一、问题的直观背景二、不定积分表与计算第三节 积分的计算三、微积分基本定理四、小结五、练习一、问题的直观背景第三节 积分的计算
)( xfy?
x
y
a b
A B
C
D
x
)(x?
xx
如图称 为 变上限的定积分, x
a ttfx d)()(
第三节 积分的计算曲边梯形的面积为且由此还可得
)( bA
0)( a
)()( xfx
一、问题的直观背景第三节 积分的计算求曲边梯形的面积可归结为,
例形的面积．
所围三角，，求由直线 01 yxxy
.
012
边三角形的面积所围的曲，，求 yxxy
一、问题的直观背景练一练
)()( xfx,，使得求一函数 )( x?
二、不定积分表与计算第三节 积分的计算
1.原函数与不定积分原函数的定义
)()( xfxF
xxfxF d)()(d?
原函数,
上的一个在区间是则称
，或上有间
，若在区和设有函数
IxfxF
I
xFxf
)()(
,
)()(
第三节 积分的计算
1.原函数与不定积分原函数的定义二、不定积分表与计算思考个原函数？
的一是否为函数 )()( xfxf?
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
1.原函数与不定积分结论为任意常数．其中的全部原函数，是数，则的一个原函是若函数
c
xfcxF
xfxF
)()(
)()(
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
1.原函数与不定积分不定积分的定义不定积分,上的在区间为体原函数的全，则称上满足在区间与若函数
IxfcxF
xfxfxF
IxfxF
)()(
)()()(
)()(
cxF?)(
记作,? xxf d)(
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
1.原函数与不定积分不定积分的定义即积分号被积函数被积表达式 积分变量
积分常数
cxFxxf )(d)(
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
1.原函数与不定积分例练一练
．求不定积分? xx dc o s
．求不定积分? xx α d
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算不定积分的几何意义
1.原函数与不定积分
．几何上它表示的全体原函数，因此在数是函由于不定积分
)(
d)(
xf
xxf?
一族曲线称为 f(x)的积分曲线族第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
1.原函数与不定积分如图
x
y
cxF?)(
)(xF
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
1.原函数与不定积分倍，求此曲线的方程．
坐标的两处的切线的斜率等于横），（
，且其上任一点），（设一曲线过点
yx
00
例第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
1.原函数与不定积分练一练曲线的方程．点横坐标的倒数，求该处的切线斜率等于该，点
，且在任一，一曲线通过点
)(
)3e(
2
yx
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
2,不定积分的性质性质 1
性质 2
)(d)( xfxxf
cxfxxf )(d)(
cxfxf )()(d
xxfxxf d)(d)(d
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算性质 3 )( 0?k
性质 4
2,不定积分的性质
xxfkxxkf d)(d)(
xxgxxfxxgxf d)(d)(d)]()([
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
3,不定积分表
cxxxcxxx
c
a
a
xacx
αc
α
x
xxcxx
x
cxxcx
x
xxx
α
α
c o sds i ns i ndc o s
ln
dede
)1(
1
d||lnd
1
d1d0
1
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
3,不定积分表
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
cxx
x
cxxxx
cxxxx
cxxx
cxxx
a r c s i nd
1
1
cscdc o tcsc
s e cdt a ns e c
c o tdcsc
t a nds e c
2
2
2
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
3,不定积分表
cxxx a r c t a nd1
1
2
(14)
有连续导数，则若 )()15( xu
)( xu
uuf d)(?
．，求的原函数为设求极限：
的极值点．求函数
．，求设解答下列各题：
xxfxxxxf
x
tt
ttxI
ttt ttx
x
x
x
t
x
d)(ln)(.4
.d)c o s (lim)3(
de)()2(
)2(d11)()1(
.3
0
2
0
0 2
0 2
2
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算例
．求不定积分? x
x
d1 2
例
．求不定积分? x
x
d1
例,求不定积分
xxx de2
．求不定积分 xxx d?
4,不定积分的计算练一练第三节 积分的计算二、不定积分表与计算例
．求不定积分?
x
x
x d)
1
1(c os
2
例
．求不定积分?
x
xx
d
)1(
1
22
求下列不定积分．
xxx
x
x dt a n)2(d1s e c)1( 22
4,不定积分的计算练一练第三节 积分的计算二、不定积分表与计算例例
．求不定积分?
x
xx
x d
c o ss i n
2c o s
．求不定积分?
x
x
d
2c o s1
1
4,不定积分的计算练一练
．求不定积分? xx d
2
c o s 2
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算例
．求不定积分? xx d2c o s
例
.d1s i n1 2? x
xx
求不定积分求下列不定积分．
xxx
xx
x de)2(d
ln
1)1( 2
4,不定积分的计算练一练第三节 积分的计算二、不定积分表与计算常用凑微分格式
)( s i nddc o s)( c o sdds i n
)e(dde)(d
2
1
d
)(d2d
11
dd
1
)( l ndd
1
)(d
1
d
2
2
cxxxcxxx
cxcxxx
cxx
x
c
x
x
x
cxx
x
bax
a
x
xx
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算常用凑微分格式
)( a r c t a ndd
1
1
)( a r c s i ndd
1
1
)( c o tddc s c
)( t a nddsec
2
2
2
2
cxx
x
cxx
x
cxxx
cxxx
(9)
(10)
(11)
(12)
三、微积分基本定理第三节 积分的计算
1,微分形式
)(d)(
d
d)( xfttf
x
x xa
是可导的，且对，上限定积分上连续，则变在区间设
x
baxttfx
baxf
x
a
],[d)()(
],[)(
第三节 积分的计算三、微积分基本定理例
.de
d
d 2 t
x
x
a
t求
d)(
d
d?
ttfx ax
1,微分形式思考第三节 积分的计算三、微积分基本定理例
1,微分形式练一练
．求 t
t
t
x x
ds in
d
d 1
dx
dI
db
dI
da
dI
abdx
x
I
b
a
)()()(
,)(
ln
321
1
1
求设
第三节 积分的计算三、微积分基本定理
2,积分形式原函数，则的一个是，且设 )()(],[)( xfxFbaCxf?
ba ba aFbFxFxxf )()()(d)(
牛顿 — 莱布尼兹公式第三节 积分的计算三、微积分基本定理例 计算下列积分．
xxx
x
d3)2(d1)1( 20 2e1
例
．，求设 xxf
xx
xx
xf d)(
313
10
)( 20?
2,积分形式第三节 积分的计算三、微积分基本定理例
．计算 xx d23 2
求下列积分．
x
x
x
x
d1)2(d
1
1)1( 2
1 2
1
1 2
2,积分形式练一练四、小结第三节 积分的计算
1.原函数与不定积分的概念 ;
2.不定积分的基本性质 ;
3.基本积分表 ;
4.微积分基本定理,
微分形式, )(d)(
d
d)( xfttf
x
x xa
积分形式,b
a
b
a aFbFxFxxf )()()(d)(
五、练习第三节 积分的计算
)0(1
)(
)2()0(1)()1(
)()(.2
1a r c t a n
1
a r c s i n
1
a r c c o s)2(
c o s
2
1
2c o s
4
1
s i n
2
1
)1(
.1
2
22
x
x
xf
xxfx
xfxf
x
xx
xxx
．满足关系式，试求已知
，，
．，，
一个函数的原函数下列各题中的函数是哪第三节 积分的计算五、练习
．，求的原函数为设求极限：
的极值点．求函数
．，求设解答下列各题：
xxfxxxxf
x
tt
ttxI
t
tt
tt
x
x
x
x
t
x
d)(ln)(.4
.
d)c o s (
l i m)3(
de)()2(
)2(d
1
1
)()1(
.3
0
2
0
0
2
0
2
2
第三节 积分的计算
e
1
2
2
π
0
2
2222
3
d
)1(
1
6d
2
c o s
2
s i n)5(
d
1
3
1
2
4d
c o ss i n
2c o s
)3(
d
e
1e2d
2
)1(
.5
x
xx
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
）（
）（
）（
求解下列各题：
五、练习第三节 积分的计算
xx
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
d
e1
e
6d
1
s i n
1
)5(
1
d
4d
e
)3(
d
c o s31
s i n
2de)1(
.6
2
π
2
π
1
22
1
0
22
3
）（
）（
）（
）（
求解下列各题：
五、练习
)( xfy?
x
y
a b
A B
C
D
x
)(x?
xx
如图称 为 变上限的定积分, x
a ttfx d)()(
第三节 积分的计算曲边梯形的面积为且由此还可得
)( bA
0)( a
)()( xfx
一、问题的直观背景第三节 积分的计算求曲边梯形的面积可归结为,
例形的面积．
所围三角，，求由直线 01 yxxy
.
012
边三角形的面积所围的曲，，求 yxxy
一、问题的直观背景练一练
)()( xfx,，使得求一函数 )( x?
二、不定积分表与计算第三节 积分的计算
1.原函数与不定积分原函数的定义
)()( xfxF
xxfxF d)()(d?
原函数,
上的一个在区间是则称
，或上有间
，若在区和设有函数
IxfxF
I
xFxf
)()(
,
)()(
第三节 积分的计算
1.原函数与不定积分原函数的定义二、不定积分表与计算思考个原函数？
的一是否为函数 )()( xfxf?
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
1.原函数与不定积分结论为任意常数．其中的全部原函数，是数，则的一个原函是若函数
c
xfcxF
xfxF
)()(
)()(
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
1.原函数与不定积分不定积分的定义不定积分,上的在区间为体原函数的全，则称上满足在区间与若函数
IxfcxF
xfxfxF
IxfxF
)()(
)()()(
)()(
cxF?)(
记作,? xxf d)(
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
1.原函数与不定积分不定积分的定义即积分号被积函数被积表达式 积分变量
积分常数
cxFxxf )(d)(
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
1.原函数与不定积分例练一练
．求不定积分? xx dc o s
．求不定积分? xx α d
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算不定积分的几何意义
1.原函数与不定积分
．几何上它表示的全体原函数，因此在数是函由于不定积分
)(
d)(
xf
xxf?
一族曲线称为 f(x)的积分曲线族第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
1.原函数与不定积分如图
x
y
cxF?)(
)(xF
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
1.原函数与不定积分倍，求此曲线的方程．
坐标的两处的切线的斜率等于横），（
，且其上任一点），（设一曲线过点
yx
00
例第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
1.原函数与不定积分练一练曲线的方程．点横坐标的倒数，求该处的切线斜率等于该，点
，且在任一，一曲线通过点
)(
)3e(
2
yx
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
2,不定积分的性质性质 1
性质 2
)(d)( xfxxf
cxfxxf )(d)(
cxfxf )()(d
xxfxxf d)(d)(d
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算性质 3 )( 0?k
性质 4
2,不定积分的性质
xxfkxxkf d)(d)(
xxgxxfxxgxf d)(d)(d)]()([
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
3,不定积分表
cxxxcxxx
c
a
a
xacx
αc
α
x
xxcxx
x
cxxcx
x
xxx
α
α
c o sds i ns i ndc o s
ln
dede
)1(
1
d||lnd
1
d1d0
1
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
3,不定积分表
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
cxx
x
cxxxx
cxxxx
cxxx
cxxx
a r c s i nd
1
1
cscdc o tcsc
s e cdt a ns e c
c o tdcsc
t a nds e c
2
2
2
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算
3,不定积分表
cxxx a r c t a nd1
1
2
(14)
有连续导数，则若 )()15( xu
)( xu
uuf d)(?
．，求的原函数为设求极限：
的极值点．求函数
．，求设解答下列各题：
xxfxxxxf
x
tt
ttxI
ttt ttx
x
x
x
t
x
d)(ln)(.4
.d)c o s (lim)3(
de)()2(
)2(d11)()1(
.3
0
2
0
0 2
0 2
2
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算例
．求不定积分? x
x
d1 2
例
．求不定积分? x
x
d1
例,求不定积分
xxx de2
．求不定积分 xxx d?
4,不定积分的计算练一练第三节 积分的计算二、不定积分表与计算例
．求不定积分?
x
x
x d)
1
1(c os
2
例
．求不定积分?
x
xx
d
)1(
1
22
求下列不定积分．
xxx
x
x dt a n)2(d1s e c)1( 22
4,不定积分的计算练一练第三节 积分的计算二、不定积分表与计算例例
．求不定积分?
x
xx
x d
c o ss i n
2c o s
．求不定积分?
x
x
d
2c o s1
1
4,不定积分的计算练一练
．求不定积分? xx d
2
c o s 2
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算例
．求不定积分? xx d2c o s
例
.d1s i n1 2? x
xx
求不定积分求下列不定积分．
xxx
xx
x de)2(d
ln
1)1( 2
4,不定积分的计算练一练第三节 积分的计算二、不定积分表与计算常用凑微分格式
)( s i nddc o s)( c o sdds i n
)e(dde)(d
2
1
d
)(d2d
11
dd
1
)( l ndd
1
)(d
1
d
2
2
cxxxcxxx
cxcxxx
cxx
x
c
x
x
x
cxx
x
bax
a
x
xx
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
第三节 积分的计算二、不定积分表与计算常用凑微分格式
)( a r c t a ndd
1
1
)( a r c s i ndd
1
1
)( c o tddc s c
)( t a nddsec
2
2
2
2
cxx
x
cxx
x
cxxx
cxxx
(9)
(10)
(11)
(12)
三、微积分基本定理第三节 积分的计算
1,微分形式
)(d)(
d
d)( xfttf
x
x xa
是可导的，且对，上限定积分上连续，则变在区间设
x
baxttfx
baxf
x
a
],[d)()(
],[)(
第三节 积分的计算三、微积分基本定理例
.de
d
d 2 t
x
x
a
t求
d)(
d
d?
ttfx ax
1,微分形式思考第三节 积分的计算三、微积分基本定理例
1,微分形式练一练
．求 t
t
t
x x
ds in
d
d 1
dx
dI
db
dI
da
dI
abdx
x
I
b
a
)()()(
,)(
ln
321
1
1
求设
第三节 积分的计算三、微积分基本定理
2,积分形式原函数，则的一个是，且设 )()(],[)( xfxFbaCxf?
ba ba aFbFxFxxf )()()(d)(
牛顿 — 莱布尼兹公式第三节 积分的计算三、微积分基本定理例 计算下列积分．
xxx
x
d3)2(d1)1( 20 2e1
例
．，求设 xxf
xx
xx
xf d)(
313
10
)( 20?
2,积分形式第三节 积分的计算三、微积分基本定理例
．计算 xx d23 2
求下列积分．
x
x
x
x
d1)2(d
1
1)1( 2
1 2
1
1 2
2,积分形式练一练四、小结第三节 积分的计算
1.原函数与不定积分的概念 ;
2.不定积分的基本性质 ;
3.基本积分表 ;
4.微积分基本定理,
微分形式, )(d)(
d
d)( xfttf
x
x xa
积分形式,b
a
b
a aFbFxFxxf )()()(d)(
五、练习第三节 积分的计算
)0(1
)(
)2()0(1)()1(
)()(.2
1a r c t a n
1
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1
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22
x
x
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xfxf
x
xx
xxx
．满足关系式，试求已知
，，
．，，
一个函数的原函数下列各题中的函数是哪第三节 积分的计算五、练习
．，求的原函数为设求极限：
的极值点．求函数
．，求设解答下列各题：
xxfxxxxf
x
tt
ttxI
t
tt
tt
x
x
x
x
t
x
d)(ln)(.4
.
d)c o s (
l i m)3(
de)()2(
)2(d
1
1
)()1(
.3
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2
0
0
2
0
2
2
第三节 积分的计算
e
1
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2
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6d
2
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c o ss i n
2c o s
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2
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x
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求解下列各题：
五、练习第三节 积分的计算
xx
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1
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1
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1
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22
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）（
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求解下列各题：
五、练习
