={（x，y）|x2+y2≠2kπ–π/2，k是正整数}
是多元初等函数，故它在定义区域上是连续的.
（3）；
解：函数的定义域是（–∞，+∞）.
当 x<4 时，f（x）=2x+3 是初等函数，从而是连续的.
当 x>4 时，f（x）=7+16/x 是初等函数，且在其上有定义，从而也是连续的.
下面考察 x=4 时，函数的连续性.
由于
故，即
于是，f（x）在 x=4 处是连续的.
综上可得，函数在定义域上是连续的.
（4）；
解：函数的定义域是（–∞，+∞）.
当x≠1时，f（x）=是初等函数，且在其上有定义，从而是连续的.
下面考察 x=1 时，函数的连续性.
由于，从而当 x→1 时，函数极限不存在.
于是，f（x）在 x=1 处是间断的.
综上可得，函数在（–∞，1）∪（1，+∞）上是连续的.
（5）
解：定义区域：{（x，y）|1–x2–y2–z2>0}={（x，y）| x2+y2+z2<1}
是多元初等函数，故它在定义区域上是连续的.
19,设 1g 冰从–40 ℃ 升到 x ℃ 所需的热量（单位：J）为

试问当 x=0时，函数是否连续?并解释它的几何意义.
解：由于
故，从而当 x→0 时，函数极限不存在.
于是，f（x）在 x=0 处不连续.
由模型的物理意义可以知道，x=0 是1g 冰从–40 ℃ 升到 x ℃ 所需的热量的临界值，升温所需热量是不同比例的.
20,设某城市居民的用水费用的函数模型为

其中为用水量（单位：t），为水费（单位：元）
（1）求；（2）是连续函数吗?（3）画出的图形.
解：（1）由于

故，故
于是，f（x）在 x=4 处是连续的.
（2）函数的定义域是（0，+∞）.
当 0≤x<4.5 时，f（x）=0.64x 是初等函数，从而是连续的.
当 x>4.5 时，f（x）=2.88+5×0.64（x–4.5）是初等函数，从而也是连续的.
下面考察 x=4.5 时，函数的连续性.
由（1）可知，
于是，f（x）在 x=4.5 处是连续的.
综上可得，函数在定义域上是连续的.
（3）的图形如下：

21,用二分法求方程 x3–4x+1=0 在区间[1，2]内的根.
解：令f（x）= x3–4x+1,由于 f（1）=–2<0，f（2）=1>0，故方程 x3–4x+1=0 在区间[1，2]内有根,可以证明，在该区间，方程只有一个根.
用二分法求近似根，使其绝对误差不超过 0.001,为此，只需作 n≥log2(2–1)–log2(2×10–3)≈8.965 78 即 9 次二分区间，就可达到精度.
计算结果，列表如下：
i
ai
bi
mi=（ai+bi）/2
f（mi）
1
1.
2.
1.5
–1.625
2
1.5
2.
1.75
–0.640 625
3
1.75
2.
1.875
0.091 796 9
4
1.75
1.875
1.812 5
–0.295 654
5
1.812 5
1.875
1.843 75
–0.107 33
6
1.843 75
1.875
1.859 38
–0.009 128 57
7
1.859 38
1.875
1.867 19
0.040 992 3
8
1.859 38
1.867 19
1.863 28
0.015 846 6
9
1.859 38
1.863 28
1.861 33
0.003 337 69
于是，求得方程 x3–4x+1=0 在区间[1，2]内的近似根是 1.861 33，可与精确值 1.860 81 比较.

图3–30
22,图 3–30 为函数的大致图形，求方程所有实根的近似值（精确到三位有效数字）.
解：由图可知y(–2)<0，y(–1)>0及y(1)>0，y(2)<0，故方程在区间[–2，–1]及[1，2]内各有一根.
用二分法求[–2，–1]内的近似根，使其绝对误差不超过 0.001,为此，只需作n≥log2[–1–（–2）]–log2（2×10–3）≈8.965 78 即 9 次二分区间，就可达到精度.
计算结果，列表如下：
i
ai
bi
mi=（ai+bi）/2
f（mi）
1
–2.
–1.
–1.5
1.437 5
2
–2.
–1.5
–1.75
–2.628 91
3
–1.75
–1.5
–1.625
–0.347 9
4
–1.625
–1.5
–1.562 5
0.602 036
5
–1.625
–1.562 5
–1.593 75
0.141 952
6
–1.625
–1.593 75
–1.609 38
–0.099 180 3
7
–1.609 38
–1.593 75
–1.601 56
0.022 325
8
–1.609 38
–1.601 56
–1.605 47
–0.038 191 7
9
–1.605 47
–1.601 56
–1.603 52
–0.007 874 5
于是，求得方程  在区间[–2，–1]内的近似根是–1.603 52，可与精确值–1.603 01比较.
用二分法求[1，2]内的近似根，使其绝对误差不超过 0.001,为此，只需作 n≥log2[2–1]–log2（2×10–3）≈8.965 78 即 9 次二分区间，就可达到精度.
计算结果，列表如下：
i
ai
bi
mi=（ai+bi）/2
F（mi）
1
1.
2.
1.5
–1.562 5
2
1.
1.5
1.25
1.308 59
3
1.25
1.5
1.375
0.050 537 1
4
1.375
1.5
1.437 5
–0.707 535
5
1.375
1.437 5
1.406 25
–0.316 911
6
1.375
1.406 25
1.390 63
–0.130 354
7
1.375
1.390 63
1.382 81
–0.039 208 2
8
1.375
1.382 81
1.378 91
0.005 838 54
9
1.378 91
1.382 81
1.380 86
–0.016 641 2
于是，求得方程在区间[1，2]内的近似根是 1.380 86，可与精确值 1.379 41比较.
23,对函数在区间[–5，5]上实行离散化，从离散化数值表，找出函数在这一区间上的单根区间（即其中只有一个根的区间）（注：函数在所给区间中有三个根）.
解：将区间[–5，5]十等分，计算函数值如下：
x
–5
–4
–3
–2
–1

y
–1.919 14
–1.908 42
–2.
–1.593 99
–0.528 482

x
0
1
2
3
4
5
y
1.
–2.
34.945 3
239.026
1 144.56
4 747.22
从表中可以看出，函数在（–1，0）、（0，1）、（1，2）内各有一个零点.
24,用计算器给出函数在区域[–1，1]×[–1，1]上纵横坐标均十等分节点处的离散化数值表,利用数值表求出函数在这一区间上的最小值.
解：计算结果列表如下：
x y
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
–1
0.987 766
0.958 195
0.919 258
0.880 555
0.852 005
–0.8
0.958 195
0.904 996
0.841 471
0.779 851
0.734 291
–0.6
0.919 258
0.841 471
0.750 308
0.660 219
0.591 127
–0.4
0.880 555
0.779 851
0.660 219
0.535 995
0.432 455
–0.2
0.852 005
0.734 291
0.591 127
0.432 455
0.279 087
0
0.841 471
0.717 356
0.564 642
0.389 418
0.198 669
0.2
0.852 005
0.734 291
0.591 127
0.432 455
0.279 087
0.4
0.880 555
0.779 851
0.660 219
0.535 995
0.432 455
0.6
0.919 258
0.841 471
0.750 308
0.660 219
0.591 127
0.8
0.958 195
0.904 996
0.841 471
0.779 851
0.734 291
1
0.987 766
0.958 195
0.919 258
0.880 555
0.852 005

x y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–1
0.841 471
0.852 005
0.880 555
0.919 258
0.958 195
0.987 766
–0.8
0.717 356
0.734 291
0.779 851
0.841 471
0.904 996
0.958 195
–0.6
0.564 642
0.591 127
0.660 219
0.750 308
0.841 471
0.919 258
–0.4
0.389 418
0.432 455
0.535 995
0.660 219
0.779 851
0.880 555
–0.2
0.198 669
0.279 087
0.432 455
0.591 127
0.734 291
0.852 005
0
0.
0.198 669
0.389 418
0.564 642
0.717 356
0.841 471
0.2
0.198 669
0.279 087
0.432 455
0.591 127
0.734 291
0.852 005
0.4
0.389 418
0.432 455
0.535 995
0.660 219
0.779 851
0.880 555
0.6
0.564 642
0.591 127
0.660 219
0.750 308
0.841 471
0.919 258
0.8
0.717 356
0.734 291
0.779 851
0.841 471
0.904 996
0.958 195
1
0.841 471
0.852 005
0.880 555
0.919 258
0.958 195
0.987 766
从表中可以看出，函数在区域[–1，1]×[–1，1]上的最小值是 0,事实上，容易知道函数在区域[–1，1]×[–1，1]上的最小值和最大值分别为0、，而正弦函数 sin u 在区间[0，]上是单调递增的，从而，得到在区域[–1，1]×[–1，1]上的最小值是 0.
25,试记录某天中午 10~12 时的室外温度变化（离散化点数自定），给出温度随时间的变化列表,画出这一温度函数的散点图.
解：略.
习 题 4
1,若函数 p(t) 表示在时刻 t 某种产品的价格，则在通货膨胀期间，p(t) 将迅速增加,假设某国家的经济正处于通货膨胀时期，该国总统的经济观察员发现，通货膨胀速率正在减慢,于是在不久以后的某次发布会上，总统说：“通货膨胀仍然存在，但已经在控制之下，不久物价将会稳定下来”.
(1) 用导数描述为什么“通货膨胀仍然存在”；
(2) 用导数描述为什么总统相信“通货膨胀已经在控制之下”；
(3) 用导数描述总统的预言“不久物价将会稳定下来”.
解,(1) 在通货膨胀期间，p(t) 将迅速增加，而 p(t) 表示在时刻 t 某种产品的价格，因此，

表示“通货膨胀仍然存在”.
(2),通货膨胀已经在控制之下”意味着通货膨胀增长的速率在下降，也就是 p(t) 增加的速率在下降，此时，.
(3) 所谓“不久物价将会稳定下来”是指存在某时刻 t0，物价 p(t) 将不再增加，于是，存在点 t0，使得.
2,一跳伞运动员从一架飞机上跳下,假设在伞打开期间，跳伞运动员下落的位移为，其中 s 的单位为m，t 的单位为s,
(1) 求跳伞者在区间[5，5.01]和[4.99，5]上的平均速度；
(2) 求跳伞者在 t=15 时的瞬时速度；(提示：时，)
(3) 求跳伞者在 t=5 时的瞬时加速度.
解：(1) 跳伞者在区间[5，5.01]上的平均速度是：

跳伞者在区间[4.99，5]上的平均速度是：

(2) 方法1.(用导数的极限定义)
跳伞者在 t=15 时的瞬时速度是：

方法2.(用导数的物理意义，先求出导函数，再求出一点处的导数值)
∵v(t)==986 (0.835tln0.835)+176
∴跳伞者在 t=15 时的瞬时速度是：v(15)==164.109 (m/s)
(3) 注意到，瞬时加速度 a 是速度的导数，是位移的二阶导数，所以跳伞者在 t=5 时的瞬时加速度为
a(5)==986 (0.835tln20.835)|t=5=13.0141(m/s2)
3,用导数定义求函数在 x=0 点的导数.
解：依导数定义，在 x=0 点的导数是

4,一块凉的甘薯被放进烤箱，其温度 T (单位：℃)由函数给出，其中 t（单位：min）从甘薯放进烤箱开始计时.
(1) 的符号是什么？为什么？
(2) 的单位是什么？有什么实际意义？
解：(1) 若>0，则 f(t) 是增函数，所以，随着时间的推移，甘薯温度不断升高；
若<0，则 f(t) 是减函数，所以，随着时间的推移，甘薯温度不断下降.
(2) 由导数的定义式，可知的单位是℃/min.
表示，在第 20 min时刻，甘薯温度升高的瞬时速率为 2℃/min.
5,若取较小的 h 值，利用计算器可得，如下所示：
表4–5　2x 在 x=0 附近不同的差商值
h
2h
差商：
–0.000 3
–0.000 2
–0.000 1
0
0.000 1
0.000 2
0.000 3
0.999 792 077
0.999 861 380
0.999 930 688
1
1.000 069 32
1.000 138 64
1.000 207 97
0.633 075
0.693 099
0.693 123
0.693 171
0.693 195
0.693 219
若取更小的 h 值，利用计算器可得，如下所示：
表4–6　2x 在 x=0 附近更多的差商

的差商

0.693 149 6

0.693 15

0.693

0.7

0
评论表中的差商,特别地，为何最后一个等于零？当时，你预计此时的差商等于多少？
解：首先计算

这和表中较小的 h 值所对应的差商差不多,但当h值进一步减小，例如当 h=10–12 时，差商

而与 1 十分接近，在计算器计算(–1)时，由于机器精度的原因，它将忽略为 0，从而差商的值，计算器显示为 0,可以预见，当 h=10–20 时，计算器计算得到的差商也为 0.
如果当 h=10–12 时，计算差商，我们让计算器采取下面的方法：

将会得到一个较好的近似值 0.693 237,这是由于先计算，增强了的精确度.
6,求解以下函数的导数或指定点的导数值：
(1) ；
解：∵
∴=–2cotxcsc2x
(2) ；
解：∵
∴

(3) ；
解：

(4) ，求；
解：∵
∴
(5) ，求；
解：∵

∴
(6) ；
解：

7,求下列函数的二阶导数：
(1) ；
解：∵
　∴

(2) ；
解：∵
∴
8,落在平静水面上的石头使水产生同心波纹，若最外一圈波纹的半径增大率总是 6 m/s，问在 2 s末被扰动水面的面积增大率是多少？
解：设在 t s末被扰动水面的面积为S(m2)，在 t s末波半径是 6t(m)，则
S=π(6t)2=36πt2
于是，=72πt，所以在 2 s末被扰动水面的面积增大率是
(2)=72π×2=144π(m2/s)
9,一气球从离观察员 500 m 处离地铅直上升，其速度为 140 m/s，当气球的高度为 500 m 时，观察员的视线的倾斜角增加的速度是多少？
解：设观察员的视线的倾斜角为 A，气球上升的高度为 h，A 与 h 均是时间 t 的函数,由于
tanA=h/500
所以
A=arctan(h/500)
由题设条件可知，气球上升的速度是，那么，当气球的高度为 500 米时，观察员的视线的倾斜角增加的速度是
(弧度/s)
10,设以 50 cm3/s 的速率把气体打进一个球形的气球内，假定气球的压力不变，而且气球总是一个球形，问当气球的半径为 5 cm 时，气球半径的增加率是多少？
解：设气球的半径为 r(cm)，气球的体积为 V(cm3)，它们都是时间 t 的函数,对V=r3，两边关于 t 求导，得

依题设，气球体积增大的速率是(cm3/s)，于是，当气球的半径为 5 cm 时，气球半径的增加率是
(cm/s)
11,设某产品一周的产量为，其中 x 是装配线上劳动者的人数,如果现在有 60 人在装配线上.
(1) 计算，看看一周产量的实际变化.
(2) 求，并解释一下，由于增加一个人，一周产量变化的情况.
解：(1) Q(61)–Q(60)=(200×61+6×612)–(200×60+6×602)=926
(2)
由此可知，在现有 60 人的装配线上再增加一个人，一周产量约增加 920.
12,植物发生光合作用的大小 P(x) 取决于光的强度 x，P(x)=145x2–30x3.
(1) 求光合作用 P 关于光强度 x 的变化率(光合作用的速率).
(2) 当时，时，光合作用的变化率是多少?
(3) 当时，时，光合作用速率的变化率是多少?
解：(1) 光合作用 P 关于光强度 x 的变化率是.
(2) 当 x=1 时，光合作用的变化率是
当 x=3 时，光合作用的变化率是
(3) 光合作用速率的变化率是，于是，
当 x=1 时，光合作用速率的变化率是
当 x=3 时，光合作用速率的变化率是
13,在一烤箱里放入一块甘薯，并保持炉温 200 ℃,假定 t=30 min 时，甘薯的温度以 120 ℃/h 的速度增加,牛顿冷却(在这里是加热)定律说明，时刻的温度由下式给出：

求和.
解：由于炉温保持在 200 ℃，所以甘薯最终也将升温为 200 ℃，于是，得

这样，

在 t=30 min=0.5 h 时，甘薯的温度以 120 ℃/h 的速度增加，故有

即：

将已求得的 a=200，代入上式，可得方程 200be–0.5b–120=0.
对于函数 f(b)= 200be–0.5b–120，令
=0
于是，当 b<2 时，f(b) 单调增加；当 b>2 时，f(b) 单调减少.
又f(0)=–120<0，f(2)=400e–1–120>0，f(4)=800e–2–120<0，容易知道 f(b) 在区间(0，2)、(2，4)各有一个零点，这两个零点也是 f(b) 的全部零点,求得b≈0.978 804或3.562 67.
14,某种滑板的销售量 q 取决于销售价格 p，设为给定，.
(1) 从和中，对滑板的销售情况有何了解？
(2) 滑板的销售总收入 R 由 R=pq 给出，求；
(3) 的符号是什么？若眼下每副滑板卖 140 元，是提高还是降低该价格才能使总收入增加？
解：(1) 由可知，滑板的销售价格定为 140 时，滑板的销售量是 15 000；
由可知，在滑板的销售价格定为 140 时，销售价格上调 1，那末销售量将减少 100.
(2) ∵R=pq=pf(p)

(3) 的符号是正的，说明在 p=140 的附近，R 是增函数，也就是说，此时提高该价格能使总收入增加.
15,听到由大众媒介散布的某传闻的人数 N，可通过下列关于时间 t （单位：d）的函数模型给出：

假设总人口中有 200 000 人最终听到了此传闻，如果其中 10 % 的人在第一天听到，求与，设以天为单位.
解：由假设，总人口中有 200 000 人最终听到了此传闻，从而
N=200 000.
又N=a(1–e–kt)=a(显然 k>0，否则，N 是无穷大，与题设不符)
得到 a=200 000.
因为在 200 000 人中有 10 % 的人在第一天听到，所以
200 000×10 %=200 000×(1–e–k)
解得 k=ln(10/9)≈0.105 361
16,通过心脏的血液流动分析导出了下列形式的函数：，由于绝对值函数在时不可导，因而可以说在时也不可导.
(1) 通过在原点附近放大，考察在时的可导性.
(2) 利用当时，得出当时不含绝对值符号的表达式，利用此表达式找出右侧的斜率.
(3) 利用时，找出左侧的斜率.
(4) 从(2)和(3)的答案，说明在处的可导性.
解：(1) 将函数的图形在原点放大(见下)，可以明显的看到，在原点附近函数图象是光滑的，这说明函数在时可导.

(2) 当时，得出，于是右侧的斜率是

(3) 当时，得出，于是左侧的斜率是

(4) 由(2)和(3)可知，从而有

即，这说明函数在处可导.
17,在时刻 T=0 开始放电的某电容器，其电荷量 Q 由下式给出：

其中 R、k 为由电路决定的正常数，电路中的电流 I 由给出：
(1) 求时的电流 I，时的电流 I.
(2) 时，定义 I 可能吗？
(3) 时函数 Q 可导吗？
解：(1) 时，电流
时，电流
(2) ∵

又 k>0
∴，即时函数不可导，从而没有定义.
(3) 由(2)的讨论，知道时函数不可导.
18,求下列函数的偏导数：
(1) ；
解：


(2) ；
解：

由 y 与 x、z 与 x 的对称性，可得


(3) ；
解：

(4) ；
解：

19,如果将美元存入银行，年息，年后将拥有美元，其中

(1) 求，假定，都为常量，对于资金来讲，意味着什么？
(2) 求，假定，都为常量，对于资金来讲，意味着什么？
解：(1) 
当，都为常量，对于资金来讲，表示 B 随时间 t 的变化率，也就是 t 增加 1 个单位，B增加.
(2) 
当，都为常量，对于资金来讲，表示 B 随 r 的变化率，也就是 r 增加 1 个单位，B 增加.
20,设某厂生产 x 个单位的产品 A 与 y 个单位的产品 B 的成本为
C(x，y)=50x+100y+x2+xy+y2+10 000
试求与，并解释所得结果的经济意义.
解：∵
∴=50+2×10+20=90，它表示此时再多生产 1 个单位的产品 A，总成本将增加90个单位.
∵
∴=100+10+2×20=150，它表示此时再多生产1个单位的产品 B，总成本将增加150个单位.
21,例 31 中，讨论函数在区间上的单调性，先求导、求驻点，可分出单调区间、、、,在区分单调增加与单调减少区间时改用以下方法：
分别在区间内各任取一 x 值，比如对应上述区间分别取，，，，求各点处的导数值可得如下结果：




由上述导数值情况可以断定，所讨论函数在区间、上单调增加，在区间、上单调减少.
试问，为什么可以这样做？
解：注意到在上述单调区间内部，导数的符号是确定的，要么为正，要么为负,于是，我们可用该区间内某一点的导数值的符号，来确定该区间内导数的符号，然后就可以给出单调性的判别了.
22,求下列函数的增减区间：
(1) ；
解：函数的定义域是(–∞，+∞)
令=0
又 x3–3x+2=x(x–1)2+2x2–4x+2=x(x–1)2+2(x2–2x+1) =x(x–1)2+2(x–1)2=(x–1)2(x+2)
可得方程的解为 x=–2，x=1,于是，列表：
x
(–∞，–2)
(–2，1)
(1，+∞)

–
+
+
y
单调减少
单调增加
单调增加
(2) ；
解：函数的定义域是(0，+∞)
令=0
可得方程的解为 x=–0.5(负根，舍去)，x=0.5,于是，列表：
x
(0，0.5)
(0.5，+∞)

–
+
y
单调减少
单调增加
(3) y=2sinx+cos2x（0≤x≤2π）；
解：函数的定义域是[0，2π]
令=0
又 cosx–sin2x=cosx–2sinxcosx=cosx(1–2sinx)
可得方程在区间[0，2π]的解为x=π/6，π/2，5π/6，3π/2,于是，列表：
x
[0，π/6]
(π/6，π/2)
(π/2，5π/6)
(5π/6，3π/2)
(3π/2，2π)

+
–
+
–
+
y
单调增加
单调减少
单调增加
单调减少
单调增加

23,图 4–16 为的图形，它表示某种国家级保护动物在 t 时刻存在的总数量.
(1) 确定在与时刻的导数、、、各自的正负符号；
(2) 在与时刻，预想研究这种国家级保护动物的动物学家会分别做出什么结论？
解：(1) 从的图形可以看出，是一个增函数，从而可以断定>0、>0；再注意到在附近，是凹函数，故有>0；在附近，是凸函数，故有<0；
(2) 在时刻，动物学家会认为：在今后的一段时间内，动物总量增长速度将加快；在时刻，动物学家会认为：在今后的一段时间内，动物总量增长速度将逐渐慢下来.
24,在经济学中，“总效用”指的是对消费某些商品总的满意程度,根据经济学家萨缪尔逊(Samuelson)的观点：当你消费更多的同类商品时，总（心理上的）效用就会增加,但是随着新的商品的不断涌现，你的总效用会按照越来越慢的速度增长，这是由于一个根本倾向促成的，即你鉴赏更多的商品的心理能力变得更迟钝.
(1) 画出随着消费的商品数量不断变化的总效用的函数图像.
(2) 就导数意义而言，萨缪尔逊告诉了我们什么？
解：(1) 如图，横轴表示商品数量，纵轴表示总效用.
(2) 设 f(x) 表示总效应函数，x 表示消费的商品数量,由“消费更多的同类商品时，总效用会增加”，可知 f(x) 是增函数，故有>0,由“随着新的商品的不断涌现，总效用会按照越来越慢的速度增长”，可知 f(x) 是凸函数，故有<0.
25,假设代表在时刻时某公司的股票价格，请根据下面的每一陈述判断的一阶和二阶导数的符号为正还是为负.
(1),股票价格上升得越来越快”；
(2),股票价格接近最低点”.
解：
(1),股票价格上升”说明是增函数，故有>0；价格上升得“越来越快”说明是凹函数，故有>0.
(2),股票价格接近最低点.”说明是减函数、凹函数，故有<0、>0.
26,设多项式函数恰有两个局部极大值和一个局部极小值.
(1) 画出的一个可能的图像.
解：函数恰有两个局部极大值和一个局部极小值，那么极小值点必然位于两个极大值点中间，如图：
(2) 最多能有几个零点？
解：从图中看出，x 轴与至多会有 4 个交点，于是最多能有 4 个零点(不相同的).
(3) 至少能有几个零点？
解：由的特性可知，在定义域上的最大值只能在极大值点取得，那末当两个极大值都小于 0 时，就没有零点了.
(4) 最多能有几个拐点？
解：多项式函数在定义域上是可导的，所以极值一定在驻点上取得，而有 3 个极值点，所以有 3 个不等实根,若出现有重根，那么重数一定是奇数，否则，经过该点不会改变符号，从而不取得极值，与题设矛盾,这样，不妨令=A(x–a)m(x–b)n(x–c)k，其中系数A≠0，a、b、c互不相等，m、n、k是正奇数,于是，
=A[m(x–a)m–1(x–b)n(x–c)k+n(x–a)m(x–b)n–1(x–c)k+k(x–a)m(x–b)n(x–c)k–1]
=A(x–a)m–1(x–b)n–1(x–c)k–1[m(x–b)(x–c)+n(x–a)(x–c)+k(x–a)(x–b)]
很明显，若a、b、c是的零点，那么它们也是偶次重根，从而经过它们时，不改变的符号，也就是说它们不是的拐点,这样，至多有两个单根，即最多能有 2 个拐点.
(5) 是奇次的还是偶次的，你是如何知道的？
解：由(4)的讨论可知，是奇次多项式，所以是偶次的.
(6) 最少是几次的？
解：多项式函数在定义域上是可导的，所以极值一定在驻点上取得，而恰有两个局部极大值和一个局部极小值，这说明有 3 个驻点，即至少是 3 次多项式，于是最少是 4 次的.
(7) 求的一个可能表达式.
解：例如 f(x)=–x4+2x2.
27,函数表示一个质量为 m 的物体在弹簧的底端的振动,常量 k 体现了弹簧的“弹性”.
(1) 找出在哪一时刻物体离平衡位置最远？哪一时刻物体运动得最快？哪一时刻其加速度最大？
(2) 振动的周期 T 是多少？
(3) 求，从的正负符号中能获取什么信息？
解：
(1) 当时，即或时(n 是整数)，物体离平衡位置最远.
物体运动速度是，于是，或时(n 是整数)，物体运动得最快.
物体运动加速度是，于是，或时(n 是整数)，物体加速度最大.
(2) 物体振动的周期.
(3) 
的符号是正的，说明随着物体质量的增加，振动周期也增加.
28,求下列函数在指定区间上的最大值和最小值：
(1) 
解：由>0，知道 y 在定义域上是增函数，从而 y 在[0，4]上的最大值在 x=4 处取得，y(4)=8；y 在[0，4]上的最小值在 x=0 处取得，y(0)=0.
(2) 
解：令=2cos2x–1=0，在上解得 x=，计算函数值

比较大小，可知 y 的最大值是，y 的最小值是.
(3) ，
解：
注意分子，令f(x)=1+10x2–6x4–3x6
当 x>2 时，=20x–24x3–18x5=2x(10–12x2–9x4)<0，故 f(x) 在 x>2 时，是递减的,这样，x>2 时，f(x)<f(2)<0，从而有<0,于是，知道当 x∈[2，10]时，y 是减函数，所以 y 的最大值是 y(2)=2，y 的最小值是 y(10)=3 010/9 901.
(4) ，
解：当 x<0 时，=4x3–18x2+2x–3<0，所以，x<0 时，y 是减函数，这样在区间上，y 的最大值是 y(–2)=74，y 的最小值是 y(0)=0.
(5) 
解：令 y=0，解得二次方程 x2–3x–2=0 的根为∈[–10，10],从 y 的图像可知它们是 y 的尖点，从而也是不可导点.
由可求得 y 的驻点，x=3/2.
计算函数值：
y(–10)=128，y(10)=68，，y(3/2)=17/4.
比较大小，可知 y 的最大值是 y(–10)=128，y 的最小值是.
29,(最优批量问题) 设你是某工厂的业务厂长，你的任务之一就是定期订购某种原料,如果每次订货费为 4 000 元，每天货物的贮存费为 200 元/t，每天工厂对原料的需求量为 10 t,在不会缺货的情况下，你应如何设置订货周期 T 与订货量 Q 以使这部分费用最省？设开始时，原料的存货量为零，并从第一批订货到达时开始计时，最大贮存量为 100 t.
解：设每隔 T 天订一次货(T 称为订货周期)，订货量为 Q t，当存货量降到零时，订货立即到达,工厂对原料的需求量是匀速的：10 t/天，于是，Q=10T,订货后贮存量由 Q 均匀的下降，这样，一个订货周期的贮存费用是：=100QT=1000T2(元),所以，一个订货周期T内的总费用为 4 000+1 000T2，我们要使每天的平均费用 C(T) 最小，

注意到，最大贮存量为 100 t，就有 Q≤100，从而 T≤10.
问题转变为求 C(T) 在(0，10)上的最小值.令
=0
得驻点 T=2 (舍负),列表：
T
(0，2)
2
(2，10)

–
0
+
C(T)
单调递减
极小值
单调递增
所以，订货周期 T=2 天，订货量 Q=10T=20 t时可使费用最省.
30,一个鹿群的数量可依照模型来估算，其中以月为单位.
(1) 鹿群数量是怎样随时间变化的？画出在一年内的函数图像.
(2) 利用该函数图像判断在什么时候鹿群达到最大值，最大值等于多少？有最小值吗？
(3) 利用该图像判断在什么时候鹿群数量增长得最快，什么时候减少得最快？
(4) 大致估计在七月初时鹿群数量的变化有多快.
解：(1) 鹿群数量以周期 1 (月)变化，如图所示：

(2) 从图像可以看出，每月中旬鹿群数量达到最大值，最大值等于 4 500,本月月末或下月月初鹿群数量达到最小值 3 500.
(3) 当函数在一点处导数最大时，即该点处切线斜率最大，鹿群数量增长得最快，从图中可以看出此点在每月距月初 1/4 处,当函数在一点处导数最小(为负)时，即该点处切线斜率(为负)最小，鹿群数量减少得最快，从图中可以看出此点在每月距月末 1/4 处.
(4) 七月初，正值鹿群数量最少，此点切线斜率是 0，所以可以认为此时鹿群数量变化速度缓慢，基本保持不变.
31,一火车锅炉每小时消耗煤矿的费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当火车车速为 20 km/h 时，耗煤矿价值 40 元/h，其他费用需 200 元/h,甲、乙两地相距 s km，问火车行驶速度如何，才能使火车由甲地开往乙地的总费用最省？
解：设火车行驶速度为 v (km/h)，那么火车锅炉每小时消耗煤矿的费用是 kv3,当火车车速为 20 km/h 时，耗煤矿价值 40 元/h,即有 40=k203，解得比例系数 k=1/200,甲、乙两地相距 s km，总费用是，v>0.令

得惟一驻点10(舍负)，根据问题的实际意义知道一定取得最小值，故当火车行驶速度设定为10(km/h)，总费用最省.
32,轮船 A 位于轮船 B 以东 75 n mile处，以 12 n mile/h 的速率向西行驶，而轮船B 则以 6 n mile/h 的速率向北行驶,问经过多长时间，两船相距最近？
解：设经过 t h，两船相距 s n mile，则：

欲求 s 在 0≤t≤25/4 上的最小值，只需求 u=(75–12t)2+36t2 在其上的最小值.令
=2(75–12t)×(–12)+36×2t=360t–1 800=0
得驻点 t=5，列表：
t
[0，5]
5
(5，25/4)

–
0
+
u(t)
单调递减
极小值
单调递增
所以，经过 5 h，两船相距最近.
33,设每亩(1亩)地种植梨树 20 棵时，每棵梨树产梨 300 kg的梨子.若每亩种植梨树超过 20 棵时，每超种1棵，每棵产量平均减少 10 kg.试问每亩种植多少棵梨树才能使亩产量最高？
解：设每亩种植 x 棵梨树时，亩产量是 f(x)，则

对于二次函数 y=(500–10x)x，易知有极大值点 x=25(>20)，极大值为 f(25)=6 250 kg 与 f(20)=6 000 kg 比较，可知每亩梨树种植 25 棵才能使亩产量最高.
34,某房地产公司拥有 100 套公寓，当每套公寓的租金为 1 000 元时，公寓可全部租出.当月租金每增加 25 元时，公寓就会少租出一套.请你为公司的月租金定价，使得公司的收益最大？并检验得出的结论.
解：设每套公寓的月租金为 x 元，公司的总收益是 f(x)，则

对于二次函数 y=140x–x2/25，易知有极大值点 x=1 750(>1 000)，极大值为 f（1 750）=122 500(元)与 f（1 000）=100 000(元)比较，可知月租金定价为 1 750 元，可使公司的收益最大.
35,一长方形土地，其一边沿着一条河，相邻一边沿着公路,除沿河的一边不需要篱笆外，其他三边均需要修筑篱笆,沿公路的一边篱笆的造价为 15 元/m，另两边的篱笆造价为 10 元/m,现需围长方形土地的面积为 1 600 000 m2,试问如何设计长方形土地的尺寸，才能使篱笆的造价成本最低？
解：设篱笆沿着公路的那边长 x m，这样，篱笆的造价成本是

令
解得，x=800 m,这是惟一的驻点，由问题的实际含义可知，最小值一定存在,于是，当篱笆沿着公路的那边长 800 m，另一边长 2 000 m时，造价成本最低.
36,假设某种野生动物的总数由公式确定,其中 t 以年计，当 t 是多少时，野生动物总数增加最快？
解：野生动物总数增加速度是
为了研究动物总数增加速度的快慢，先求导

令，即只需1–9(0.7)t=0，得驻点.
列表：
t
[0，6.160 3]
6.160 3
(6.160 3，+∞)

+
0
–
v(t)
单调递增
极大值
单调递减
这样，在第6.160 3年野生动物总数增加最快.
37,设生产件产品的总成本由下式给出：

(1) 固定成本(即不生产产品时的成本)是多少？
(2) 如果每件产品的价格为 7 元(假定生产的产品全部售出)，最大利润是多少？
(3) 当固定的生产水平为 34 件产品时，每件价格提高 1 元，则少卖出 2 件,问是否应当提高价格？如果是，价格应当提高多少？
解：
(1) 固定成本 C(0)=0.
(2) 产品利润是 L(q)=7q–C(q)=7q–(0.01q3–0.6q2+13q)=–0.01q3+0.6q2–6q (q>0)
令，得驻点,由，知

我们找到惟一的极大值点，由问题的实际含义，最大利润一定存在，故产量为≈34.142 1 时，有最大利润≈136.569 元.
(3) 当固定生产水平为 34 件产品时，每件定价 x 元，则产品利润是
L(x)=[34–2(x–7)]x–C(34)=–2x2+48x–141.44 x>7
这是二次函数，易知 x=12(>7)是它的最大值点，最大值为 L(12)=146.56 元，于是应当提高价格至 12 元.
38,服用一剂药剂量为 D 所产生的病人体温的变化 T 由下式给出：

其中 C 是正常数.
(1) 多大剂量的药使体温变化最大？
(2) 在药的剂量为 D 时，身体对药物的敏感度定义为，当 C=1 000，D=300 时，敏感度是多少？
(3) 当 C=1 000 时，多大剂量的药物，身体敏感度最大？
解：
(1) 体温变化快慢由决定，而(D>0)是关于 D 的二次函数，易知它有最大值，即当 D=C/2 时体温变化最大.
(2) 由(1)的推导知，当 C=1 000，D=300时，敏感度是
(3) 由(1)的推导知，当 C=1 000 时，D=1 000/2=500 身体敏感度最大.
39．落在地面某处的一座烟囱的烟尘，其浓度反比于该处至烟囱距离的平方,在两座相距 20 km 的烟囱的连线上，距其中一座烟囱 x km 处的混合烟尘浓度由下式给出：

其中，是正常数，取决于每座烟囱喷出的烟尘量,如果，求两烟囱连线上的一点，使该点烟尘浓度最小.
解：问题即求函数 0<x<20 的最小值.

为了求出驻点，只要计算三次方程的根，这里利用卡当公式，可求得惟一的实根m，根据问题的实际意义，该点烟尘浓度最小.
40,一张唱盘(或光盘、磁盘)上的信息(例如音乐的时间长度)储存在声道上，每条声道沿唱盘走上一圈，无论声道靠近唱盘中心，还是在唱盘边沿，所带的信息量都是相同的.
(1) 上述结论的理由是什么？
(2) 设 b 是能够存于一个声道上每厘米信息的最大可能密度,设 R（单位：cm）是固定的外半径，a 是径向每厘米的声道数,磁盘内半径多大时，才使储存的总信息量最大？
解：
(1) 由于唱盘工作时，是等角速转动的，这意味着无论声道靠近唱盘中心，还是在唱盘边沿，所带的信息量都应当是相同的.
(2) 设存储区的半径介于 r 与 R 之间，故声道数最多可达(R–r)a,由于每条声道上的信息量相同，为获得最大存储量，最内一条声道必须装满，即每条声道上的信息量可达到 2πrb,所以，唱盘总存储量=声道数×每条声道上的信息量，即
B(r)=(R–r)a×2πrb=2πabr(R–r) 0<r<R
它是关于 r 的二次函数，易知它有最大值点 R/2，亦即磁盘内半径为 R/2 时，可使储存的总信息量最大.
41,(1) 比亚一天的活动如下：上午在华盛顿大学上课，下午在东圣路易斯工作，晚上去她最喜欢的酒吧喝酒，在家吃早饭和晚饭,她应当在这条路上何处找一所公寓，使每天往返距离最短(如图4–17所示)？
(2) 她的同事玛丽·乔西早饭(在家吃)前要去拱门路附近的体操馆，一天中其余活动则与比亚一样，她应当在这条路上何处找一所公寓？
图4–17 图4–18
解：(1) 设比亚的公寓距华盛顿大学 x km处(0≤x≤22)，于是她每天的往返距离是：早上去华盛顿大学(x km)，中午去东圣路易斯(8+12+2=22 km)，傍晚在家吃饭((22–x) km)，饭后去酒吧并且又回家来(2|8–x| km)，即

这是由两个一次函数构成的分段函数，从它们的斜率可以看出来，随着 x 的增大，s(x) 先减后增，并且 s(x) 在分段点 x=8 处连续,于是，可以断定，x=8 时，s(x) 有最小值，即比亚在酒吧附近找所公寓，可以使每天往返路程最短.
(2) 设玛丽的公寓距华盛顿大学 x km 处(0≤x≤22)，于是她每天的往返距离是：早饭前去拱门路并且再回家吃早饭(2|20–x| km)，然后其余活动与比亚相同，即

这是由两个一次函数和常函数构成的分段函数，从它们的斜率可以看出来，随着 x 的增大,s(x) 先减小，然后保持一段水平后逐渐递增，并且 s(x) 在分段点 x=8，20 处均连续,于是，可以断定，x 在区间[8，20]一段上，是 s(x) 的最小值，即玛丽在酒吧至拱门路一段路上找所公寓，均可以使每天往返路程最短.
42,从漂泊在湖面的一只船(图 4–18 中点 B)上放飞一只鸽子，由于凉爽水面上方下沉的气流，在湖面上飞行 1 m所需能量是在堤岸上方飞行所需相应能量 E 的两倍(E=3 J/m)为了使从点 B 飞至鸽巢 L 所需的能量最少，鸽子先飞到堤岸上某点 P，再沿堤岸飞到 L,
(1) 把从 B 飞到 L 所需的能量表示为角(∠BPA)的函数.
(2) 最佳角度是多少？
(3) 若 AL，AB 及 E 取不同数值，答案改变吗？
解：
(1) 设 AL=a(m)，AB=b(m)，则
BP =Abcscθ= bcscθ
PL =AL–AP=AL–Abcotθ=a–bcotθ
于是，鸽子从 B 飞到 L 所需的能量为
f(θ)=BP×2E+PL×E=2E bcscθ+E(a–bcotθ)=E[a+b(2cscθ–cotθ)] 0<θ≤π/2
(2) 为了使鸽子耗费能量 f(θ) 最小，注意到 a、b、E 都是正常数，只需 u=2cscθ–cotθ 最小，为此，令=–2cscθcotθ+csc2θ==0，得驻点θ=π/3，列表：
θ
(0，π/3)
π/3
(π/3，π/2)

–
0
+
u
单调递减
极小值
单调递增
于是，当θ=π/3时，鸽子耗费能量最小.
(3) 由(1)、(2)的讨论可知，AL、AB 及 E 的取值不同，并不影响最佳角度的选取.
43,为取悦顾客，有些饭店的电梯装在大楼外面,假定一饭店高 100 m，你站在一处离大楼 50 m，高 30 m的窗户旁,电梯正以 10 m/s 的常速度下降，开始时记 t=0(单位：s),设为你的水平视线与看到电梯的视线之间的夹角（见图 4–19）
(1) 求电梯从楼顶下降过程中距离地面的高度 h(t) 的公式；
(2) 利用(1)的答案，求依时间 t 变化的函数表达式，并求对 t 的变化率；
(3) 如果的变化率体现了电梯相对于你运动的快慢程度，问电梯处于何种高度时，你看上去它运动得最快？
解：
(1) 电梯从楼顶以 10 m/s 的常速度下降，这样它距离地面的高度 h(t)=100–10t.
(2) 由于，故 0≤t≤10
对的变化率是
(3) 注意到的符号是负的，求对的变化率最快点即求的最小值.
令，得驻点 t=7(s),列表：
t
[0，7)
7
(7，10)

–
0
+

单调递减
极小值
单调递增
这样，的最小值点在 t=7 s 时，此刻，电梯下降了 70 m，它刚好与人的视线平行.
44,某消费者用 600 元购买两种商品,商品 I 的单价为 20 元，商品 II 的单价为30 元,假设消费者购买商品 I x 单位，商品 II y 单位的效用是由 C–D 效用函数
U(x，y)=10x0.6y0.4
确定的，试问两种商品各购买多少单位产品时，消费者可获得最大效用？
解：设消费者购买商品 I x 单位，商品 II y 单位，则有条件
20x+30y=600
问题成为在上述条件下求C–D效用函数 U(x，y)=10x0.6y0.4 的最大值.令
L(x，y，λ)=10x0.6y0.4+λ(600–20x–30y)
求偏导，得驻点满足的方程组

由(1)有：λ=3x–0.4y0.4/10 代入(2)，得：4x0.6y–0.6–9x–0.4y0.4=0
4x0.6y–0.6=9x–0.4y0.4
4x=9y
由此，将 x=9y/4 代入(3)解得 y=8，进而 x=18.我们得到惟一的驻点(18，8)，由问题的实际含义，可知当消费者购买商品 I 18 单位，商品 II 8 单位，可获得最大效用.
45,(1) 求函数的在区域上的最小值,
解：先求区域内的驻点，解方程组

由(2)，x=y–2y3 代入(1)整理后得 –y(3–10y2+12y4–24y6+16y8)=0,我们需要解一个 8 次方程，尽管通过换元 u=y2 可以把它转化为一个 4 次方程，进而得到精确解,但由于表达式过于复杂，我们这里只求得它在(–3，0)上的数值解：y=–1.095 7，–0.611 136,相应的得到 x=1.535 21，–0.154 633,于是，区域内的驻点只有一个(1.535 21，–1.095 7).
再求区域边界上可能的最大值点,区域是块正方形，边界由4条直线构成，逐一计算.
在边界 x=0 上，z=y4–y2，令 zy=4y3–2y=2y(2y2–1)=0，解得 y=0，.
在边界 x=3 上，z=45+6y–y2+y4，令 zy=6–2y+4y3=0，解得一个实根 y≈–1.289 62.
在边界 y=–3 上，z=72–6x–4x2+x4，令 zx=–6–8x+4x3=0，解得一个实根 x≈1.698 05.
在边界 y=0 上，z=–4x2+x4，令 zx=–8x+4x3=4x(x2–2)，解得 x=0，.
综合以上结果，求在区域上的可疑点的函数值：
z(1.535 21，–1.095 7)=–6.996 12 z(0，0)=0 z(0，)=–0.25
z(3，–1.289 62)=38.365 1 z(1.698 05，–3)= 58.592 z(，0)=–4
比较它们的大小，可知 z 在区域上的最小值为 z(1.535 21，–1.095 7)=–6.996 12.
(2)求原点到曲面的最短距离,
解：在曲面上任取一点(x，y，z)，它到原点的距离是
d(x，y)=
求原点到曲面的最短距离，只需求函数 u=x2+y2+xy+x–y 的最小值.求偏导得到驻点满足的方程组：

这是一个线性方程组，容易求得它的解，于是找到惟一的驻点(–1，1)，根据问题的实际意义，原点到曲面的最短距离就是d(–1，1)=.
46,血液在动物的血管中一刻不停地流动着，为了维持血液循环，动物的机体要提供能量，能量的一部分用于供给血管壁以营养，为单位长度血管壁提供营养的能量 E1 与血管半径 r 的某次方成正比，即为一常数，b 是比例系数；另一部分用来克服血液流动所受到的阻力，血液在血管中的流动受到的阻力与血液流量 q 的平方成正比，与血管半径 r 的 4 次方成反比，即，k 为比例系数,消耗的总能量必然与血管系统的几何形状有关,长期的生物进化，高级动物血管系统的几何形状应该已经达到消耗能量最小原则下的优化标准了,设一条粗血管在分支点处分成两条细血管，分支点附近三条血管在同一平面上，有一对称轴，如图 4–20 所示,试确定高级动物血管分岔的几何形状，即分岔的半径比与分岔角度分别是多少？
解：根据题目中的分析，血液从粗血管 A 点流动到细血管 B、B’ 两点的过程中，机体为克服阻力和供养管壁所消耗的能量为
 (1)
由图所示的几何关系不难得到
 (2)
将(2)式代入(1)式，并注意到 q 和 q1 分别是血液在粗细血管中单位时间的流量，显然有 q1=q/2，能量 E 可表为 r、r1 和的函数，即
 (3)
按照最优化原则，r/r1 和的取值应使(3)式表示的 E(r，r1，θ) 达到最小.
由可以得到
 (4)
从方程(4)可解出
 (5)
再令




由(5)可得，将它代入上式右端，有

 (6)
将(5)代入(6)，则
 (7)
(5)、(7)两式就是在能量消耗最小原则下血管分岔处几何形状的结果.
47,求下列函数的微分与全微分（其中 a 为常数）
(1) ；
解：∵=sin2x+xcos2x×2xln2
∴dy=dx=(sin2x+x2xln2cos2x)dx
(2) ；
解：∵，
再由 x、y 的对称性得：
∴
(3) ；
解：∵
∴
(4) ；
解：∵，由 x 与 y、x 与 z 的对称性，直接得到

∴
(5) ；
解：∵
∴
48,设当温度改变量为 ΔT 时，长为 L 的金属棒的长度改变量为 ΔL=α·LΔT (这里的 α 被称为线性膨胀系数，对于温度的适度变化，它为一常量).
(1) 设在 20 ℃ 时的一根 40 cm 长的金属棒，当温度上升到 30 ℃ 时长为 40.006 cm，求 α；
(2) 若一个铅针在 15 ℃ 时长为 180 cm，若温度升高到 40 ℃ 时，它有多长？(取 α=2.3×10–5/℃)？
解：(1) 将条件代入公式 ΔL=α·LΔT，得 40.006–40=α×40×(30–20)，于是 α=0.000 015.
(2) 设温度升高到 40 ℃，铅针长为 L cm，则有：L–180=2.3×10–5×180×(40–15)，解得 L=180.103 5 cm.
49,求方程在点(0，1，1)点的切平面方程,
解：将方程看作确定了 z 是 x、y 的隐函数,两边关于 x 求偏导，得
exyz(yz+xyzx)+1+zx=0
解得：，注意到 x 与 y 的对称性，直接得到：.
于是，zx(0，1，1)=–2，zy(0，1，1)=–1.
所以，方程在点(0，1，1)处的切平面方程是：–2×(x–0)–1×(y–1)–1×(z–1)=0，即
2x+y+z–2=0
50,用牛顿法求的最大零点，精确到 6 位小数.
解：由，可知函数 f(x) 在定义域 R 上是单调递增的，这样，f(x) 至多有一个零点,再由 f(0) f(1)<0，可知 f(x)=0 在(0，1)上有一个正根，即所要求的最大零点.
构造递推公式：，取 x1=1，利用牛顿法计算列表如下：
n
xn
f(xn)
1
1.
1.
2
0.75
0.171 875
3
0.686 047
0.008 941 04
4
0.682 34
0.000 028 230 6
5
0.682 328
2.839 95×10–10
这样，得到的最大零点是 0.682 328(精确到 6 位小数).
51,牛顿法可能对初始估计十分敏感，取初始估计值分别为：，，，利用牛顿法在计算器或计算机上求解函数的零点，所得结果如何？发生了什么情况？
解：由，构造递推公式：.
取 x0=0.904，利用牛顿法计算列表如下：
n
xn
f(xn)
0
0.904
0.183 14
1
4.703 99
–4.135 96
2
–1.422 76
–0.040 555 5
3
–1.500 88
0.003 027 84
4
–1.495 8
0.000 012 836 9
5
–1.495 78
2.346 37×10–10
取 x0=0.905，利用牛顿法计算列表如下：
n
xn
f(xn)
0
0.905
0.183 092
1
4.643 01
–4.092 93
2
–0.918 122
–0.182 381
3
–3.990 92
3.411 45
4
–1.420 42
–0.041 765 6
5
–1.501 23
0.003 239 39
6
–1.495 81
0.000 014 676 1
7
–1.495 78
3.066 89×10–10
取 x0=0.906，利用牛顿法计算列表如下：
n
xn
f(xn)
0
0.906
0.183 042
1
4.583 93
–4.047 71
2
–0.508 976
–0.147 966
3
0.207 298
0.067 617 9
4
–0.009 478 7
–0.003 159 43
5
8.517 29×10–7
2.839 1×10–7
从上述结果，我们发现初始值为 0.904 或 0.905 时，得到了相同的收敛点，但后者的收敛速度慢一些；而初始值为 0.906 时，得到了另一零点，这个例子表明牛顿法对初始估计有时还是十分敏感的.
52,分析方程有几个正根，并求出最接近于原点的两个正根,
解：令，当时，

于是，在时，f(x)是单调递减的,再注意到 x∈(kπ，(k+1)π)(k=1，2，3……)上，f(x) 是连续的，而且，

这样，x∈(kπ，(k+1)π)(k=1，2，3……)上，f(x) 与 x 轴有且仅有一个交点，即 f(x) 的零点,所以方程有无穷个正根.
下面讨论区间(0，π)上根的情况,由

它的分子，当时
>0
u是单调增加的，于是有 u(x)>u(0)=0，进而，当时，f(x)>0，即在该区间 f(x) 没有零点,而在上，f(x) 是单调递减的连续函数，以及，所以接近原点的第一个正根在内；第二个正根在内.
构造递推公式：.
取 x0=2，利用牛顿法计算列表如下：
n
xn
f(xn)
0
2.
0.042 342 4
1
2.092 16
–0.006 268 22
2
2.081 74
–0.000 093 899
3
2.081 58
–2.194 6×10–8
取 x0=4，利用牛顿法计算列表如下：
n
xn
f(xn)
0
4.
2.613 69
1
6.208 51
–10.423 6
2
6.150 33
–4.569 91
3
6.069 39
–1.735 91
4
5.989 34
–0.476 959
5
5.947 48
–0.060 435 5
6
5.940 52
–0.001 252 72
7
5.940 37
–5.614 89×10–7
我们得到原方程最接近原点的两个正根2.081 58和5.940 37.
53,在区间[–3，7]上将函数离散化(设取五等份)，列表写出该函数在各节点的对应值,然后利用表找出零点所在的区间，并用牛顿法求函数的所有零点,
解：根据零点定理，由下表,
x
–3
–1
1
3
5
7
f(x)
–63
7
5
–21
–23
47
可以看出：在区间(–3，–1)、(1，3)、(5，7)内各有一个根，而 f(x) 是 3 次多项式，至多有 3 个不相同零点，所以上述区间分离出 f(x) 的全部零点.
构造递推公式：.
取 x0=–2，利用牛顿法计算列表如下：
n
xn
f(xn)
0
–2.
–16.
1
–1.529 41
–2.553 23
2
–1.420 16
–0.125 075
3
–1.414 23
–0.000 360 581
4
–1.414 21
–3.028 21×10–9
于是，得到区间(–3，–1)上 f(x) 的零点–1.414 21.
取 x0=1，利用牛顿法计算列表如下：
n
xn
f(xn)
0
1.
5.
1
1.454 55
–0.525 92
2
1.414 42
–0.002 699 01
3
1.414 21
–7.606 77×10–8
于是，得到区间(1，3)上 f(x) 的零点1.414 21.
取 x0=6，容易验证，此时 f(6)=0.
54,一场大雨过后 t 天，某地区的地下水位每天将以 r 英尺的速度下降，,
(1) t 为何值时，水位将以每天 2 英尺的速度下降？
(2) 何时水位的下降速度最快？最快为多少？
解：
(1) 由题设，可知，此方程的根即为所求,由此，得


令，即求 f(t) 的零点,令

解得：t=–ln2.7>0,列表：
t
(0，–ln2.7)
–ln2.7
(–ln2.7，+∞)

–
0
+
f(t)
单调递减
极小值 f(–ln2.7)≈–9.73079<0
单调递增
又 f(t) 是（0，+∞）上的连续函数，以及

所以，在区间(0,–ln2.7)，(–ln2.7,+∞)内，f(t) 各有一个零点.
构造递推公式：.
取 x0=0.5，利用牛顿法计算列表如下：
n
xn
f(xn)
0
0.5
–1.71
1
0.381 111
1.326 17
2
0.411 584
0.194 872
3
0.417 757
0.005 862 5
4
0.417 954
5.679 08×10–6
取 x0=4，利用牛顿法计算列表如下：
n
xn
f(xn)
0
4
1.254 89
1
3.348 83
0.010 170 9
2
3.343 45
1.022 46×10–6
综上可知，t=0.417 954 或 3.343 45(天)时，水位将以每天 2 英尺的速度下降.
(2) 令=0
解得，t=ln2.7,列表，
t
(0,ln2.7)
ln2.7≈0.993252
(ln2.7,+∞)

+
0
–
r(t)
单调递增
极大值r(ln2.7)≈3.333 41
单调递减
于是，当 t=ln2.7≈0.993 252(天)时水位的下降速度最快，为 r(ln2.7)≈3.333 41(英尺/天).
55,生物学家在实验室饲养雌小鼠，从出生后第三周开始成熟，每周测一次小鼠的体重(单位：g)，发现小鼠体重的增长可以用 Logistic 曲线描述

其中是时间(单位：周)，试问
(1) 出生时，雌小鼠的体重是多少？
(2) 雌小鼠体重 W(t) 的增长速率是多少？
(3) 雌小鼠的体重会无限增大吗？最大体重是多少？
解：
(1) 出生时，雌小鼠的体重是 W(0)=26/31≈0.838 71 g
(2) 雌小鼠体重的增长速率是g/周
(3) 雌小鼠的体重不会无限增大，这是因为，也就是说最大体重是 26 g.
56,用最速下降法求函数的在区域上的最小值(取初始点为(1，0)).
解：函数的梯度是

给定=0.1,取初始点(x0，y0)=(1，0)，此点的梯度是
grad(z(x0，y0))=grad(z(1，0))=(–4，2)
由于|–grad(z(x0，y0))|=|–grad(z(1，0))|=|–(–4，2)|=>0.1=，则要计算
g(t)=z(x0–tzx(x0，y0)，y0–tzy(x0，y0))=z(1+4t，0–2t)=–3–20t+12t2+256t3+272t4
的最小值点，易知为 t0=–0.623 143,这样，计算
(x1，y1)=(x0–t0zx(x0，y0)，y0–t0zy(x0，y0))
=(1+4×(–0.623 143)，0–2×(–0.623 143))=(–1.492 57，1.246 29)
再以(x1，y1)作为初始点，重复以上步骤，直到|–grad(z(xn，yn))|≤，结束循环，得到最小值 z(1.535 21，–1.095 7)=–6.996 12.
57,用某种仪器测量一零件的长度 n 次，所得数据为 x1，x2，…，xn,试验证：由表达式

计算出的长度 x 才能较好地表达该零件的长度，亦即使 x 与 n 个数据差的平方和

为最小.
解：令 f(x)=，
再令，
解得：.
这是惟一的驻点，根据问题的实际背景，可知最小值一定存在，即该点与 n 个数据差的平方和最小.
58,在一页书上所印文字要占 S（单位：cm2），上下边空白处各留 a（单位：cm），左右各留 b（单位：cm）宽,问纸的尺寸取多少时，才能使书页所用纸张最省？
解：设一页书上所印文字的篇幅长为 x(cm)，则宽为(cm)，页面面积为
 (x>0)
令
解得：，此时，,这是惟一的驻点，根据问题的实际背景，可知最小值一定存在，故页面长为(cm)，宽为(cm)，能使书页所费纸张最省.
59,设函数，且在 x=0 附近有直到 n 阶的连续导函数.
(1) 用微分公式证明在 x=0 处的一阶导数为零；
(2) 归纳证明(i=1，2，…，n–1).
证明：
(1) ∵，又在 x=0 附近有直到 n 阶的连续导函数，
∴
(2) 首先，用数学归纳法证明： (i=1，2，…，n–1)其中，ak 是适当的系数，随着 i 的不同而改变.
当 i=1 时，由(1)题可知，命题成立.
假设 i=m<n–2 时，命题成立，即有，那么

上式可以形式的写成

从而，由数学归纳法可知，命题成立.
注意到，当 i<n 时，f(i)(x) 的各项均含有 x 的整数次幂，从而可得：
 (i=1，2，…，n–1)
习 题 5
1,利用定积分的几何意义，说明下列等式：
(1) ； 　(2) .
解（1）由图 a 可看出：当时，以为曲边的曲边梯形位于 x 轴上方，设其面积值为 A，则；当时，以为曲边的曲边梯形位于 x 轴下方，设其面积值为 A，则,故.
（2）由图 b 可看出：定积分的几何意义是半径为的半圆的面积，其值等于；而的几何意义是半径为的圆的面积，故有

 　
　图 a 图 b
2,火车在启动阶段(时间从0到T)若看成是匀加速运动，加速度为 a (常数)，问图 5–23 中OAB的面积表示什么？
 
图 5–23 　图 5–24
解：面积为路程
3,若 y=f(x) 的图形是直线，如图 5–24 所示,利用定积分的几何意义，求下列定积分的值：
(1)  (2) 
(3)  (4) 
解：(1) 0.5
(2) -0.5
(3) 0
(4)
4,估计下列定积分的值：
(1)  (2) 
解：（1）因为在积分区间上，
所以在积分区间上有：，即
由定积分的性质可知：
即 
（2）因为在积分区间上，
所以在积分区间上有：
由定积分的性质可知：
即 
5,考虑某细菌总量，细菌繁殖率 B 的曲线如图 5–25 所示，它是时间（单位：h）的函数（单位：繁殖量/h）,用 D 标出的曲线给出的是同一细菌总量的死亡率（单位：死亡数/h）.
(1) 分别解释两图像形状所说明的该细菌总量的情况；
(2) 利用图像求出该细菌总量的净增长率达到最大的时刻；
(3) 假设在时刻，细菌总量为 N，画出到时刻时细菌繁殖总数的图像.再画出在时刻时细菌存活量的图像，利用已知图像求出细菌总量达到最大的时刻.
解：（1）B 曲线说明，在大约[0，6]时间段内，繁殖率在增加，之后下降，但其值为正,从而细菌总量在增加，但考虑到死亡率曲线 D 可知，在大约[0，12]时间段内，繁殖率曲线在死亡率曲线上方，繁殖率大于死亡率，从而，细菌总量在增加,之后，繁殖率曲线在死亡率曲线下方，繁殖率小于死亡率，从而，细菌总量在减少.
（2）由图形可以看出，大约在 5 到 6 之间的某时刻，细菌总量的净增长率达到最大.
（3）略.
6,财富在人口中的分配是否均匀是一个重要的政治、经济问题,我们如何衡量财富分配问题？我们如何判断一个国家的财富分配在一段时间内基本还算公平？如何衡量哪个国家分配收入最公平？本题描述了一种方法.
假设财富的分配是均匀的，那么人口中任意 20 % 的人就将拥有财富的 20 %,类似地，任意 30 % 的人将拥有财富的 30 %，等等,可是，如果财富分配不均匀，那么占人口 P % 最贫穷的人(从财富上说)将不拥有财富的 P %,假设 F(x) 表示占人口比例为 x 的最贫穷的那部分人所拥有的财富份额，则 F(0.4)=0.1 就表示占人口中 40 % 的最贫穷的人只拥有财富的 10 %.
(1) 如果财富分配均匀，F 应是怎样的？
(2) F(0) 和 F(1)应等于多少？F 是递增的还是递减的？F 是凹的还是凸的？
(3) 非均匀的吉尼(Gini)指数 G 是衡量财富分配均匀程度的一种方法,它定义为

用图像说明 G 代表什么？
解：(1) F(x)=x
(2) F(0)=0，F(1)=1,F 应是递增的,且 F 为凹的.
(3) G 代表财富分配的非均匀程度,它是当前贫富分配的非均匀程度与最极端情况下的非均匀程度的比.
7,一个新销售代理商发现，随着积累，每月销售的大商品的数量也在增加,第一个月她只售出 7 件，但以后每月都比前一月多售出 2 件，所以在月份 t 时，售出的数量为 2t+5.
(1)用算术方法求第一年每月销售的平均数量，即先求每月的销售量，然后求 12 个月的平均销售量.
(2) 通过积分求平均销售量，这就像把销售函数应用于的一切值(代替只取整数的情形).
(3) 两种结果相比较，有何差别？
(4) 如果你求出(1)的答案认为是真实的，而用积分求得的答案被看成是近似值，为什么大家仍希望使用积分答案而不是(1)的答案？
(5) 画一个图把两个答案分别表示为某一区域的面积，在图中标出积分答案中的一块代表误差的区域.
解：第一年每月销售量分别为：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
所以平均为：18（件）.
（2）积分求平均销售量为：.
（3）相差1.
（4）积分的结果是对任何单位时间都是有效的，而（1）的答案只对月有效.
（5）略.
8,用梯形公式和中点矩形公式(分割为 100 份)，估算，其中
(1) f()1；　(2) f()；　(3) f()为直线.
然后，作图解释这些函数积分的两个估算值与真实值之间的关系.
解：略.

图 5–26
9,函数的图像如图 5–26 所示，对每个公式用相同数目的分割，用左端点的、右端点的、中点的矩形公式和梯形公式估算的值分别为　0.601，0.632，0.633，0.664.
(1) 将每个公式与每个相应的近似值相配；
(2) 积分的真值在哪两个近似值之间？
解：略.
10,在月球上月心引力产生的加速度大约是 1.6 m/s2(与地球上 g=9.8 m/s2 相比较),如果在月球上落下一石块(初速为0)，求下列表达式：
(1) 石块在时刻 t 的速度 v (t).
(2) 石块在时间 t 内下落的距离 s(t).
解：

，
11,已知，求.
解：
12,已知，求.
解：∵，∴.
13,一零售商收到一船共 10 000 kg大米，这批大米以常量每月 2 000 kg运走，需要 5 个月时间,如果贮存费是每月 0.01 元/kg，5 个月后这位零售商需支付贮存费多少元?
解：t 时刻（以月为单位）的储存费为：0.01(10 000–2 000t).从而，5 个月后这位零售商需支付贮存费为：
（元）
14,某天的天气预报表明某城市要有特大雪灾，根据详细的天气形势分析得知，这一天的大雪可能有如下的下雪速度(时间 t 的单位为：s，v(t) 的单位为：mm/s)

清洁公司接管了除雪任务，已知该公司现有清扫车辆为 10 辆，每辆车在能清扫的路面上每分钟可清扫 50 m 的路段，且积雪厚度超过 1 m 时，不能正常工作,若所处理的路面为 150 km，试估计这一清洁公司能否清扫得了？对清扫的开始时间有何要求？
解：设经过事先安排，下雪前已将车辆调度完毕，即按最优地点分排完毕,则要看一辆车在求积雪达到 1 m 所用的时间,由于

可知，积雪达到 1 m 所用时间多于 1 800 s，从而这一时间 t 满足：

解之有，（min）及（舍去）.
另一方面，简单计算：一辆车，一分钟清扫 50 m，从而 10 辆车在31.7 min 内可清扫：
m=15.8 km＜150 km
可见，这一清洁公司根本清洁不了.
15,两个人赛马，若在比赛中的任何时刻甲的马的速度都比乙的马的速度快，试问是否甲的马一定获胜？请解释你的结论.
解：如果比赛是公平的，甲的马一定获胜.
因为，当

这说明甲的马一定一直保持领先地位.
16,在四个人的接力赛跑中，若甲队最后一个上场队员的速度比乙队最后一个上场队员的速度快，试问是否甲队的名次一定排在乙队前面？若是，请解释之,若不是，那么，再添加什么条件才有这一结论？将最后结果用数学语言表述出来,
解：不一定.
附加条件：“甲队的最后一上场队员与乙队最后一上场队员按规定地点同时上场”，则甲对一定获胜,因为：，当按规定地点同时上场，则，且剩余路程相同,从而：

这说明甲队在最后一棒一直保持领先地位.
17,利用直接积分法求下列积分：
(1) ； 　(2) ； (3) ；
(4) ； (5) ；　 (6) ；
(7) ； (8) ； (9) ；
(10) .
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
18,某公司投资 2 000 万元建成一条生产线,投产后，在 t 时刻的追加成本（t 时刻需要增加的投资额）与追加收益（t 时刻所能取得的收益，其中包括追加成本）分别为
（单位：百万元/年），（单位：百万元/年）
（1）讨论函数与的单调性，并解释所得结果的含义.
（2）试确定该生产线在何时停产可获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）分别对函数与求导有：
 和 
因此，函数单调增；单调减.
这说明：生产线使用时间越长，需要增加的投资额越来越多；而取得的收益则越来越少.
(2) 先给出所取得的利润与时间的函数关系如下：

令，可得：t=8.
因此可得：最大利润为：（百万元）
19,量子力学预言，两个相距 r 的气体分子之间的作用力 F 为

图5

其中 A，B 均为正常数,F 关于 r 的图像如图 5–27 所示,气体分子间的势能 V 满足，且当，.
(1) 求的表达式；
(2) 画出 V 关于 r 的图像，在图像上注明 r0.
(3) r0 代表什么？试用气体分子之间的力和势能分别表示 r0.
解：（1）易见，，当，,可知：，因此

(2) 图像略.
(3) r0 代表气体分子间作用力为零时的分子间距离，也代表气体分子间势能最大时的分子间距离.
20．一辆汽车在某公路上行驶，在时刻 t，其加速度为 10sin t，其中 t 以 s 为单位.当 t=0 时，其速度为 10 m/s.
(1) 将汽车速度表示为时间的函数.
(2) 从 t=0 到 t=3π，汽车行驶了多远？
(3) 当 t=10π 时，警察迫使该汽车停下来，并以开车鲁莽为由，拘留了司机,解释为什么这一处罚是适当的.
(4) (3)中对司机的指控是因为“超速”吗(限速为约 25 m/s)？
解：（1）由速度与加速度间联系知：

（2）行驶距离为：
（m）
（3）因为在这段时间内，这一司机的车速一会儿达到 10 m/s，一会儿为 0，且连续变更了 10 次.
（4）不是因为超速,因为汽车速最高为 20 m/s.
21,河流、湖泊等污染的治理是一个国家不可忽视的问题之一,考虑座落在某湖旁的一个小造纸厂向湖中排出含有四氯化碳(CCl4)的污水,当环保局得知这一情况时，这种化学物质以 12 m3/年 的速度被排入湖中.
环保局立即命令安装过滤装置，放慢(且最终停止)自工厂流入湖中的四氯化碳的流量,这一计划的实施正好花了 3 年时间，在此期间污染物质流量稳定在 12 m3/年,当过滤装置安装完毕时，流量下降了,从过滤器安装完毕到液流停止，液流的速度很好地由下式逼近：
速度(m3/年)=0.75(1449)
这里是从环保局了解事件起的时间(按年计算).
(1) 从环保局第一次了解事件的时间开始，画出四氯化碳污水排入湖中的速度作为时间的函数的图像.
(2) 从环保局得知情况到污水完全停止花了多长时间？
(3) 在(2)的所述时间内有多少四氯化碳被排放到湖中？
解：（1）图像略.
（2）完全停止，即速度为零,解方程
0.75(1449)=0
可得，t=7,可见，花了 7 年.
（3）从环保局得知情况到污水完全停止，被排放到湖中的四氯化碳为：

22,利用凑微分法求下列积分：
(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) ； (6) ；
(7) ； (8)； (9) ；
(10) .
解 （1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）

（8）
（9）
23,在鱼塘中捕鱼时，鱼越少捕鱼越困难，捕捞的成本也就越高，一般可以假设每 kg 鱼的捕捞成本与当时池塘中的鱼量成反比.
假设当鱼塘中有 x kg 鱼时，每 kg 的捕捞成本是 C(x) 元.
（1）如果鱼塘中现有鱼量为 A kg,当捕捞了 x kg 鱼后，此时再捕捞 dx kg(dx很小)鱼所需要的成本是多少？
（2）如果需要捕捞的鱼量为 T kg，则捕捞的成本应是多少？
（3）特别地，假设当鱼塘中有 x kg鱼时，每 kg 的捕捞成本是元,已知鱼塘中现有鱼 10 000 kg，问从鱼塘中捕捞 6 000 kg鱼需要花费多少成本？
解：（1）
（2）
（3），则时，捕捞 6 000 kg鱼需要花费成本为
（元）
24,由于折旧等因素，某机器转售价格 R(t) 是时间 t（单位：周）的减函数，（单位：元），其中 A（单位：元）是机器的买入价,在任意时刻 t，机器开动能在单位时间内产生的利润为（单位：元/周）.
（1）机器使用 x 周后，可创造的利润是多少？
（2）机器使用 x 周后，买机器人的总收入是多少？总利润是多少？
（3）何时转售机器，能使总利润最大? 这时机器的卖价是多少?
解 （1）机器使用 x 周后，可创造的利润是

（2）机器使用 x 周后转售，买机器人的总收入就是机器使用 x 周后所创造的利润与这时卖机器的收入之和，即总收入=
设总利润为，则
 
（3）
令，解得(周)
因为当时只有唯一驻点，所以此驻点即为最大值点.
故当第 332 周时转售机器，能使总利润最大,这时机器的卖价是
（元）
25,由实验得知，在培养基充足等条件满足时，某种细菌在 t 时刻的繁殖速度为(为繁殖系数，为一开始的细菌总数).
(1) 用公式给出求 T 天后的细菌总数；
(2) 若测得 5 天时的细菌总数为 936 个，10 天时的细菌总数为 2 190 个，求开始时的细菌个数与 60 天后细菌的个数.
解：(1) T 天后的细菌总数 S(T) 为：

（2）5 天时的细菌总数为 936 个，10 天时的细菌总数为 2 190 个，则：

消去方程组中 k，得：(个)
26,在本世纪的许多年里，某国消耗的电力连续以每年 7 % 的速率呈指数规律增长,假定这个趋势一直继续下去，且电能消耗在 1900 年是 1 400 万(单位：MW·h).
(1) 写出从 1900 年以来测量的电能消耗关于时间的函数的表达式；
(2) 找出本世纪每年电力消耗的平均值；
(3) 在哪一年电力消耗接近本世纪的平均值；
(4) 不通过(3)中的计算，怎样预测答案在哪半个世纪？
解：（1）设电能消耗为，则记 1900 年是的时间为 t=0,则C=1 400，因此

（2）平均值为

（3）令，则

即为 1972 年.
（4）由于增长呈指数规律增长，可知，增长速度越来越快,因此，这一世纪的平均值应在下半世纪.
27,水流到水箱的速度为 ()（单位：L/min），这里 t 的单位为 min.
(1) 写出在时间 t 到 t+Δt 的时间内水流入水箱的数量的近似表达式,这里 Δt 很小.
(2) 写出从 t=0 到 t=5 期间水流入水箱的总量的近似和,给出这一总量的精确表达式.
(3) 如果说 r(t)=20e0.02t 从 t=0 到 t=5 期间水箱中的水量改变了多少？
(4) 如果 r(t) 如(3)中所给，假设水箱中开始时装有 3 000 L 水，将水箱中水量 Q 写成 t 的函数.
解：（1）在 t 到 t+Δt 的时间内水流入水箱的数量的近似表达式为 r(t)Δt.
（2）将时间区间[0，5]分成 n 个小区间[ti–1，ti]，(i=1，2，…，n)，其中 t0=0，tn=5.
在第 i 个小区间[ti–1，ti]内水流入水箱的数量的近似表达式为 r(ti)Δti，
从 t=0 到 t=5 期间水流入水箱的总量的近似和为，
这一总量的精确表达式为.
（3）如果，则到期间水箱中的水量改变量为

（4）因为在任一时刻水流入水箱的数量为
所以当水箱中开始装有 3 000 L 水时，在时刻水箱中的水量

28,计算下列定积分：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
解：（1）
（2）
（3）
（4）



29．设 计算
解：
30,设某月某日的冰淇淋的销量随时间的变化率为，试写出这一天的销量公式，若给定

(单位：块/h)若一天中的总销量为 1 000 块，求其中的参数 a.
解：这一天的销量公式为：,一天总销量为 1 000 块，从而

考虑到函数的表达式有

求解有：

31,某公司欠了你公司的钱，它打算通过以下两种方式中的一种来偿还,一种方式是每年还 5 000 美元共还四个年度，若每年度还期为这年的年初，则从第一次还钱到第四次还钱，这段时期为三年,另一种方式是等待一段时间然后在 3 年后一次总付 25 000 美元,如果你确实能够获得 8 % 的年息(以连续复利方式计息)，并且也只是出于经济方面的考虑，那么，你将选择哪一种偿还方式？证实你的选择结果,在做决定时，还会有什么事情有可能成为你要考虑的？
解：第一种方式在第三年时的实际所得：

考虑到交款是每年初进行的，是即所得应比这一值更大些，但不会大过 3 000 那么多，可见，选择第二种方案较合适.
32,判别下列广义积分的敛散性，如果收敛，则计算广义积分的值：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
解(1) 因为 ，所以发散.
(2) 因为，（）所以收敛.
(3) 因为，所以发散.
(4) 因为

所以收敛.
33,设带电量分别为与的两个点电荷与，它们相距为，将带电量的点电荷，沿两点连线的延长线移至距点为的位置，求电场力所作的功,如果将点电荷沿的延长线移至距点无穷远处，求电场力所作的功,
解： （为常数）

34．考察逼近(精确到小数点后 4 位)积分值的两种可能方法,运用关于分割数为的中点矩形公式计算,因为原积分为广义积分，需要令；另外，还需令,问题是：先令哪一个趋于无穷？
(1) 首先固定并使增加,从开始设20，50，100，…直到你的结果稳定，取结果稳定的值为时积分的值；现在增加 b=4，5，…且对每个增加的值作上述计算,继续做直到相继取的值给出相同的答案,取所得到的值为积分的值.
(2) 现在，固定而使增加：从 n=20 开始增加 b=4，5，…会发生什么？在结果稳定之前可能取了很大的值.
(3) 解释为什么(1)的方法给出一个合适的逼近广义积分的途径，而(2)的方法却不能.
解：(1) 固定，开始设 n=20，50，100，的稳定值为 0.394 3；
分别固定 b=4，5，6 时，设 n=20，50，100，…，继续做，得下表：
b=3
b=4
b=5
b=6
n =20
0.394 1
0.397 0
0.396 7
0.396 1
n =50
0.394 3
0.397 5
0.397 5
0.397 4
n =100
0.394 3
0.397 6
0.397 6
0.397 6
n =150
0.397 6
0.397 7
0.397 7
n =200


0.397 7
0.397 7
稳定值
0.394 3
0.397 6
0.397 7
0.397 7
的稳定值为 0.397 7.
（2）现在，固定而使增加；从开始增加，得下表：
b=3
b=4
b=5
b=6
b=10
b=20
b=30
b=50
b=100
n =20
0.394 1
0.397 0
0.396 7
0.396 1
0.392 5
0.373 6
0.336 9
0.206 2
0.011 8

图 5-4-1
(3)如图5-4-1所示，=+，
=-0.397 7–0.394 3=0.003 4
说明在上图形的面积接近零.
固定 n=20 而使 b（b3）增加，用中矩形公式计算，会因区间变大分割数 n 不变而使近似情况越来越差，无法求出的稳定值.
（1）的方法给出了一个合适的逼近广义积分的途径，因为它符合无穷区间上的广义积分的求解方法.
35,某航空公司为了发展新航线的航运业务，需要增加 5 架波音 747 客机,如果购进一架客机需要一次支付 5 000 万美元现金结算，客机的使用寿命为 15 年,如果租用一架客机，每年需要支付 600 万美元的租金，租金以均匀货币流的方式支付,若银行的年利率为 12 %，请问购买客机与租用客机哪种方案为佳？如果银行的年利率为 6 % 呢？
解：购客机，15 年的花费为：；
租客机，15 年的花费为：，
可见，此种情况下，租为佳.
另一种情况，银行的年利率为 6 %.购客机，15 年的花费为：；
租客机，15 年的花费为：
可见，此种情况下，买为佳.
36．(1) 银行存款以 10 % 的利率按连续复利方式计息,一对父母打算给孩子攒学费，若要在十年内攒够 100 000 元，问这对父母必须以每年存入多少元的定常速度将钱存入银行账户中？
(2) 若这对父母现在改为一次存够一总数，用这一总数加上利息作为孩子将来的学费，那么问在十年后获得 100 000 元的学费，现在必须一次存入多少钱？
解：(1) 设为 a，则

可解得：

这对父母必须以每年存入 5 819.77 元的定常速度将钱存入银行账户中.
（2）设为 a，则

可解得：

可见，需一次存入 36 787.9 元.
37．(1) 在 20 世纪 70 年代，某公司生产的小机械按公式（台/年）的速度出售，其中为时间，以年为单位，从 1970 年 1 月 1 日算起，假设公司以每年 1 000 台的速度从 70 年代第一天开始出售他们的小机械的,那么问在这一整个 70 年代中公司一共售出了多少台小机械？又如果在 1970 年 1 月 1 日这天，公司是以每年 150 000 000 台的速度出售小机械的，那么问整个 70 年代共售出了多少台？
(2) 在(1)中第一种情况下(在 1970 年 1 月 1 日以每年售出 1 000 台的速度出售小机械)，问要售出整个 20世纪 70 年代共可售出的台数的一半时，需经多长时间？在(1)中第二种情况下(在 1970 年 1 月 1 日以每年售出 150 000 000 台的速度出售小机械)，问何时可售出整个 70 年代共可售出的台数的一半？
(3) 在 20 世纪 80 年代，这一公司开始进行一场广告战，声称他们在 70 年代售出的小机械有一半目前仍在使用之中，试根据(2)中的结论说明这一声称的含义.
解：（1）第一天的出售速度为 1 000 台/年，则可知，从而出售速度为

整个 20 世纪 70 年代中公司一共售出
（台）
第一天的出售速度为 15 000 万台/年，则可知，从而出售速度为

整个 20 世纪 70 年代中公司一共售出
（万台）
(2) 第一种情况,售出一半，即约 11 605 台，需

可解得，即约需将近 7 年.
第二种情况下,售出一半，即约 174 084 万台，需

可解得，也约需将近 7 年.
(3) 这一声称说明这种小机械的使用寿命平均约为 3 年多点.
38,求由曲线，x=1 以及 x 轴所围图形()的面积,
解：略.
39,求曲线与直线所围图形的面积,
解：略.
40,计算在上的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积,
解：略.
41,计算抛物线，直线与轴所围图形绕轴旋转而成的旋转体的体积.
解：略.
42,把二重积分分别化为两种不同次序的累次积分，其中积分区域 D 为：
(1) 由直线及抛物线所围成的闭区域；
(2) 由直线，曲线及轴所围成的闭区域；
(3) 由抛物线及所围成的闭区域；
(4) 由直线及双曲线所围成的区域；
(5) 由轴及直线所围成的闭区域,
 　
图 a 　图 b
解：(1) 积分域 D 图形如图 a,
先对后对积分，得，
先对后对积分，得.
(2) 积分域 D 图形如图 b.
先对后对积分，得，
先对后对积分，得.
(3) 积分域 D 图形如图 c.解方程组 得交点,
先对后对积分，得，
而此题若先对，后对积分，则需分成两部分，较麻烦，得
+
 
图 c 　图 d
(4)积分域 D 图形如图 d,解方程组
，， 得交点，，.
先对后对积分，得，
而此题若先对，后对积分，则需分成两部分，较麻烦，得
+
(5) 由轴及直线所围成的闭区域图略.
容易得到：
先对后对积分，得，
而此题若先对，后对积分，则需分成两部分，较麻烦，得
+
43,利用直角坐标计算下列二重积分：
(1) ，其中是矩形域：；
(2) ，其中是由及所围成的闭区域；
(3) ，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域.
解：
（1）积分域图略,先对后对积分，得

（2）积分域图形如图 a,先对后对积分，得
====
 
图 a 　图 b
（3）积分域图形如图 b,解方程组得交点A(1，-1)，B(4，2).
选择先对，后对积分，得
==
==
==
而此题若先对后对积分，则需要计算两个二重积分，给计算增加了麻烦.
44,计算(提示：改变积分次序)
解：.
习 题 6
1,给定正弦函数表如下（表 6–23）：
表 6–23
x
0.4
0.5
0.6
0.7
sinx
0.389 42
0.479 43
0.564 64
0.644 22
分别用（1）线性插值；（2）二次插值，求 sin 0.578 91 的近似值并估计误差.
解：(1) 设所求多项式为 y=ax+b，选用与所求值点最接近的数据点(0.5，0.479 43)，(0.6，0.564 64)来确定 a 和 b,由于多项式经过数据点，从而有

解得：a=0.852 1，b=0.053 38,因此，所求线性插值多项式为
y=0.852 1x+0.053 38
由此，求得
sin 0.578 91≈0.852 1×0.578 91+0.053 38=0.546 669
它与真实值 0.547 111 867…的绝对误差是：δ=|0.546 669–0.547 111 867…|≈0.000 442 867.
(2) 设所求多项式为 y=ax2+bx+c，选用与所求值点最接近的数据点(0.5，0.479 43)，(0.6，0.564 64)，(0.7，0.644 22)来确定 a，b 和 c,由于多项式经过数据点，从而有

解得：a=–0.281 5，b=1.161 75，c=–0.031 07,因此，所求二次插值多项式为
y=–0.281 5x2+1.161 75x–0.031 07
由此，求得
sin 0.578 91≈–0.281 5×0.578 912+1.161 75×0.578 91–0.031 07=0.547 138
它与真实值 0.547 111 867…的绝对误差是：δ=|0.547 138–0.547 111 867…|≈0.000 026 133,它比线性插值所得结果误差小一点.
2,给定函数表如下：










2.768 06
2.832 67
2.902 56
2.978 57
3.061 73
3.153 39
3.255 30
3.369 87
求.
解：首先做出函数表的散点图，根据图形特征，我们采用最小二乘拟合,
设二次逼近式为 y=ax2+bx+c，由最小二乘法设

求对 ，与 c 的偏导数，并令它们为零，有：

将数据代入，解得，a≈0.004 072 2，b≈–0.554 08，c≈21.420 3,从而所得拟合表达式为y=0.004 072 2x2–0.554 08x+21.420 3,从而，所求为
≈0.004 072 2×75.92–0.554 08×75.9+21.420 3≈2.824 8
≈0.004 072 2×78.52–0.554 08×78.5+21.420 3≈3.018 93
≈0.004 072 2×81.22–0.554 08×81.2+21.420 3≈3.278 81
3,试给出下列函数在 x=0 点处的 10 阶 Taylor 多项式
(1) cos x；
解：我们从
f(x)=cosx 得到 f(0)=1
f’(x)=–sinx 得到 f’(0)=0
f”(x)=–cosx 得到 f”(0)=–1
f”’(x)=sinx 得到 f”’(0)=0
f(4)(x)=cosx 得到 f(4)(0)=1
f(5)(x)=–sinx 得到 f(5)(0)=0
f(6)(x)=–cosx 得到 f(6)(0)=–1
f(7)(x)=sinx 得到 f(7)(0)=0
f(8)(x)=cosx 得到 f(8)(0)=1
f(9)(x)=–sinx 得到 f(9)(0)=0
f(10)(x)=–cosx 得到 f(10)(0)=–1
利用以上的值，我们得到 cos x 在 x=0 点处的 10 阶 Taylor 多项式：
.
(2) ex；
解：令 f(x)=ex,我们有 f(0)=1，由于 ex 的导数等于 ex，所以所有的高阶导数都等于 ex．从而，对任意的 k=1，2，…，10，f (k)(x)=ex 且 f (k)(0)=e0=1．所以，ex 在 x=0 点处的 10 阶 Taylor 多项式是
.
(3) ln(1+x)
解：我们从
f(x)=ln(1+x) 得到 f(0)=0
f’(x)= 得到 f’(0)=1
f”(x)= 得到 f”(0)=–1
f”’(x)= 得到 f”’(0)=2
f(4)(x)= 得到 f(4)(0)=–3!
f(5)(x)= 得到 f(5)(0)=4!
f(6)(x)= 得到 f(6)(0)=–5!
f(7)(x)= 得到 f(7)(0)=6!
f(8)(x)= 得到 f(8)(0)=–7!
f(9)(x)= 得到 f(9)(0)=8!
f(10)(x)= 得到 f(10)(0)=–9!
利用以上的值，我们得到 ln(1+x) 在 x=0 点处的 10 阶 Taylor 多项式是
.

图 6–16
4,汽车发动机上进气门的开启时间与开启大小是由凸轮通过挺杆控制的，因此凸轮形状的设计对发动机性能关系很大,现要求配制凸轮的升程曲线,已知凸轮转角时气门打开，时气门到最大位置，为保持发动机有较好的充气效果，气门上升的速度在各段有不同的要求,当时为加速段，其加速度的曲线图形大致如图 6–16所示,现已知气门在下列各点的升程，如表 6–16 所示：
表 6–16
凸轮转









气门升程
0
0.106
0.268835
0.331573
0.478763
0.813749
1.381011
2.34091
3.183254
要求配制这一段的升程曲线.
解：先计算一段的升程曲线,注意到该段其加速度的曲线图形是抛物线，从而，令，这样，

设四次逼近式为，由最小二乘法设

求对 a，b 与 c 的偏导数，并令它们为零，有：

将数据代入，得

解得，a≈–0.000 083 416 7，b≈56.087 3，c≈–1 745.14,从而一段的升程曲线为.
在一段上，由图可知，可设,注意到升程曲线 y 在处，一阶导函数是连续的，即有


a≈0.008 619 96
于是设一次逼近式为，由最小二乘法设

求对的偏导数，并令它为零，有：

解得，b≈–0.747 848,从而一段的升程曲线为
.
在一段上，注意到该段其加速度的曲线图形是抛物线，从而，令，这样，

再注意到升程曲线y在处，一阶导函数是连续的，即有



另外，还有 y(93)=0 及 y(102)=0.106，将三式联立，得到方程组

解得，a≈–3.023 12×10–7，c1≈0.104 581，c2≈–3.342 91,从而一段的升程曲线为
.
综上，得到一段的升程曲线

5 (1) 设，其中为的五阶麦克劳林逼近多项式，画在[–1，1]上的图形，找出在区间[–1，1]上的最大值,
(2) 用数值方法可以证明，是在区间[–1，1]上的一个较好逼近,令，找出在[–1，1]上的最大值,
(3) 讨论与逼近的优缺点,
解：(1) 在[–1，1]上的图形如下：

从图中可以看出在[–1，1]端点附近，p5(x) 与 ex 偏差较大,
注意，，在第一象限 xn 是单调递增的，从而，E1(x)在[–1，1]的最大值是E1(1)=e–p(1)=e–163/60≈0.001 615 16.
(2) 根据如下函数表，可以看出 r(x) 与 ex 在区间[–1，1]上偏差较小,从而，r(x) 是 ex 在区间[–1，1]上的一个较好逼近.
x
ex
r(x)
ex–r(x)
–1
0.367 879
0.367 816
0.000 063 349 2
–0.95
0.386 741
0.387 67
–0.000 929 287
–0.9
0.406 57
0.408 182
–0.001 612 06
–0.85
0.427 415
0.429 452
–0.002 037 27
–0.8
0.449 329
0.451 582
–0.002 252 89
–0.75
0.472 367
0.474 669
–0.002 302 56
–0.7
0.496 585
0.498 811
–0.002 225 61
–0.65
0.522 046
0.524 103
–0.002 057 01
–0.6
0.548 812
0.550 639
–0.001 827 47
–0.55
0.576 95
0.578 513
–0.001 563 45
–0.5
0.606 531
0.607 818
–0.001 287 21
–0.45
0.637 628
0.638 645
–0.001 016 91
–0.4
0.670 32
0.671 087
–0.000 766 712
–0.35
0.704 688
0.705 235
–0.000 546 91
–0.3
0.740 818
0.741 182
–0.000 364 083
–0.25
0.778 801
0.779 022
–0.000 221 29
–0.2
0.818 731
0.818 849
–0.000 118 292
–0.15
0.860 708
0.860 76
–0.000 051 815 7
–0.1
0.904 837
0.904 853
–0.000 015 857 6
–0.05
0.951 229
0.951 231
–2.037 13×10–6
0.
1.
1.
0.
0.05
1.051 27
1.051 27
2.120 27×10–6
0.1
1.105 17
1.105 15
0.000 017 178 7
0.15
1.161 83
1.161 78
0.000 058 425 9
0.2
1.221 4
1.221 26
0.000 138 839
0.25
1.284 03
1.283 76
0.000 270 371
0.3
1.349 86
1.349 4
0.000 463 104
0.35
1.419 07
1.418 34
0.000 724 311
0.4
1.491 82
1.490 77
0.001 057 4
0.45
1.568 31
1.566 85
0.001 460 75
0.5
1.648 72
1.646 79
0.001 926 4
0.55
1.733 25
1.730 81
0.002 438 61
0.6
1.822 12
1.819 15
0.002 972 27
0.65
1.915 54
1.912 05
0.003 491 14
0.7
2.013 75
2.009 81
0.003 945 9
0.75
2.117
2.112 73
0.004 272 01
0.8
2.225 54
2.221 15
0.004 387 37
0.85
2.339 65
2.335 46
0.004 189 73
0.9
2.459 6
2.456 05
0.003 553 88
0.95
2.585 71
2.583 38
0.002 328 57
1.
2.718 28
2.717 95
0.000 333 111
从上表可以看出在[–1，1]上的最大值是0.004 387 37.
事实上，我们可以画出在[–1，1]上的图形：

它在 0.8 附近的极大值就是在[–1，1]上的最大值，为此，计算

在 0.8 附近的零点，得 0.796 371，于是 E2(x) 在[–1，1]上的最大值是，这和列表得到的值差不多.
(3) 在区间[–1，1]上，用 p5(x) 逼近 ex 误差较大，但形式简单；而 r(x) 刚好与 p5(x) 逼近 ex 的优缺点相反：误差小但形式复杂.
6,设有某实验数据如表 6–26 所示：
表 6–26

1.36
1.49
1.73
1.81
1.95
2.16
2.28
2.48

14.094
15.069
16.844
17.378
18.435
19.949
20.963
22.495
试按最小二乘法分别求一次及二次多项式曲线拟合以上数据,
解：设一次逼近式为 y=ax+b，由最小二乘法设
求对与的偏导数，并令它们为零，有：

将数据代入，解得，a≈7.463 86，b≈3.916 07,从而所得拟合表达式为 y=7.463 86x+3.916 07.
设二次逼近式为 y=ax2+bx+c，由最小二乘法设
求对 a，b与 c 的偏导数，并令它们为零，有：

将数据代入，解得，a≈0.300 361，b≈6.314 51，c≈4.976 25,从而所得拟合表达式为.
7,试求三次多项式曲线拟合表 6–27 数据：
表 6–27




0
1
3
4
6


15.1
15.9
8.9
0.1
0.1
21.1
135
解：设三次逼近式为 y=ax3+bx2+cx+d，由最小二乘法设

求对 a，b，c 与 d 的偏导数，并令它们为零，有：

将数据代入，解得，a≈0.999 074，b≈–1.000 09，c≈–8.966 14，d≈9.011 04,从而所得拟合表达式为y=0.999 074x3–1.000 09x2–8.966 14x+9.011 04.
8,观测一个物体的直线运动，得出表 6–28 中数据：
表 6–28
时间 t /s
0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离 s /m
0
10
30
50
80
110
求这物体的初速度及其加速度(假定是常数),
解：假设物体的位移 s 是时间 t 的二次函数，为 s=at2+bt+c，由最小二乘法设

求对 a，b 与 c 的偏导数，并令它们为零，有：

将数据代入，解得，a≈2.248 81，b≈11.081 4，c≈–0.583 365,从而所得拟合表达式为.
于是，物体的初速度 v0==(4.497 62t+11.081 4)|t=0=11.081 4(m/s)
加速度 a==4.497 62(m/s2)
9,用最小二乘法求一个形如的经验公式，使与表 6–29 数据相拟合：
表 6–29

19
25
31
38
44

19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
解：令，将数据相应转换成下表：

361
625
961
1444
1936

19.0
32.3
49.0
73.3
97.8

则经验公式可以看成.
由最小二乘法设，求对与的偏导数，并令它们为零，有：

整理有，
其中

即，

解得 
从而所得拟合表达式为
10,用二次多项式曲线拟合表 6–30 数据：

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

3
87
156
210
238
252
239
211
158
90
–5
解：设二次逼近式为 y=ax2+bx+c，由最小二乘法设，求对 a，b 与 c 的偏导数，并令它们为零，有：

将数据代入，解得，a≈–10.047 8，b≈100.305，c≈–0.853 147,从而所得拟合表达式为.
11,利用的四次泰勒逼近，对 0 附近，计算极限

解：
12,利用对 0 附近的四次泰勒逼近，计算下列极限值，如果换用更高次的泰勒多项式，答案会有不同吗？
(1) 
解：

(2) 
解：

在计算过程中，若换用更高次的泰勒多项式，答案不会有改变.
13,马琴(Machin)公式称.
(1) 在计算器的机器数表示范围内，验证和的值相等.
(2) 用反正切函数的五次泰勒多项式逼近，近似地求的值（注：在 1874 年，威廉·塞克斯(William Shanks)曾用此方法计算直到小数点后 707 位,不幸的是，在 1946 年，发现他在第 528 位算错了.）
(3) 你能解释为什么用这里的公式作泰勒逼近求效果更好，而用 π/4=arctan1 直接作泰勒逼近求 π 效果较差吗？
解：(1) π/4≈0.785 398，而 4 arctan(15)–arctan(1239)≈4×0.197 395 559 8–0.004 184 076 0≈0.785 398，从计算结果上看二者是相等的.
(2) 首先计算 arctanx 关于 x=0 的泰勒多项式,注意
… –1<x<1
逐项积分，可得
… –1<x<1
其中 C 是积分常数．从 arctan0=0 可知 C＝0，所以 arctanx 的(2n+1)次泰勒多项式逼近是
.
arctanx 的五次泰勒多项式逼近是，这样，

(3) 如果用 π/4=arctan1 直接作泰勒逼近，则有

我们发现，即使用了 arctanx 的 19 次泰勒多项式逼近，π=4arctan1 给出的结果仍很不满意,这是因为在使用马琴(Machin)公式近似 π 时，点 1/5、1/239 的 arctanx 泰勒多项式收敛速度，远比点 1 的 arctanx 泰勒多项式收敛速度快，或者说，在次数相同的情况下，用 arctanx 泰勒多项式求点 1/5、1/239 的值，远比用 arctanx 泰勒多项式求点 1 的值精确.
14,一个氢原子由一个质量为 M 的质子和一个围绕质子旋转的质量为 m 的电子组成，其中 m 比 M 要小得多,氢原子的约化质量，由以下公式给出

(1) 证明；
(2) 为了得到的一个更准确的近似值，把表示为 m 与一个依 m/M 为公比的等比数列无穷项求和的乘积；
(3) 若不考虑无穷项求和式除常数项以外的其他所有项，可得近似；若不考虑无穷项求和式除线性项以外的其他所有更高次项，可得一阶校正式,若1836，在一阶校正式之中有多大的百分比改变了估值？
解：(1) 由于 m 比 M 要小得多，故 m+M≈M，从而

(2)
(3) 在中，
若只取无穷项求和式的第1项，可得近似；
若只取无穷项求和式的前2项，可得一阶校正式；
若 m≈M/1 836，一阶校正式

从而，在一阶校正式之中有 1/1 836≈0.000 544 662 改变了估值.
15,一个球从 10 m 高处落到地板后跳起,每次跳起的高度是前一次跳起高度的 3/4,因此当球第一次触地后，跳起的高度为 10×(3/4)=7.5 m，第二次触地后跳起的高度为 7.5×(3/4)=10×(3/4)2 =5.625 m.
(1) 求球在第 n 次触地后跳起高度的表达式；
(2) 求球在它第一、二、三和四次触地时所经过的垂直距离的和的表达式；
(3) 求球在它第 n 次触地时所经过的垂直距离的和的表达式，并化为分式形式.
解：(1) 一个球从 10 m 高处落到地板后跳起,每次跳起的高度是前一次跳起高度的 3/4,因此当球第一次触地后，跳起的高度为 10×(34) m，第二次触地后跳起的高度为 7.5×(3/4)=10×(34)2 m.由归纳法，易得球在第 n 次触地后跳起高度是 10×(3/4)n m.
(2) 球在它第一、二、三和四次触地时所经过的垂直距离的和的表达式是：
10+2×10(3/4)+ 2×10(3/4)2+2×10(3/4)3.
(3) 球在它第次触地时所经过的垂直距离的和的表达式是：
10+2×10(3/4)+ 2×10(3/4)2+…+2×10(3/4)n–1=10+20×.
16,你可能以为 15 题中的球会无限制地跳起，所以它将这样永远不会停止地跳下去,这是错误的！
(1) 证明从高为 h m 落下的球到达地面所需时间为s.
(2) 证明 15 题中的球在经过

秒或近似地等于 20 s后将静止.
证明：(1) 从高为m 落下的球满足自由落体运动，即，g 是重力加速度,所以，从高为m 落下的球到达地面所需时间为，当取 g=9.8(单位：m/s2)时，t=s.
(2) 这样，球从下落到静止经过的时间是

s，
或近似的等于 20 s 后将静止.
17.公债是政府为筹集资金而发行的，债券利息支付一般从一年后算起,若一个人花了 1 000 元买了一张价值 1 000 元的债券,作为回报，相应地他会在债券有效期内每年或每六个月得到一笔固定的收入，称为息票,在得到最后一笔息票的时候，他也会得到归还给他的那 1 000 元，或称为本金.
(1) 对 10 年每年支付 50 元的 1 000 美元的债券，它的现值等于多少？假设年利率为 6 %，以年复利计算.
(2) 对 10 年每年支付 50 元的 1 000 美元的债券，它的现值等于多少？假设年利率为 4 %，以年复利计算.
(3) 对于一张从现在一年后开始算起，对 10 年每年支付 50 元的 1 000 元的债券，它的现值等于多少？假设年利率为 5 %，以年复利计算.
解：所谓 B 元的现值 P 元是一个必须今天存在银行帐户上的值，它使得在将来的某个相关时间帐户上的值恰好等于 B 元．如果年利率为 r，对 t 年以年复利计算利息，则有
.
（１）由于第 1 笔息票(50 元)在 1 年后实现：
第 1 笔息票的现值=
由于第 2 笔息票(50 元)在 2 年后实现：
第 2 笔息票的现值=
由于第 3 笔息票(50 元)在 3 年后实现：
第 3 笔息票的现值=
同样，
第 9 笔息票的现值=
第 10 年末，
第 10 笔息票(50 元)及本金(1 000 元)的现值=
于是，
总的现值=元.
（２）总的现值元
（３）总的现值=元
18,假设一个在海王星(Neptune)附近的航天器测量到一个数据并且把它以一振幅为的周期信号cos的形式发回地球,在它到地球的行程中，该信号带上了只包含了二次和更高次谐波的周期性噪音,假设地球上实际接收到的信号()如下图6–17所示,求航天器原先发送的信号并由此求值.

图6–17
解：由图给出()的表达式：

注意到，()是偶函数，而且信号cos发回地球的行程中，带上了只包含了二次和更高次谐波的周期性噪音，于是，我们只需求得()的三角多项式逼近系数a1.(而，我们很容易由定积分的几何意义得到 a0=0.)

这样，航天器原先发送的信号是，进而.
19,(1) 求 f(t)=tet 关于 t=0 的泰勒公式.
(2) 利用(1)的答案，求如下函数关于 x=0 的泰勒展开.

(3) 利用(2)的答案，证明
…1
解：(1) f(t)=tet 关于 t=0 的泰勒公式是

(2) 
(3) ，而

故，…1.
20,头孢酶菌(Cephalexin)，一种抗生素在体内的半排出期为 0.9 h，每隔 6 h服用 250 mg 药片.
(1) 在每 6 h 周期的开始所服用的头孢酶菌在周期末有多大百分比仍存在体内(假设在周期间没再服药).
(2) 写出的表达式，其中mg 是恰在服用第片药后体内头孢酶菌的含量.
(3) 以分式形式表示，并计算出它们的值.
(4) 写出一个的表达式，并把它化为分式形式.
(5) 若病人持续服药，用(4)的答案求恰在服用一剂药之后，体内头孢酶菌的长期值.
解：(1) 头孢酶菌在体内的半排出期为 0.9 h=54 min，即每过 54 min 体内头孢酶菌含量是 54 min 前含量的一半,于是，服用头孢酶菌后，过 54 min，体内含量为初始含量的 1/2；经过第 2 个 54 min，体内含量为初始含量的 1/22；经过第 3 个 54 min，体内含量为初始含量的 1/23；类似的，6 小时后，共经历 360/54=20/3 个 54 min，从而体内含量为初始含量的 1/2(20/3)≈0.009 843 13，即在每 6 h 周期的开始所服用的头孢酶菌在周期末有大约 1 % 仍存在体内.
(2) mg 是恰在服用第片药后体内头孢酶菌的含量，这样，
Q1=250
Q2=250(0.01)+250
Q3= Q2(0.01)+250=250(0.01)2+250(0.01)+250
Q4= Q3(0.01)+250=250(0.01)3+250(0.01)2+250(0.01)+250
(3) Q3=250+250(0.01)+250(0.01)2==252.525(mg)
Q4=250+250(0.01)+250(0.01)2+250(0.01)3==252.52525(mg)
(4) Qn=250+250(0.01)+250(0.01)2+250(0.01)3+…+250(0.01)n=(mg)
(5) 体内头孢酶菌的长期值为
(mg)
21,在无线电技术中常常遇到如下图6–18所示两图中的脉冲信号：
 　
(a) 　(b)
图 6–18
(1) 试写出它们的解析表达式.
(2) 试用三角多项式逼近它们.
解：
（a）周期是 1，表达式为.
令，则有周期为 2π 的函数

计算傅立叶系数

 (n=1，2，3，…)
 (n=1，2，3，…)
因此，g(t) 的三角逼近多项式为

将 t 回代成 x，可得 f(x) 的三角逼近多项式

(x≠0，±1，±2，±3，…)
（b）周期是 2π，表达式为.
计算傅立叶系数

 (n=1，2，3，…)
 (n=1，2，3，…)
因此，f(x) 的三角逼近多项式为

(x≠，k=±1，±3，±5，…)
习 题 7
1,指出下列微分方程的阶数：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
解：略.
2,验证下列各题中的函数是否为相应方程的解，并指出是通解还是特解：



解：略.
3,验证函数是微分方程 的通解，并求满足初始条件的特解，画出通解及特解的略图,
解：略.
4,考虑微分方程及初始条件 y(0)=1，
(1) 使用欧拉折线法，估算 x=1 时 y 的值，设步数为 2；
(2) 使用欧拉折线法，估算 x=1 时 y 的值，设步数为 4；
(3) y 的真实值的公式是什么？
(4) 上面以欧拉法算得的结果，其误差是像前面方框中误差的定义中所预示的那样吗？
解：略.
5,用欧拉折线法解

初始条件为 t=0 时 B=1 000,步长 Δt 和步数分别取下面(1)，(2)，(3)中的数据：
(1) Δt=1，步数为 1；
(2) Δt=0.5，步数为 2；
(3) Δt=0.2，步数为 4；
(4) 假设 B 为某一赚取利息的银行账户的余额,试解释为何在(1)中计算的结果只相当于以每年为期进行复利计算的结果而不是一年内连续多次的复利计算结果；
(5) 把在(2)中和(3)中进行计算的结果以复利的概念加以解释.
解：略.
6,用欧拉折线法、改进的欧拉折线法和龙格–库塔法求下列所给方程初始问题在指定区间上的近似解(计算到三位小数)，注意比较三种方法的计算精度：
(1) ; 按 h=0.1 在[0，0.5]上求近似解.
(2)  ; 按 h=0.1 在[0.5，1]上求近似解.
(3) ; 按 h=0.02 在[0，0.1]上求近似解.
(4) ; 按 h=0.1 在[–0.5，0]上求近似解.
解：略.
7,一块甘薯被放于 200 ℃ 的炉子内，其温度上升的规律用下面的微分方程表示：

其中为正值.
(1) 如果甘薯被放到炉子内时的温度为 20 ℃，试求解上面的微分方程.
(2) 根据 30 min 后甘薯的温度达到 120 ℃ 这一已知条件求出的值.
解：先求微分方程的通解


积分有：


（1）甘薯被放到炉子内时的温度为 20 ℃，即，代入上式有，因此，微分方程的解为：

（2）30 min 后甘薯的温度达到 120 ℃，即，代入上式有

8,某银行账户中的存款以年增加率 r (这里利率为 5 % 表示 r=0.05)连续增长,假设有 1 000 美元于 1970 存入此账户中,
(1) 试列出此账户中存款数额 M 在时刻 t (以年为单位，从 1970 年算起)所满足的微分方程.
(2) 解(1)中所列微分方程.
(3) 试分别画出利率分别为 5 % 和 10 % 时的直到 2000 年的解曲线.
解：（1）由题意，记 1970 年时，则

（2）容易解得上述微分方程的解：
（3）与时的解分别为：
 与 
其图形略.
9,在某些化学反应中，某种物质的数量随时间改变的速率是与这一物质当时的数量的多少成正比的,例如，–葡糖酸的情况就符合上述规律.
(1) 写出–葡糖酸当前量随时间变化所满足的微分方程.
(2) 如果 1 h 内 100 g 的–葡糖酸减为 54.9 g，那么 10 h 后还剩下多少g？
解：设比例常数为k，由题意可知，–葡糖酸当前量随时间变化所满足的微分方程为

(2) 解方程可得：，其中 C 为任意常数,又由条件知：若将 100 g 时的时间记为0，即，则，从而得：

从而，因此

就是所求.
10,假设在某冬季下午 1 点的时候，你家里突然停电了，并且你的电暖器没有电就不再工作,当停电发生时，你房间里的温度为 20 ℃，在下午 10 点时，房间温度变为 15 ℃，你此时还注意到当时室外温度是–12 ℃.
(1) 假设你房间里的温度 T 的减少速度与当时的温差成正比，试写出 T 所应满足的微分方程,
(2) 解上述微分方程以估算出第二天早晨 7 点起床时的房间里的温度,你担心水管会冻冰吗？
(3) 在(1)中，你对室外温度已经做了什么样的必不可少的假设？根据这一假设(一般来说是不成立的)，你需要修改你的估算值使其高一些或低一些吗？为什么？
解：（1）记停电时的时间为开始时刻，即下午 1 点时为,设室外温度恒定为：T0=–12 ℃,由题意，可知 T 所满足的微分方程为：

（2）解之有：，另一方面，“在下午 10 点时，房间温度变为 15 ℃”表明，从而可得：，从而，则

第二天早晨 7 点时，，代入有
（℃）
可见，不用担心.
（3）对室外温度恒定的假设一般来说不成立,由于室外温度变化比较小，从而 T–T0 越来越小，温度的减少速度越来越小，从而可以想见 T(t) 的图形为凹的（如图所示）,因此，需要修改估算值使其高一些,
11,按照某一单生理模型，一个成年人每天需要 200 J/kg 的热量来保持体重不变,如果他消耗了比这一保持其总质量所需的热量较多或较少的热量，他的体重将要以某种与消耗了的热量和所需保持当前体重的热量（单位：J）这两者之间的差成正比的速率发生变化，比例常数为(1/30 800)kg/J,假设有一个人，他每天摄入体内卡的热量,设()为这个人在时刻(以天为单位)的总体重(单位：kg).
(1) ()所满足的微分方程是什么？
(2) 解上面的微分方程.
(3) 画出()的图像，设这个人初始体重为 75 kg，且每天消耗 3 000 J 的热量,给坐标轴标上刻度，在其中标出可能的截距；画出可能有的渐近线.
解：（1）
（2）略.
（3）略.
12,众所周知，一门课程结束后，学生学到的知识开始慢慢被遗忘,有一种模型称为埃宾豪斯(Ebbindghaus)模型，它假设学生忘记其所学知识的速率与他或她当时还记得的知识同某一给定正常数之间的差值成正比.
(1) 设()为课程结束星期后仍被学生记得的那部分知识的多少，那么，试建立一有关的微分方程；你所得到的微分方程将包含两个常数；常数对所有值均小于
(2) 解上面的方程，并求出那个任意积分常数.
(3) 试解释在解()中的各常数的实际意义(从仍被记住知识的多少这方面来解释.)
解：设比例常数为k，由题意可知，–葡糖酸当前量随时间变化所满足的微分方程为

(2) 解方程可得：，其中 C 为任意常数,从而

(3) 首先，容易得知：随时间 t 的增大，y 在减小，从而 a 表示这门课程中被永久记下的那部分知识的多少.
另一方面，(2)中所给出的 C 的表达时表明：C 表示扣除永久记下的部分后，剩余被记住知识减少的方式.
13,在古代欧洲教堂中，许多管风琴的管子是由锡制成的,在寒冷的季节，这种管子将会感染锡瘟病，而受到感染后的锡将变得易碎而变成灰白色的粉末,这种变化因灰白粉末的产生会加速这种过程从而有时显得像是突然发生似的,开始时，因产生的灰白粉末还比较少，故这种变化比较慢；同样，在结束时，因所剩的金属状锡也比较少，故这种变化也是比较慢的；而在中间阶段，因既有较多的金属状锡又有较多的粉末状锡，故而这种变化会变得相当惊人地快.
假设这种变化的速率与时刻时所剩金属状锡和已生成粉末状锡(用来表示)的重量级乘积成正比.还假设金属状锡变成粉末状锡后重量不变.
(1) 设初始时金属状锡的总重量为 B，试写出满足的微分方程；
(2) 试描绘出初始时存在有少量粉末状锡的情况下解曲线()的图像，当粉末化的速度最大时，已经有多少金属状的锡变成了粉末状?
(3) 假设初始时刻没有粉末状锡存在,(例如，可假设锡完全是新的,)按此模型进行预测，将发生什么情况？你如何使所发生的情况同许多管风琴管子受锡瘟传染影响的事实相符合？
解：设比例常数为 k，由题意可知，已生成粉末状锡的总重量随时间变化所满足的微分方程为

(2) 在初始时存在有少量粉末状锡的情况下，即很小，从而由上述方程可知很小，因此开始时，粉末状锡的增长缓慢，同样，在结束时，因所剩的金属状锡也比较少，故由上述方程可知很小，粉末状锡的增长也较缓慢,在中间阶段，因金属状锡与相对等量，从而其乘积较大，故由上述方程可知很小，从而粉末状锡的增长变得较快,总之，可知图形为 S 形曲线,由方程易见，当时，最大，从而粉末状锡的增长最快,另一方面，解方程可得：，从而，粉末状锡的增长最快时

从而，一半金属状的锡变成了粉末状.
(3) 当初始时刻没有粉末状锡存在时，即有方程

解之有：

可见，按此模型进行预测，将得到管风琴管子不会受到锡瘟传染的结论.
如果管风琴管子接触了锡瘟，则其已经沾染了微量的粉末状锡，从而即开始了锡瘟传染过程.
14,某种动物，其数量的增长是由下面的方程决定的：

其中()为时刻这一种群中个体的数量,我们知道初始数量为 200 个个体,请画出()的图像,问这一种群其个体的数量有可能在将来超过 200 这一数字吗？有可能低于 100 吗？请给出上面各结果的解释,
解：将所给方程变形可知

解之有,初始数量为 200 个个体，即，从而得，则

这一种群个体的数量不可能在将来超过 200 这一数字，也可能低于 100.
因为

单调减少，因此不会多于最初数量 200，另一方面

因此，数量也不会少于 100.
15,对政策制定者来说，对信息在人群中的传播进行模拟是一项非常有意义的事情,例如，各种农业部门可使用有关模型来帮助他们更好地理解技术发明或种子改良品种是如何在其国家内传播的,下面给出了两种有关信息如何传播的模型，假设人口数量保持常数 M 不变.
(1) 如果信息是以大众媒体(电视、广播、报纸)的方式进行传播，那么，我们可以有把握地认为信息传播的速度是与那一时刻尚未获得信息的人的数量成正比的,试写出关于 t 时刻获得这一信息的人的数量的微分方程，并画出在最初没有一个人知道这一信息的假设下(当然，大众媒体例外)这一微分方程的解的曲线；
(2) 如果信息是以口头的方式进行传播，那么，我们可以有把握地认为住处传播的速度是与那一时刻已获得信息的人的数量和尚末获得信息的人的数量的乘积成正比的,试着写出关于 t 时刻获得这一信息的人的数量的微分方程，并就下列各种初始情况画出此微分方程的解的曲线：
(i) 没有一个人知道； (ii) 有 5 % 的人知道； (iii) 有 75 % 的人知道.
就上述每一种情况下，求出何时信息传播得最快？
解：(1) 设比例常数为 k，由题意可知，获得这一信息的人的数量随时间变化所满足的微分方程为

解之有：（其中C为任意常数），另一方面，最初没有一个人知道这一信息的假设条件表明：，因此可解得,解为：

由不难知道其有如图所示的图形.
(2) 设比例常数为 r，由题意可知，已获得信息的人的数量随时间变化所满足的微分方程为

对应初始情况(i)(ii)(iii)分别有以下初值问题：
  
求解得知，它们的解分别为：
  
解曲线如图所示.
分别对上述解曲线求导，解方程求驻点易知：对应结果为：
t 任意  
16,从某生态学家所做的一次有关酵母的实验中而得的酵母数量的数据由表格（表 7–8）给出：
表 7–8
时间h
0
13
32
56
77
101
125
酵母数量
1.00
1.70
2.73
4.87
5.67
5.80
5.83
(1) 你认为这一数量是以指数函数增长还是以逻辑斯谛函数增长？给出你的回答的理由；
(2) 从表 7–8 中前两栏数据来估算的值(既对指数模型又对逻辑斯谛模型),如果在(1)中你选择的是逻辑斯谛模型，那么再估算一下承载量的值,
(3) 描绘出有关数据及根据你所估算出的上述参数而得到的近似增长曲线,
解：(1)演算可见：
 
 
 
可见，计算所的比值不是一个常数，不是以指数函数增长的,另一方面，其上述比值的先增后减表明：表中数量是以逻辑斯谛函数增长的.
(2) 需用前三栏数据,得方程组：

解之有：，,
(3) 略.
17,设药物离开血液进入尿液的速度是与那时血液中药物量的多少成正比的,如果初始剂量为 Q0的药物被直接注射到血液中，3 h 后就只有 20 % 剩留在血液中.
(1) 写出并求解 t 时刻(单位：小时)有关血液中药物量 Q 的微分方程；
(2) 如果初始时刻病人被注射的药剂量为 100 mg，那么 6 h 后这种药在病人体内的量还有多少？
解：(1) 设药物离开血液进入尿液的速度是与那时血液中药物量的多少成正比的比例常数为 k，由题意可知，时刻(单位：h)血液中的药物量 Q 满足的微分方程为

解之有：，另一方面，3 h后就只有 20 % 剩留在血液中的条件表明：

因此可解得,因此：

(2) 初始时刻病人被注射的药剂量为 100 mg，即，因此时刻(单位：h)血液中的药物量

从而，6 h后这种药在病人体内的剩余量为

18,如果一温度为的物体被置于温度不同的环境中，则它将从这环境中吸收或向这环境中释放热量以使得其温度与周围环境的温度相同，而这一过程是按照微分方程变化的,其中为环境的温度,这里，为一正常数，其数值依赖于这一物体的物理性质,
(1) 为何是正值？
(2) 假设用于测量时间的单位是变化的，比如从天变到小时，或从小时变到分钟，那么也将有所变化；如何变化？
(3) 假设所讨论物体为一杯热咖啡，如杯子本身是很薄的瓷杯，那么将变大还是变小？
(4) 假设咖啡刚沏好时的温度为 70 ℃，室温度为 20 ℃，若以分钟计时，常数为 0.1,假设你不能耐受 50 ℃ 以上的咖啡，那么你要喝它需要等上多长时间？又假设你不喜欢饮用温度低于 30 ℃ 的咖啡，那么你必须在多长时间内喝完它？
解：(1) 若物体的温度大于环境温度，则物体被置于环境中会释放热量，从而，而

则有，因此必有：正；另一方面，若物体的温度小于环境温度，则物体被置于环境中会吸收热量，从而，即，因此也必有：正.
总之有为正值,
(2) 由可得：，即表明为单位温差（比如 1 ℃）在单位时间内的改变量，因此，当测量时间的单位从天变到 h （或从 h 变到 min）时，值将逐渐变小,
(3) 如果杯子本身越薄，其散热速度将越快，那么就越大.
(4) 假设咖啡刚沏好时的温度为 70 ℃，室温度为 20 ℃，常数为 0.1,则咖啡温度满足

解之有：,因此：，可知：
时，
时，
上述计算说明，不能耐受 50 ℃ 以上的咖啡，则要需要等 5 分多钟才可以开始喝，不喜欢饮用温度低于 30 ℃ 的咖啡，则必须在砌好后的 16 min 内喝完它.
19,有一种极为稀少的鸟被引入一小岛,由于在小岛上所能存活的鸟的最大数量为 10 000 只，因此，我们选择建立有关鸟的数量的增长率的模型为：这一增长率与当前岛上鸟的数量和鸟的剩余可承载量(10 000–P)的乘积成正比,在 t=0(年)时，岛上有 10 只鸟，其数量在(只年)的速度增长，设未发生任何对鸟有影响的灾害.
(1) 表示鸟数量的增长率的微分方程是什么？从已给条件求出比例常数；
(2) 鸟数量增长的最大增长率是什么？这一最大增长率发生在鸟的数量是多少时？
(3) 画出作为的函数的上述微分方程的解的图像，求出用表示的的表达式.
解：(1) 鸟数量的增长率与当前岛上鸟的数量和鸟的剩余可承载量(10 000–P)的乘积成正比,设这一比例常数为 k，由题意可知，时刻(以小时计算) 鸟的数量满足的微分方程为

在 t=0(年)时，岛上有 10 只鸟，其数量在(只年)的速度增长，则有，及

从而.
(2) 鸟数量增长的增长率最大，即最大，即最大，此时应有：

因此，此时最大增长率(只/年).
(3) 解方程有：，将代入则有

其图形如图所示.
20,一种新产品投入市场，随着人们对它的拥有量的增加，其销售量的下降速度与销售量成正比，销售量的增加速度与对此产品的广告费用成正比，但广告只能影响该商品的市场上尚未饱和的部分(设饱和量为 M),
(1) 建立销售量的数学模型(微分方程)；
(2) 设广告费为，求销售量；
(3) 设，为使时间T内总销量最大，应如何确定,
解：(1) 其销售量的下降速度与销售量成正比的比例常数为，销售量的增加速度与广告费用成正比的比例常数为，由题意可知，时刻的销量满足的微分方程为

(2) 由的表达式可知：，解之有当时，；当时，
即销量为：.
(3) 要总销量最大，则需，即，从而

可见，要是总销量保持最大，需逐渐不断加大广告费用的投入力度，且投入量应与当时销量成正比，与市场上的尚未饱和量成反比.
总之，时，为使时间 T 内总销量最大，应不断加大广告力度，并逐步使广告在 T 时的费用达到，即使

21,以下讨论对以逻辑斯谛曲线增长的某一生物种群进行捕获所产生的后果,这里说的捕获，举例来说，可以是捕鱼或伐木,这里存在一很重要的问题，就是多大的捕获规模导致的结果还仍然是可以承受的，换句话说，我们的捕获量最多是多少，还能使这一种群的数量最终不会降低？这里讨论捕鱼,
I．当无捕鱼行为发生时，我们假设鱼的数量受下面微分方程支配：

其中为时刻(以年为单位)鱼的数量,我们还假设鱼以每年 75 条的连续比率被渔民们捕杀.
(1) 试解释为何鱼的数量一定满足微分方程

(2) 求满足下面各初始条件的微分方程解，并画出解曲线的图形形状：
(i) (0)40； (ii) (0)50； 　(iii) (0)60；
(iv) (0)150； 　(v) (0)170；
解：(1)为时刻(以年为单位)鱼的数量，则为每年的增长量，无捕鱼行为时为，以每年 75 条的连续比率被渔民们捕杀时应为：,因此有相应微分方程.
(2) 先求解微分方程,将微分方程变形有：


解之有：,分别代入所给各初始条件，即可给出相应解,图形略.
II,在此习题中，我们将研究下面微分方程的解：

方法是通过观察随变化的图像,假设为时刻(以年为单位)的鱼的数量.
(1) 若鱼以尾计算，那么上面方程–75 这一项是什么意思？为何是一负项？它的单位是什么？
(2) 如果不考虑–75 这一项，试画出下面微分方程的随变化的图像：

(参看图 7–15)在图上标出的平衡值点,现在，以各种不同的初始条件，画出随变化的图像,(参看图 7–16)
 　
图 7–15  　 　图 7–16 逻辑方程的解曲线
(3) 现在再来画下面的微分方程的随变化的图像：

试找出并标出各截距.
(4) 根据你在(3)中所得图像，画出随变化的图像，初始条件分别如下：
(i) (0)40； (ii) (0)60； (iii) (0)160； (iv) (0)140；
(5) 根据在(4)中所得图像，试确定鱼的数量的平衡值，并说出它们是否是稳定的.
解：(1) 方程中–75 这一项表示与量每年减少 75 尾,负是因为被捕杀，在减少，其单位是：尾/年.
(2) 随变化的图像略,另一方面，将微分方程变形有：
即
解之有：,分别代入所给各初始条件，即可给出相应解,图形略.
(3) (4) (5) 略.
III．在此问题中，我们将讨论作用于某一鱼的种群不同的捕鱼水平所产生的各种效果,如果捕鱼行为是以每年捕获 H 尾的连续比率发生的，而表示时间(以年为单位)，那么，鱼的数量满足下面的微分方程

(1) 分别对75，100，200，描绘出随变化的图像，并且根据这一图像来画出在各种不同初始条件下随变化的图像.
(2) 你认为(1)中的 3 个不同值中哪个有可能使得存在某一初始条件，在这一初始条件下，鱼的数量不会最终灭绝？
(3) 考查一下(2)中所得结果，试决定出的取值范围，使得对这一范围内的值，都存在某一初始条件，在这一初始条件下，鱼的数量不会最终灭绝？
(4) 你将会提出什么样的政策来保证鱼的数量长期稳定？
解,(1) 对75，100，200，描绘出随变化的图像，如下图所示：
  
75 100 200
在各种不同初始条件下随变化的图像略,
(2) 容易看出，前两种都存在使鱼数量不会灭绝的初始条件,
(3) 
(4) 要求捕鱼量不超过100尾/年,