实验一 Mathemetica系统使用入门
【实验目的】
熟悉Mathemetica的一些基本命令的格式与作用并能熟练使用这些命令。
【基本命令】
1帮助命令命令格式
页码
作用
注意事项
？大写字母*
显示以该字母开头的所有命令
？命令
该命令的基本格式
？？命令
该命令的详细介绍
2.系统内部常数 E,Pi,Inifinity,I
3.代数运算命令
命令格式
页码
作用
注意事项
N[a,n]
P3
求数值a的近似值（保留n位有效数字）
N[a]
求数值a的保留6位有效数字的近似值
也可写为//N
x=a
P3
将数值a赋予x
使用后注意及时清除
Clear[x]
x =.
P3
清除对x的赋值
Clear[x,y,z,…]可一次清除多个变量的赋值
表达式/.{x->a}
P3
将表达式中的x换成数值a后的结果
/.{x->a,y->b,…}可代入多个变量的值
Factor[表达式]
P4
对表达式进行因式分解
也可写为//Factor
Expand[表达式]
P4
展开表达式
也可写为//Expand
Simplify[表达式]
P4
化简表达式
也可写为//Simplify
例1 求代数式在处的值.
解,按序号依次输入下列10个语句,观察每个语句执行后的结果,认真体会赋值语句与代入规则的不同,
命令 结果 命令 结果
1,x^2+3x-10 x^2+3x-10 2,x=2 2
3,x^2+3x-10 0 4,x^3-1 7
5,x*y 2y 6,x=.或Clear[x]
7,x^2+3x-10 x^2+3x-10 8,x^2+3x-10/.x->2 0
9,x^2+3x-10 x^2+3x-10 10,x^3-1 x^3-1
11,x*y x*y 12,x*y/.{x->2,y->3} 6
3解方程与方程组命令
命令格式
页码
作用
注意事项
Solve[方程,x]
P4
求解以x为自变量的代数方程，也可用于求解方程组
只能求解代数方程
NSolve[方程,x]
P4
求以x为自变量的代数方程解的近似值，也可用于求解方程组
只能求解代数方程
Reduce[方程,x]
P4
求解以x为自变量的代数方程，也可用于求解方程组
只能求解代数方程
Eliminata[{方程组},x]
P5
在给定的方程组中消去x.
不能用这一命令求方程组的解
4求和命令
命令格式
页码
作用
注意事项
Sum[,{n,,di}]
P5
求通项为，n从到，步长为di的和的精确值
当=1,di=1时可省略，即Sum[,{n,}]
NSum[,{n,,di}]]
P5
求上式的近似值
5作图命令
命令格式
页码
作用
注意事项
f[x_]:=
P7
定义函数f(x)
Plot[f[x],{x,a,b}]
P7
画出函数f(x)在区间[a,b]上的图形
ParametricPlot[{x[t],y[t]},
{t,}]
P8
画出参数方程在上的图形
ListPlot[list]
P9
画出以所给表list为坐标的点的散点图
该命令中的选项PlotStyle->True可画出折线图
Show[g1,g2,g3,…]
P9
将g1,g2,g3…等图形组合显示在一张图中
6关于数表的命令
命令格式
页码
作用
注意事项
Table[,{n,,di}]
P10
生成以为通项的数表
,di=1时可省略
NestList[f[x],,n]
P10
生成一个有n+1个元素的数表,表中第个元素为以为初值，以f(x)为迭代函数，迭代n-1次的值
list[[n]]
P10
取出表list中的第n个元素
list[[]]
P11
取出二层表list中第个元素中的第个元素
Take[list,n]
P11
n>0时，取出表list中前n个元素，n<0时，取出表中后n个元素
Length[list]
P11
求表list的长度（表中元素的个数）
Prepend[list,a]
P11
将a加在表list的最前面
Append[list,a]
P11
将a加在表list的最后面
Insert[list,a,n]
P11
将a加在表list的第n个位置
Transpose[list]
P16
将二层表的元素进行转换
例2 设数列,求由该数列的前10项构成的数表(表中元素保留4位有效数字)
解,tt=Table[N[1/(2n-1),4],{n,1,10,1}]
{1.,0.3333,0.2,0.1429,0.1111,0.09091,0.07692,0.06667,0.05882,0.05263}
命令 结果
tt[[4]] 0.1429
Length[tt] 10
分别输入以下语句,并观察结果.
Prepend[tt,0]
Append[tt,x^2+y^2]
Insert[tt,**,3]
tt=Table[N[1/(2n-1),4],{n,10}]
例3 求函数在处的近似值,将它们与x的对应值作成一个二层表,并画出相应的图形解,f[x_]:=E^x-Log[1+x]+x;
ff=Table[{x,f[x]//N},{x,0,2,0.2}]
{{0,1.},{0.2,1.23908},{0.4,1.55535},{0.6,1.95212},{0.8,2.43775},{1,3.02513},{1.2,3.73166},{1.4,4.57973},{1.6,5.59752},{1.8,6.82003},{2.,8.29044}}
ListPlot[ff,PlotJoined->True]
gg=Transpose[ff]
{{0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.,1.2,1.4,1.6,1.8,2.},{1.,1.23908,1.55535,1.95212,2.43775,3.02513,3.73166,4.57973,5.59752,6.82003,8.29044}}
gg[[2]]
{1.,1.23908,1.55535,1.95212,2.43775,3.02513,3.73166,4.57973,5.59752,6.82003,8.29044}
Transpose[gg]
{{0,1.},{0.2,1.23908},{0.4,1.55535},{0.6,1.95212},{0.8,2.43775},{1,3.02513},{1.2,3.73166},{1.4,4.57973},{1.6,5.59752},{1.8,6.82003},{2.,8.29044}}
7条件语句与循环语句
命令格式
页码
作用
注意事项
If[条件，语句1，语句2]
P12
条件成立时执行语句1，不成立时执行语句2
Which[条件1,语句1,条件2,语句2,…条件n,语句n]
P12
条件1成立时执行语句1,条件2成立时执行语句2,…条件n成立时执行语句n
For[i=,i<=n,i=i+,循环体语句]
P13
循环语句
i=i+,可记为i+=,。特别的i=i+1也可记为i++
Do[循环体语句,{n,,,di}]
P13
循环语句
,di=1时可省略
n=；While[n<,循环体语句；n=n+di]
P13
循环语句
划线部分不可省略，否则进入死循环。
例4 分别用For,Do,While语句打印1—10
解,For[i=1,i<=10,i=i+1,Print[i]]
Do[Print[i],{i,1,10,1}]
i=1;While[i<=10,Print[i];i=i+1]
例5 用For语句求的近似值。
解,a=0;For[i=1,i<=100,i++,a=a+1/i];Print[a//N]
5.18738
【初学者容易出现的一些错误】
1,该大写的地方不大写。
2,括号用错：在Mathemetica中，大、中、小括号是有不同的用处的。大括号用于数表，中括号用于命令或函数，小括号用于在表达式中改变运算顺序。
3,缺少乘号*,两个字母相乘中间必须加 * 或空格，否则在运算中这两个字母作 为一个整体处理。
4,用Solve,Nsolve,Reduce等命令求解超越方程。
5,没有及时清除变量的赋值。
6,系统内部的函数名拼写或函数格式错误。
7,注意标点符号，特别是逗号“，”与分号“；”的用法（参考教材P13）。
【练习题】
1,求下列各式的精确值与近似值(分别保留4位,6位及15位有效数字)
(1) (2)
2,用三种不同的方法求有理分式在时的值,并体会这三种方法的区别。(三种方法为 (i)赋值语句,(ii)代入规则,(iii)自定义函数)
3,用两个不同的命令求解方程=0,并对结果进行比较。
4,求的所有零点。
5,已知数列的一般项为
(1) 试求出由该数列的前10项构成的数表(表中的元素保留3位有效数字)
(2) 取出该表中的第3个元素和第7个元素
(3) 分别把0,1,-1放在该表的第1位,最后一位及第8位
(4) 求出最后一个表的长度
6,分别画出函数,,
的图形,并用两种不同的方法将三个图形组合在一个图中(给每条曲线设计出不同的颜色)。
7,画出函数在[-2,2]上的图形。
8,画图求曲线的所有交点。
9,用描点法画出函数的图形,并与用Plot语句画出的图形进行比较。
(提示,(1) 在某个范围内例如[-3，3]选取x的值,(2) 生成以为元素的二层表 (3) 画出该表的折线图 (4) 将其与的图形组合,进行比较)
10,用For语句打印
(1) 1—10的平方 (2) 自己的姓名(用拼音)10次
11,用三种不同的循环语句计算下列各题
(1) (精确到)
(2) 的前10；20；100项的和实验二 与极限、连续有关的问题
【实验目的】
1．能通过极限的动画演示理解极限的概念，特别是两个重要极限；
2．熟练运用Mathematica软件命令求极限（左、右极限），与理论知识相结合能够运用极限存在的充要条件判断极限的存在性；
3．能够用作图命令和极限命令结合理论知识求函数的间断点及判断间断点的类型；
4．了解二分法的基本思想，会利用Mathematica软件用二分法求方程的近似根；
5．熟练利用Mathematica软件解决与极限、连续有关的一些简单实际问题。
【实验的预备内容】
复习的数学内容
（1）极限的有关概念、数列极限与函数极限的关系、极限存在的充要条件；
（2）一元函数连续的有关概念、间断点及其类型；一元函数的零点概念及零点定理。
复习Mathematica语句
Table、ListPlot、//N与N[%]、f[x]:=、Show、Plot、For、Do、While、If、Which、Print等语句的格式和用法。
【Mathematica新命令】
命令格式
功能说明
求右极限
求左极限
Point[{x,y}]
画一点。
Line[{,}]
画连接点与的直线段。
PointSize[r]，其中
表示点的大小。
GRBColor[]，其中
表示一种颜色。
【Mathematica新命令】
一、通过动画演示理解极限概念数列极限概念的通俗说法是：若当充分大时，能充分接近与唯一一个确定的常数，则。如何理解这句话呢？首先我们以数列为例来做实验。
例1 观察数列当时的变化趋势。
解 用Table命令先选取数列的前10项进行观察。
用ListPlot画出其散点图，执行后观察数列的变化趋势。
从上图可以看出，当增大时，数列逐渐趋近于0。
再选取数列的前20项进行观察。
再用ListPlot画出其散点图，执行后观察数列的变化趋势。
从上图再次可以看出，当增大时，数列确实逐渐趋近于0。
再逐次作数列前30、40、50等项的散点图，注意纵横上刻度的变化，可以更加确信数列趋于0。因此可得。
可通过下面的动画程序理解数列极限的概念。
运行程序后，得到一系列图形，选中所有图形（用鼠标单击最右边括号，使之变色），再单击胶卷图标，即可动画演示（想终止动画，单击空白处）。
例2 分析函数当时的变化趋势。
解 先取一个较小的范围，如区间[-10，10]，作出函数在这一区间上的图形。
再在区间[-20，20]内作出这一函数的图形
从上面两个图形可以看出当增大时，函数逐渐趋于0。
可通过下面的动画程序理解函数极限的概念。
运行程序后，得到一系列图形，选中所有图形（用鼠标单击最右边括号，使之变色），再单击胶卷图标，即可动画演示（想终止动画，单击空白处）。可得函数当时的极限为0。
练习1 借助于上面两个动画演示程序考察下列函数（或数列）在给定极限过程中的变化趋势。
（1）， （2），
（3）， （4），
练习2 已知数列，，画图观察数列的极限是否存在？
二、极限的计算例3 判极限的存在性，若存在，求出其极限。注意左右极限的用法。
解 先注意下列结果是否正确？
下面区分极限方向再判断：
从上面的结果可以判断不存在。很显然第一次计算的结果是错误的。
例4 计算下列极限
（1） （2） （3）
由此可得。
由此可得。
例5 计算下列极限。
（1） （2）
直接计算不能凑效。
改变函数形式后在计算，问题就可得到解决。
由此可得。
由此可得（不存在）。
例6 求下列极限的近似值。
（1） （2）（精度为）
（3）
（1）法一 用Limit命令先求左、右极限。
执行后结果均为，从而可知左、右极限均存在且相等，故。
法二 在x=1附近，用Plot命令画出函数的图形求极限。
从图形看不出趋向情况，缩小画图区间：
从图知纵轴上所代表的函数值从0.54变化到0.66之间，再缩小区间画图：
函数值从0.59975变化到0.60025，如此可再作下去，知函数值逐渐缩小至0.6，故所求极限为0.6
（2）法一 用Limit命令先求左、右极限。
法二 用循环语句求极限的近似值。精度要求为，即往往要求.
由此可得极限的近似值为4.29969χ，即4.29969χ0.000000
（3）用循环语句判断极限的存在性。
由此可以看出，随着的增大，的值也跟着增大，即所求极限不存在。
练习3 根据上面求极限的方法计算下列各题。
1．先判下列极限的存在性，再求极限。
（1）; （2）; （3）;
（4） （5）; （6）;
（7）; （8）;（9）
2．求的近似值（精度自定）。
3．求极限的近似值。
4．已知数列，，画图观察数列的极限是否存在？若存在，求极限的近似值。
练习4 用Limit命令求下列极限：
并指出它们的关系。
练习5 由上题的结果，你能得到关于“函数极限与该函数子列的极限”的什么结论？
三、一元函数的连续与间断函数在点处连续就是该函数表示的曲线点处不断开，严格地讲就是满足以下三条：
（1）在点处有定义；（2）存在；（3）。
否则称为间断。
下面通过例子看一看如何判断函数在一点处的连续性及其间断点的类型。
例7 判断函数分别在点=1，0处的连续性，若是间断点，请指出间断点类型。
先讨论函数在=1处的连续性，
显然，函数在=1处有意义。
由此可知
即，所以函数在点=1处是连续的。
再讨论函数在=0处的连续性，
由此可知左、右极限值均为0,从而有。
即函数在点=0处是不连续的。由此可得=0为间断点，且为可去间断点。
例8 画图考察下列函数在指定点处的连续性。若为间断点，指明间断点的类型。
（1），x=0； （2），x=0；
（3）。
由图可知,在x=0处函数的图形由-1直跃为+1，故x=0为函数的跳跃间断点。
由图可知，在x=0点附近波动线极为密集，故x=0为函数振荡间断点。
由图可知，为函数的无穷间断点。
练习6
1．判断函数,在x=0点的连续性。
2．讨论函数在x=2处的连续性。
3．画图判断下列间断点类型
（1）,在x=0点； （2）,在x=0点；
（3）,在x=0点； （4）,在x=1点。
四、零点定理的应用—用二分法求方程的近似根。
例9 求方程根的近似值。
法一：用作图法求方程的近似根。首先在区间[0.1,10]内作图.
由上图可知，方程的近似根大约在区间[2,2.5]内，在区间[2,2.5]内再作图
由上图可知，方程的近似根大约在区间[2.2,2.3]内，在区间[2.2,2.3]内再作图
由上图可知，方程的近似根可取为2.22。
法二：用二分法求方程的近似根。具体过程可参见课本P120。
练习7 用作图法和二分法求下列方程的所有近似根。
（1） （2），
练习8 用作图法和二分法求曲线与的所有交点。
五、与极限有关的一些实际问题
1．蛛网模型
在市场经济中存在这样的循环现象：若去年的猪肉生产量供过于求，猪肉的价格就会降低；价格降低会使今年养猪者减少，使今年猪肉生产量供不应求，于是肉价上扬；价格上扬又使明年猪肉产量增加，造成新的供过于求…，
据统计，某城市1997年的猪肉产量为40万吨，肉价为6元/公斤。1998年生产猪肉35万吨，肉价为8元/吨。已知1999年的猪肉产量为38万吨。
若维持目前的消费水平与生产模式，并假定猪肉产量与价格之间是线性关系，问若干年以后猪肉的生产量与价格是否会趋于稳定？若能够稳定，请求出稳定的生产量和价格。
设第n年的猪肉产量为，猪肉价格为。由于当年产量确定当年价格，故，而当年价格又决定第二年的生产量，故。在经济学中，称为需求函数，称为供应函数。产销关系呈现如下过程：
令坐标为，坐标为，
坐标为，坐标为，…，
坐标为，坐标为，，将点列描在平面直角坐标系中会发现都满足，都满足，如下图所示。这种关系很象一个蛛网，故被称为蛛网模型。
练习9.求出1999年的肉价及2000年、2001年的猪肉价格与产量。
练习10.给出1999年后第n年猪肉价格与产量的一般表达式。
练习11.猪肉价格与产量会稳定吗？稳定值是多少？
2．Fibonacci数列与黄金分割问题
“有一对小兔，若第二个它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后亦每月生产一对小兔。假定每生产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？”
这是意大利数学家斐波那契（Fibonacci）在1202年所著“算法之书”中的一道题目。他是这样解答的：若用“○”、“”分别表示一对未成年和成年的兔子（简称仔兔和成兔），则根据题设有：
小兔繁殖数量图
从上图可知，6月份共有小兔13对；还可以看出，从三月份开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和。按照这个规律可以写出数列；
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233
可见一年后共有兔子233对。
这是一个有限项数列，按照上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci数列，其中的每一项称为Fibonacci数。
若设，则此数列应有下面的递推关系：
这个关系可用数学归纳法来证明，其中的通项为
它是由法国数学家比内（Binet）求出的。
与数列紧密相关的一个重要极限为
或
练习12 为考察Fibonacci数列的极限与规律，试用计算机计算出Fibonacci数列每一项的值，并在二维平面上画出顺次连接点，的折线图。分别取。观察Fibonacci数列是否单调增？它是否趋于无穷？它增加的速度是快还是慢？
练习13为进一步研究Fibonacci数列的特性，试在二维平面上画出顺次连接点，的折线图。分别取。此时的折线图有没有规律？
练习14.证明：
除了数学爱好者外，Fibonacci数列也引起了各界人士的关注，这是因为自然、社会及生活中的许多现象的解释，最后往往归结到Fibonacci数列上来，比如，蜜蜂的“家谱”，钢琴音阶的排列，树的分枝等。
黄金分割这一名称是由中世纪著名画家达·芬奇提出的。所谓黄金分割其实就是按中外比分割。即：将一条线段分成两段，使较长的线段成为较短线段与整条线段的比例中项。这时，较短线段与较长线段之比就称为黄金比。
之所以叫“黄金分割”，是因为按这种比例关系分配后，用在建筑上，能使建筑物更为美观；放在音乐里，音调更加和谐悦耳；甚至许多盛开的美丽的花朵以及人的健美体形也都具有“黄金分割”的特点。
那么，黄金分割与Fibonacci数列有何关系？原来，黄金分割点的位置恰好是数列当时的极限。
黄金分割的应用极为广泛，生产和科学实验中普遍使用的优选法——“0.618法”就是其中重要的一种。
练习15.工厂里某一种产品的质量取决于温度，如果温度估计在1000度至1500度之间，怎样实验才能找到最好的温度？
实验三 与微分学有关的问题
【实验目的】
1．能通过导数概念的动画演示理解导数的概念。
2．掌握利用Mathematica软件命令求导的方法。
3．能熟练利用Mathemtica软件命令以及结合相应的理论知识研究一元函数的性态(单调区间、极值与极值点、凹凸性与拐点、最值)，会利用Mathematica软件求极值的近似值。
4．了解“以直代曲”的思想。
5．能够利用Mathematica软件解决与微分学有关的一些简单实际问题。
【实验的预备内容】
复习的数学内容导数的定义，导数的运算法则，复合函数求导法，参数方程求导法，隐函数求导法，高阶（偏）导数的概念与求导方法，微分与全微分的概念及求法。可导函数的单调性、极值、凹凸性、拐点的概念及其求法。最值的概念及求解一些简单实际问题的一般步骤。
复习Mathematica语句
f[x_]:=、Solve、NSolve、Plot、Show、For、Smplify、//N或N[%]、Sqrt、Exp、Log
【学习Mathematica新命令】
命令格式
功能说明
D[f[x],x]
求f(x)在关于x的一阶导数
D[f[x],{x,n}]
求f(x)关于x的n阶导数
D[f,{x,n},{y,m},…]
求f对x的 n阶导数，对y的m阶导数，…
FindRoot[方程，{x，初始点}]
求方程在初始点的近似根，x是自变量
FindMinimum[f[x]，{x，初始点}]
求函数f(x)在初始点的近似极小值，x是自变量
【实验指导】
一、动画演示例1 导数就是切线的斜率
通过动画演示可以看到割线逼近切线的过程。上段程序是从右面逼近切线的，你能给出从左面逼近的程序吗？
二、导数的计算例2 若f(x)=xsin2x，求f '(x)，f(8)(x)及f '(0)，f(8)(0)。
例3 设函数由参数方程确定，求y'(x)，y'()及y''(x)。
例4 设z=xarctan(xy2)，求zx，zxy，zxyx和zyxy(1,2)
例5 求(1)函数y=x+lnx的微分及x=1处的微分；(2)求z=xy的全微分及x=e,y=4处的全微分。
例6 方程确定了y是x的函数，求y'(x)及y''(x)
解 先将方程两边取对数，并记为b，这里y是x的函数，写成y[x]，
对b的两端关于x求导，并将结果记为bb1，
bb1是含有y'(x)的方程，解出y'(x)即为所求，并将结果记为aa1，
再对bb1两边关于x求导，结果记为bb2，
bb2是含有y''(x)的方程，解出y''(x)，并将结果记为aa2，
在将y'(x)代入到aa2，即得所求，
三、一元函数性态的讨论例7 确定函数y=x3–3x2–9x+14的单调区间先求出函数的驻点，
因此，单调区间为(-∞,-1),(-1,3),(3,+∞)。
画出导数函数的图形，
可以看出，在区间[-1,3]内，y'[x]<0,从而[-1,3]为单调减区间，同样可知另外两个区间为(-∞,-1)与(3,+∞)单调增区间。
例8 求一元函数y=3 - 9 x - 3 x+ x的极值。
比较驻点处函数值的大小，
所以，函数y在-1处取得极大值8，在3处取得极小值-24。
例9 求函数f(x)=x+sin5x在区间(0,2)的极值。
解法一：驻点法与图形结合。利用上例的方法，使用Solve命令会有错误提示，因为Solve不能解超越方程，因此，我们利用FindRoot来求方程的近似根。
从图形可以看出，在0.4和1.6附近函数取得极大值，在1附近取得极小值。利用FindRoot命令求出驻点近似值。
从而求出相应的极值的近似值，
解法二：利用图形与FindMinimum命令结合的方法。
利用命令FindMinimum[f[x],{x,x0}]来求极小值，这里x0是初始值，一般利用画图可以找到。虽然Mathematica没有提供计算极大值的命令，但-FindMinimum[-f[x],{x,x0}]就可以做到这一点(在答案中会出现额外的负号，可以忽略)。
例10 确定函数y=1 - 9 x - 3 x+ x的凹凸区间与拐点。
可知凹凸区间为(-,1)，(1,+)
观察图形，(-3,1)部分在x轴下方，即当x<1时，y’’<0; (1,3)部分在x轴上方，即当x>1时，y’’>0。所以为（-，1）凸区间，为（1，+）凹区间。
故拐点为（1，-10）。
四、可导函数的最值和简单实际问题例11 计算函数f(x)=x4-4x3+2x2+4x+2在区间[0,4]上的最大值和最小值.
这三个数中只有两个在区间[0,4]中.我们计算函数在这些值以及区间端点上的值.
所以f在该区间上的最大值为50,最小值为1.
例12 一幢楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室宽2米，高3米。温室正上方是楼房的窗台，清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的。现清洁工只有一架7米长的梯子，你认为它能达到要求吗？
解 先动态观测梯子长度随倾斜角变化的情况。
运行程序后，得到下面9个图形，选中所有图形（用鼠标单击最右边括号，使之变色），再单击胶卷图标，即可动画演示（想终止动画，单击空白处）。
当梯子与温室顶端处恰好接触斜靠楼房时，梯子的长度L只与梯子倾斜的角度x有关。容易得到，
,
其中a与b分别是温室的宽和高。可以计算，它有唯一驻点
从而，梯子的最小长度为
下面利用Mathematica给出数值结果。
从图中可以看出有唯一的稳定点。
当a=2，b=3时，Lmin≈7.02348，从而，7米长的梯子是不行的。
例13 求出圆x2+y2-2x-4y=0上距离P(4,4)最近和最远的点.
解 首先画一幅示意图.
令(x,y)表示圆上一点.首先我们需要用x表示出y
用d2表示从(x,y)点到(4,4)点距离的平方,下面计算它的最小值.从图上显然可知离P点最近点在上半圆周.
距离P点最远的点在下半圆周.
5.“以直代曲”思想——局部线性化例14 函数f(x)=x2在一点(1,f(1))处的局部线性化表达式为：y=f(1)+f’(1)(x-1)与原函数的图形画在一起比较
我们将图形显示范围缩小
可以看出,在(1,f(1))点附近,f(x)和它的切线随着范围的缩小,愈来愈接近.因此,一元函数的局部线性化实际上是将函数在一点附近的图形用其在此点处的切线代替.在切点附近二者几乎重合,此时可将函数近似看成直线.
【练习】
1.利用Mathematica命令求下列函数的导数
(1)y=cosx+x2sinx,求 y’(x) (2)y=x(x2 –cotx)sinx,求y’(3)
(3)z=excosy,求zxyx (4)z=xln(xy),求zxyy,zxyx∣(1,1)
2.求下列方程所确定隐函数y=f(x)的一阶导数y’(x)及二阶y’’(x)
(1)y=x+lny (2)arctan(y/x)=ln(x2+y2)
3.求由参数方程确定函数的一阶导数y’(x)及二阶y’’(x)。
(1)x=arcsint,y= (2)x=sin3t,y=cos3t
4.求下列函数的微分与全微分。
(1)y=lgsinx+xsin2x,求dy,dy∣x=2 (2)z=arctan(x/y)+arcsiny,求dz,dz∣(1,2)
5.确定下列函数的单调区间。
(1) (2)
(3) (4)
6.求下列函数的极值。
(1) (2)
(3) (4)
7.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间。
(1)y=(x+1)4+ex (2)y=ln(x2+1)
(3)y=earctanx (4)y=x4(12lnx-7)
8.求y=4sinx+x2在区间[-6,6]的单调区间、极值和凹凸区间、拐点.
9.求下列函数在所给区间上的最值.
(1)y=x-6x+x-3x [-2,5] (2)y=x+2 [0,4]
10.以梯子长度的例题为背景，回答下面的问题
(1)取,在只用米长梯子的情况下,温室最多能修建多高?
(2)一条1米宽的通道与另一条2米宽的通道相交成直角,一个梯子需要水平饶过拐角,试问梯子的最大长度是多少?
11.一根线长100厘米,要用它构成一个正方形和一个圆形.请问如何分配,才能使它所构成的图形面积和(a)最大;(b)最小.
12.一个圆柱被单位球面所截.(a)求出最大可能的体积;(b)求出最大可能的表面面积.
13.某地有一个电话公司计划在宽100米的河两边的A与B点之间架一条电话线,C点为A点在河另一边的相对点,B点到C点的距离为500英尺.然而,在水下架线的成本是在陆地上架线成本的3倍.在此条件下,公司应如何确定架线方案,从而使费用最小?
14,求出两个和为50的正数,使得第一个数的平方根加上第二个数的立方根尽可能大.
【实验目的】
熟悉Mathemetica的一些基本命令的格式与作用并能熟练使用这些命令。
【基本命令】
1帮助命令命令格式
页码
作用
注意事项
？大写字母*
显示以该字母开头的所有命令
？命令
该命令的基本格式
？？命令
该命令的详细介绍
2.系统内部常数 E,Pi,Inifinity,I
3.代数运算命令
命令格式
页码
作用
注意事项
N[a,n]
P3
求数值a的近似值（保留n位有效数字）
N[a]
求数值a的保留6位有效数字的近似值
也可写为//N
x=a
P3
将数值a赋予x
使用后注意及时清除
Clear[x]
x =.
P3
清除对x的赋值
Clear[x,y,z,…]可一次清除多个变量的赋值
表达式/.{x->a}
P3
将表达式中的x换成数值a后的结果
/.{x->a,y->b,…}可代入多个变量的值
Factor[表达式]
P4
对表达式进行因式分解
也可写为//Factor
Expand[表达式]
P4
展开表达式
也可写为//Expand
Simplify[表达式]
P4
化简表达式
也可写为//Simplify
例1 求代数式在处的值.
解,按序号依次输入下列10个语句,观察每个语句执行后的结果,认真体会赋值语句与代入规则的不同,
命令 结果 命令 结果
1,x^2+3x-10 x^2+3x-10 2,x=2 2
3,x^2+3x-10 0 4,x^3-1 7
5,x*y 2y 6,x=.或Clear[x]
7,x^2+3x-10 x^2+3x-10 8,x^2+3x-10/.x->2 0
9,x^2+3x-10 x^2+3x-10 10,x^3-1 x^3-1
11,x*y x*y 12,x*y/.{x->2,y->3} 6
3解方程与方程组命令
命令格式
页码
作用
注意事项
Solve[方程,x]
P4
求解以x为自变量的代数方程，也可用于求解方程组
只能求解代数方程
NSolve[方程,x]
P4
求以x为自变量的代数方程解的近似值，也可用于求解方程组
只能求解代数方程
Reduce[方程,x]
P4
求解以x为自变量的代数方程，也可用于求解方程组
只能求解代数方程
Eliminata[{方程组},x]
P5
在给定的方程组中消去x.
不能用这一命令求方程组的解
4求和命令
命令格式
页码
作用
注意事项
Sum[,{n,,di}]
P5
求通项为，n从到，步长为di的和的精确值
当=1,di=1时可省略，即Sum[,{n,}]
NSum[,{n,,di}]]
P5
求上式的近似值
5作图命令
命令格式
页码
作用
注意事项
f[x_]:=
P7
定义函数f(x)
Plot[f[x],{x,a,b}]
P7
画出函数f(x)在区间[a,b]上的图形
ParametricPlot[{x[t],y[t]},
{t,}]
P8
画出参数方程在上的图形
ListPlot[list]
P9
画出以所给表list为坐标的点的散点图
该命令中的选项PlotStyle->True可画出折线图
Show[g1,g2,g3,…]
P9
将g1,g2,g3…等图形组合显示在一张图中
6关于数表的命令
命令格式
页码
作用
注意事项
Table[,{n,,di}]
P10
生成以为通项的数表
,di=1时可省略
NestList[f[x],,n]
P10
生成一个有n+1个元素的数表,表中第个元素为以为初值，以f(x)为迭代函数，迭代n-1次的值
list[[n]]
P10
取出表list中的第n个元素
list[[]]
P11
取出二层表list中第个元素中的第个元素
Take[list,n]
P11
n>0时，取出表list中前n个元素，n<0时，取出表中后n个元素
Length[list]
P11
求表list的长度（表中元素的个数）
Prepend[list,a]
P11
将a加在表list的最前面
Append[list,a]
P11
将a加在表list的最后面
Insert[list,a,n]
P11
将a加在表list的第n个位置
Transpose[list]
P16
将二层表的元素进行转换
例2 设数列,求由该数列的前10项构成的数表(表中元素保留4位有效数字)
解,tt=Table[N[1/(2n-1),4],{n,1,10,1}]
{1.,0.3333,0.2,0.1429,0.1111,0.09091,0.07692,0.06667,0.05882,0.05263}
命令 结果
tt[[4]] 0.1429
Length[tt] 10
分别输入以下语句,并观察结果.
Prepend[tt,0]
Append[tt,x^2+y^2]
Insert[tt,**,3]
tt=Table[N[1/(2n-1),4],{n,10}]
例3 求函数在处的近似值,将它们与x的对应值作成一个二层表,并画出相应的图形解,f[x_]:=E^x-Log[1+x]+x;
ff=Table[{x,f[x]//N},{x,0,2,0.2}]
{{0,1.},{0.2,1.23908},{0.4,1.55535},{0.6,1.95212},{0.8,2.43775},{1,3.02513},{1.2,3.73166},{1.4,4.57973},{1.6,5.59752},{1.8,6.82003},{2.,8.29044}}
ListPlot[ff,PlotJoined->True]
gg=Transpose[ff]
{{0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.,1.2,1.4,1.6,1.8,2.},{1.,1.23908,1.55535,1.95212,2.43775,3.02513,3.73166,4.57973,5.59752,6.82003,8.29044}}
gg[[2]]
{1.,1.23908,1.55535,1.95212,2.43775,3.02513,3.73166,4.57973,5.59752,6.82003,8.29044}
Transpose[gg]
{{0,1.},{0.2,1.23908},{0.4,1.55535},{0.6,1.95212},{0.8,2.43775},{1,3.02513},{1.2,3.73166},{1.4,4.57973},{1.6,5.59752},{1.8,6.82003},{2.,8.29044}}
7条件语句与循环语句
命令格式
页码
作用
注意事项
If[条件，语句1，语句2]
P12
条件成立时执行语句1，不成立时执行语句2
Which[条件1,语句1,条件2,语句2,…条件n,语句n]
P12
条件1成立时执行语句1,条件2成立时执行语句2,…条件n成立时执行语句n
For[i=,i<=n,i=i+,循环体语句]
P13
循环语句
i=i+,可记为i+=,。特别的i=i+1也可记为i++
Do[循环体语句,{n,,,di}]
P13
循环语句
,di=1时可省略
n=；While[n<,循环体语句；n=n+di]
P13
循环语句
划线部分不可省略，否则进入死循环。
例4 分别用For,Do,While语句打印1—10
解,For[i=1,i<=10,i=i+1,Print[i]]
Do[Print[i],{i,1,10,1}]
i=1;While[i<=10,Print[i];i=i+1]
例5 用For语句求的近似值。
解,a=0;For[i=1,i<=100,i++,a=a+1/i];Print[a//N]
5.18738
【初学者容易出现的一些错误】
1,该大写的地方不大写。
2,括号用错：在Mathemetica中，大、中、小括号是有不同的用处的。大括号用于数表，中括号用于命令或函数，小括号用于在表达式中改变运算顺序。
3,缺少乘号*,两个字母相乘中间必须加 * 或空格，否则在运算中这两个字母作 为一个整体处理。
4,用Solve,Nsolve,Reduce等命令求解超越方程。
5,没有及时清除变量的赋值。
6,系统内部的函数名拼写或函数格式错误。
7,注意标点符号，特别是逗号“，”与分号“；”的用法（参考教材P13）。
【练习题】
1,求下列各式的精确值与近似值(分别保留4位,6位及15位有效数字)
(1) (2)
2,用三种不同的方法求有理分式在时的值,并体会这三种方法的区别。(三种方法为 (i)赋值语句,(ii)代入规则,(iii)自定义函数)
3,用两个不同的命令求解方程=0,并对结果进行比较。
4,求的所有零点。
5,已知数列的一般项为
(1) 试求出由该数列的前10项构成的数表(表中的元素保留3位有效数字)
(2) 取出该表中的第3个元素和第7个元素
(3) 分别把0,1,-1放在该表的第1位,最后一位及第8位
(4) 求出最后一个表的长度
6,分别画出函数,,
的图形,并用两种不同的方法将三个图形组合在一个图中(给每条曲线设计出不同的颜色)。
7,画出函数在[-2,2]上的图形。
8,画图求曲线的所有交点。
9,用描点法画出函数的图形,并与用Plot语句画出的图形进行比较。
(提示,(1) 在某个范围内例如[-3，3]选取x的值,(2) 生成以为元素的二层表 (3) 画出该表的折线图 (4) 将其与的图形组合,进行比较)
10,用For语句打印
(1) 1—10的平方 (2) 自己的姓名(用拼音)10次
11,用三种不同的循环语句计算下列各题
(1) (精确到)
(2) 的前10；20；100项的和实验二 与极限、连续有关的问题
【实验目的】
1．能通过极限的动画演示理解极限的概念，特别是两个重要极限；
2．熟练运用Mathematica软件命令求极限（左、右极限），与理论知识相结合能够运用极限存在的充要条件判断极限的存在性；
3．能够用作图命令和极限命令结合理论知识求函数的间断点及判断间断点的类型；
4．了解二分法的基本思想，会利用Mathematica软件用二分法求方程的近似根；
5．熟练利用Mathematica软件解决与极限、连续有关的一些简单实际问题。
【实验的预备内容】
复习的数学内容
（1）极限的有关概念、数列极限与函数极限的关系、极限存在的充要条件；
（2）一元函数连续的有关概念、间断点及其类型；一元函数的零点概念及零点定理。
复习Mathematica语句
Table、ListPlot、//N与N[%]、f[x]:=、Show、Plot、For、Do、While、If、Which、Print等语句的格式和用法。
【Mathematica新命令】
命令格式
功能说明
求右极限
求左极限
Point[{x,y}]
画一点。
Line[{,}]
画连接点与的直线段。
PointSize[r]，其中
表示点的大小。
GRBColor[]，其中
表示一种颜色。
【Mathematica新命令】
一、通过动画演示理解极限概念数列极限概念的通俗说法是：若当充分大时，能充分接近与唯一一个确定的常数，则。如何理解这句话呢？首先我们以数列为例来做实验。
例1 观察数列当时的变化趋势。
解 用Table命令先选取数列的前10项进行观察。
用ListPlot画出其散点图，执行后观察数列的变化趋势。
从上图可以看出，当增大时，数列逐渐趋近于0。
再选取数列的前20项进行观察。
再用ListPlot画出其散点图，执行后观察数列的变化趋势。
从上图再次可以看出，当增大时，数列确实逐渐趋近于0。
再逐次作数列前30、40、50等项的散点图，注意纵横上刻度的变化，可以更加确信数列趋于0。因此可得。
可通过下面的动画程序理解数列极限的概念。
运行程序后，得到一系列图形，选中所有图形（用鼠标单击最右边括号，使之变色），再单击胶卷图标，即可动画演示（想终止动画，单击空白处）。
例2 分析函数当时的变化趋势。
解 先取一个较小的范围，如区间[-10，10]，作出函数在这一区间上的图形。
再在区间[-20，20]内作出这一函数的图形
从上面两个图形可以看出当增大时，函数逐渐趋于0。
可通过下面的动画程序理解函数极限的概念。
运行程序后，得到一系列图形，选中所有图形（用鼠标单击最右边括号，使之变色），再单击胶卷图标，即可动画演示（想终止动画，单击空白处）。可得函数当时的极限为0。
练习1 借助于上面两个动画演示程序考察下列函数（或数列）在给定极限过程中的变化趋势。
（1）， （2），
（3）， （4），
练习2 已知数列，，画图观察数列的极限是否存在？
二、极限的计算例3 判极限的存在性，若存在，求出其极限。注意左右极限的用法。
解 先注意下列结果是否正确？
下面区分极限方向再判断：
从上面的结果可以判断不存在。很显然第一次计算的结果是错误的。
例4 计算下列极限
（1） （2） （3）
由此可得。
由此可得。
例5 计算下列极限。
（1） （2）
直接计算不能凑效。
改变函数形式后在计算，问题就可得到解决。
由此可得。
由此可得（不存在）。
例6 求下列极限的近似值。
（1） （2）（精度为）
（3）
（1）法一 用Limit命令先求左、右极限。
执行后结果均为，从而可知左、右极限均存在且相等，故。
法二 在x=1附近，用Plot命令画出函数的图形求极限。
从图形看不出趋向情况，缩小画图区间：
从图知纵轴上所代表的函数值从0.54变化到0.66之间，再缩小区间画图：
函数值从0.59975变化到0.60025，如此可再作下去，知函数值逐渐缩小至0.6，故所求极限为0.6
（2）法一 用Limit命令先求左、右极限。
法二 用循环语句求极限的近似值。精度要求为，即往往要求.
由此可得极限的近似值为4.29969χ，即4.29969χ0.000000
（3）用循环语句判断极限的存在性。
由此可以看出，随着的增大，的值也跟着增大，即所求极限不存在。
练习3 根据上面求极限的方法计算下列各题。
1．先判下列极限的存在性，再求极限。
（1）; （2）; （3）;
（4） （5）; （6）;
（7）; （8）;（9）
2．求的近似值（精度自定）。
3．求极限的近似值。
4．已知数列，，画图观察数列的极限是否存在？若存在，求极限的近似值。
练习4 用Limit命令求下列极限：
并指出它们的关系。
练习5 由上题的结果，你能得到关于“函数极限与该函数子列的极限”的什么结论？
三、一元函数的连续与间断函数在点处连续就是该函数表示的曲线点处不断开，严格地讲就是满足以下三条：
（1）在点处有定义；（2）存在；（3）。
否则称为间断。
下面通过例子看一看如何判断函数在一点处的连续性及其间断点的类型。
例7 判断函数分别在点=1，0处的连续性，若是间断点，请指出间断点类型。
先讨论函数在=1处的连续性，
显然，函数在=1处有意义。
由此可知
即，所以函数在点=1处是连续的。
再讨论函数在=0处的连续性，
由此可知左、右极限值均为0,从而有。
即函数在点=0处是不连续的。由此可得=0为间断点，且为可去间断点。
例8 画图考察下列函数在指定点处的连续性。若为间断点，指明间断点的类型。
（1），x=0； （2），x=0；
（3）。
由图可知,在x=0处函数的图形由-1直跃为+1，故x=0为函数的跳跃间断点。
由图可知，在x=0点附近波动线极为密集，故x=0为函数振荡间断点。
由图可知，为函数的无穷间断点。
练习6
1．判断函数,在x=0点的连续性。
2．讨论函数在x=2处的连续性。
3．画图判断下列间断点类型
（1）,在x=0点； （2）,在x=0点；
（3）,在x=0点； （4）,在x=1点。
四、零点定理的应用—用二分法求方程的近似根。
例9 求方程根的近似值。
法一：用作图法求方程的近似根。首先在区间[0.1,10]内作图.
由上图可知，方程的近似根大约在区间[2,2.5]内，在区间[2,2.5]内再作图
由上图可知，方程的近似根大约在区间[2.2,2.3]内，在区间[2.2,2.3]内再作图
由上图可知，方程的近似根可取为2.22。
法二：用二分法求方程的近似根。具体过程可参见课本P120。
练习7 用作图法和二分法求下列方程的所有近似根。
（1） （2），
练习8 用作图法和二分法求曲线与的所有交点。
五、与极限有关的一些实际问题
1．蛛网模型
在市场经济中存在这样的循环现象：若去年的猪肉生产量供过于求，猪肉的价格就会降低；价格降低会使今年养猪者减少，使今年猪肉生产量供不应求，于是肉价上扬；价格上扬又使明年猪肉产量增加，造成新的供过于求…，
据统计，某城市1997年的猪肉产量为40万吨，肉价为6元/公斤。1998年生产猪肉35万吨，肉价为8元/吨。已知1999年的猪肉产量为38万吨。
若维持目前的消费水平与生产模式，并假定猪肉产量与价格之间是线性关系，问若干年以后猪肉的生产量与价格是否会趋于稳定？若能够稳定，请求出稳定的生产量和价格。
设第n年的猪肉产量为，猪肉价格为。由于当年产量确定当年价格，故，而当年价格又决定第二年的生产量，故。在经济学中，称为需求函数，称为供应函数。产销关系呈现如下过程：
令坐标为，坐标为，
坐标为，坐标为，…，
坐标为，坐标为，，将点列描在平面直角坐标系中会发现都满足，都满足，如下图所示。这种关系很象一个蛛网，故被称为蛛网模型。
练习9.求出1999年的肉价及2000年、2001年的猪肉价格与产量。
练习10.给出1999年后第n年猪肉价格与产量的一般表达式。
练习11.猪肉价格与产量会稳定吗？稳定值是多少？
2．Fibonacci数列与黄金分割问题
“有一对小兔，若第二个它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后亦每月生产一对小兔。假定每生产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？”
这是意大利数学家斐波那契（Fibonacci）在1202年所著“算法之书”中的一道题目。他是这样解答的：若用“○”、“”分别表示一对未成年和成年的兔子（简称仔兔和成兔），则根据题设有：
小兔繁殖数量图
从上图可知，6月份共有小兔13对；还可以看出，从三月份开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和。按照这个规律可以写出数列；
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233
可见一年后共有兔子233对。
这是一个有限项数列，按照上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci数列，其中的每一项称为Fibonacci数。
若设，则此数列应有下面的递推关系：
这个关系可用数学归纳法来证明，其中的通项为
它是由法国数学家比内（Binet）求出的。
与数列紧密相关的一个重要极限为
或
练习12 为考察Fibonacci数列的极限与规律，试用计算机计算出Fibonacci数列每一项的值，并在二维平面上画出顺次连接点，的折线图。分别取。观察Fibonacci数列是否单调增？它是否趋于无穷？它增加的速度是快还是慢？
练习13为进一步研究Fibonacci数列的特性，试在二维平面上画出顺次连接点，的折线图。分别取。此时的折线图有没有规律？
练习14.证明：
除了数学爱好者外，Fibonacci数列也引起了各界人士的关注，这是因为自然、社会及生活中的许多现象的解释，最后往往归结到Fibonacci数列上来，比如，蜜蜂的“家谱”，钢琴音阶的排列，树的分枝等。
黄金分割这一名称是由中世纪著名画家达·芬奇提出的。所谓黄金分割其实就是按中外比分割。即：将一条线段分成两段，使较长的线段成为较短线段与整条线段的比例中项。这时，较短线段与较长线段之比就称为黄金比。
之所以叫“黄金分割”，是因为按这种比例关系分配后，用在建筑上，能使建筑物更为美观；放在音乐里，音调更加和谐悦耳；甚至许多盛开的美丽的花朵以及人的健美体形也都具有“黄金分割”的特点。
那么，黄金分割与Fibonacci数列有何关系？原来，黄金分割点的位置恰好是数列当时的极限。
黄金分割的应用极为广泛，生产和科学实验中普遍使用的优选法——“0.618法”就是其中重要的一种。
练习15.工厂里某一种产品的质量取决于温度，如果温度估计在1000度至1500度之间，怎样实验才能找到最好的温度？
实验三 与微分学有关的问题
【实验目的】
1．能通过导数概念的动画演示理解导数的概念。
2．掌握利用Mathematica软件命令求导的方法。
3．能熟练利用Mathemtica软件命令以及结合相应的理论知识研究一元函数的性态(单调区间、极值与极值点、凹凸性与拐点、最值)，会利用Mathematica软件求极值的近似值。
4．了解“以直代曲”的思想。
5．能够利用Mathematica软件解决与微分学有关的一些简单实际问题。
【实验的预备内容】
复习的数学内容导数的定义，导数的运算法则，复合函数求导法，参数方程求导法，隐函数求导法，高阶（偏）导数的概念与求导方法，微分与全微分的概念及求法。可导函数的单调性、极值、凹凸性、拐点的概念及其求法。最值的概念及求解一些简单实际问题的一般步骤。
复习Mathematica语句
f[x_]:=、Solve、NSolve、Plot、Show、For、Smplify、//N或N[%]、Sqrt、Exp、Log
【学习Mathematica新命令】
命令格式
功能说明
D[f[x],x]
求f(x)在关于x的一阶导数
D[f[x],{x,n}]
求f(x)关于x的n阶导数
D[f,{x,n},{y,m},…]
求f对x的 n阶导数，对y的m阶导数，…
FindRoot[方程，{x，初始点}]
求方程在初始点的近似根，x是自变量
FindMinimum[f[x]，{x，初始点}]
求函数f(x)在初始点的近似极小值，x是自变量
【实验指导】
一、动画演示例1 导数就是切线的斜率
通过动画演示可以看到割线逼近切线的过程。上段程序是从右面逼近切线的，你能给出从左面逼近的程序吗？
二、导数的计算例2 若f(x)=xsin2x，求f '(x)，f(8)(x)及f '(0)，f(8)(0)。
例3 设函数由参数方程确定，求y'(x)，y'()及y''(x)。
例4 设z=xarctan(xy2)，求zx，zxy，zxyx和zyxy(1,2)
例5 求(1)函数y=x+lnx的微分及x=1处的微分；(2)求z=xy的全微分及x=e,y=4处的全微分。
例6 方程确定了y是x的函数，求y'(x)及y''(x)
解 先将方程两边取对数，并记为b，这里y是x的函数，写成y[x]，
对b的两端关于x求导，并将结果记为bb1，
bb1是含有y'(x)的方程，解出y'(x)即为所求，并将结果记为aa1，
再对bb1两边关于x求导，结果记为bb2，
bb2是含有y''(x)的方程，解出y''(x)，并将结果记为aa2，
在将y'(x)代入到aa2，即得所求，
三、一元函数性态的讨论例7 确定函数y=x3–3x2–9x+14的单调区间先求出函数的驻点，
因此，单调区间为(-∞,-1),(-1,3),(3,+∞)。
画出导数函数的图形，
可以看出，在区间[-1,3]内，y'[x]<0,从而[-1,3]为单调减区间，同样可知另外两个区间为(-∞,-1)与(3,+∞)单调增区间。
例8 求一元函数y=3 - 9 x - 3 x+ x的极值。
比较驻点处函数值的大小，
所以，函数y在-1处取得极大值8，在3处取得极小值-24。
例9 求函数f(x)=x+sin5x在区间(0,2)的极值。
解法一：驻点法与图形结合。利用上例的方法，使用Solve命令会有错误提示，因为Solve不能解超越方程，因此，我们利用FindRoot来求方程的近似根。
从图形可以看出，在0.4和1.6附近函数取得极大值，在1附近取得极小值。利用FindRoot命令求出驻点近似值。
从而求出相应的极值的近似值，
解法二：利用图形与FindMinimum命令结合的方法。
利用命令FindMinimum[f[x],{x,x0}]来求极小值，这里x0是初始值，一般利用画图可以找到。虽然Mathematica没有提供计算极大值的命令，但-FindMinimum[-f[x],{x,x0}]就可以做到这一点(在答案中会出现额外的负号，可以忽略)。
例10 确定函数y=1 - 9 x - 3 x+ x的凹凸区间与拐点。
可知凹凸区间为(-,1)，(1,+)
观察图形，(-3,1)部分在x轴下方，即当x<1时，y’’<0; (1,3)部分在x轴上方，即当x>1时，y’’>0。所以为（-，1）凸区间，为（1，+）凹区间。
故拐点为（1，-10）。
四、可导函数的最值和简单实际问题例11 计算函数f(x)=x4-4x3+2x2+4x+2在区间[0,4]上的最大值和最小值.
这三个数中只有两个在区间[0,4]中.我们计算函数在这些值以及区间端点上的值.
所以f在该区间上的最大值为50,最小值为1.
例12 一幢楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室宽2米，高3米。温室正上方是楼房的窗台，清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的。现清洁工只有一架7米长的梯子，你认为它能达到要求吗？
解 先动态观测梯子长度随倾斜角变化的情况。
运行程序后，得到下面9个图形，选中所有图形（用鼠标单击最右边括号，使之变色），再单击胶卷图标，即可动画演示（想终止动画，单击空白处）。
当梯子与温室顶端处恰好接触斜靠楼房时，梯子的长度L只与梯子倾斜的角度x有关。容易得到，
,
其中a与b分别是温室的宽和高。可以计算，它有唯一驻点
从而，梯子的最小长度为
下面利用Mathematica给出数值结果。
从图中可以看出有唯一的稳定点。
当a=2，b=3时，Lmin≈7.02348，从而，7米长的梯子是不行的。
例13 求出圆x2+y2-2x-4y=0上距离P(4,4)最近和最远的点.
解 首先画一幅示意图.
令(x,y)表示圆上一点.首先我们需要用x表示出y
用d2表示从(x,y)点到(4,4)点距离的平方,下面计算它的最小值.从图上显然可知离P点最近点在上半圆周.
距离P点最远的点在下半圆周.
5.“以直代曲”思想——局部线性化例14 函数f(x)=x2在一点(1,f(1))处的局部线性化表达式为：y=f(1)+f’(1)(x-1)与原函数的图形画在一起比较
我们将图形显示范围缩小
可以看出,在(1,f(1))点附近,f(x)和它的切线随着范围的缩小,愈来愈接近.因此,一元函数的局部线性化实际上是将函数在一点附近的图形用其在此点处的切线代替.在切点附近二者几乎重合,此时可将函数近似看成直线.
【练习】
1.利用Mathematica命令求下列函数的导数
(1)y=cosx+x2sinx,求 y’(x) (2)y=x(x2 –cotx)sinx,求y’(3)
(3)z=excosy,求zxyx (4)z=xln(xy),求zxyy,zxyx∣(1,1)
2.求下列方程所确定隐函数y=f(x)的一阶导数y’(x)及二阶y’’(x)
(1)y=x+lny (2)arctan(y/x)=ln(x2+y2)
3.求由参数方程确定函数的一阶导数y’(x)及二阶y’’(x)。
(1)x=arcsint,y= (2)x=sin3t,y=cos3t
4.求下列函数的微分与全微分。
(1)y=lgsinx+xsin2x,求dy,dy∣x=2 (2)z=arctan(x/y)+arcsiny,求dz,dz∣(1,2)
5.确定下列函数的单调区间。
(1) (2)
(3) (4)
6.求下列函数的极值。
(1) (2)
(3) (4)
7.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间。
(1)y=(x+1)4+ex (2)y=ln(x2+1)
(3)y=earctanx (4)y=x4(12lnx-7)
8.求y=4sinx+x2在区间[-6,6]的单调区间、极值和凹凸区间、拐点.
9.求下列函数在所给区间上的最值.
(1)y=x-6x+x-3x [-2,5] (2)y=x+2 [0,4]
10.以梯子长度的例题为背景，回答下面的问题
(1)取,在只用米长梯子的情况下,温室最多能修建多高?
(2)一条1米宽的通道与另一条2米宽的通道相交成直角,一个梯子需要水平饶过拐角,试问梯子的最大长度是多少?
11.一根线长100厘米,要用它构成一个正方形和一个圆形.请问如何分配,才能使它所构成的图形面积和(a)最大;(b)最小.
12.一个圆柱被单位球面所截.(a)求出最大可能的体积;(b)求出最大可能的表面面积.
13.某地有一个电话公司计划在宽100米的河两边的A与B点之间架一条电话线,C点为A点在河另一边的相对点,B点到C点的距离为500英尺.然而,在水下架线的成本是在陆地上架线成本的3倍.在此条件下,公司应如何确定架线方案,从而使费用最小?
14,求出两个和为50的正数,使得第一个数的平方根加上第二个数的立方根尽可能大.
