一、局部线性化第七节 以直代曲及其应用二、求方程根的牛顿迭代法三、梯度及其应用四、小结五、练习第七节 以直代曲及其应用画一元函数的图形,观察当画图区间逐渐变小时,图形的形状是什么样的?又画二元函数的图形,观察当画图区域逐渐变小时,图形的形状是什么样的?
？
第七节 以直代曲及其应用在不同区间上的图形观察 523 xxy
一、局部线性化第七节 以直代曲及其应用
1.局部线性化局部线性化 就是用线性表达式来近似表示非线性的表达式．
第七节 以直代曲及其应用处的切线方程．上点在其其直线恰好就是
))(,(
)(
00 xfx
xfy?
即一、局部线性化
2.以直代曲以直代曲的思想
))(()( 000 xxxfxfy
第七节 以直代曲及其应用处的切线方程．在点求 )1,(ln exy?
31
2
平行于这条割线抛物线上哪一点的切线割线，问该的两点，作过这两点的和上取横坐标为在抛物线 xy?
一、局部线性化例
2.以直代曲练一练第七节 以直代曲及其应用一、局部线性化
3.以平面代曲面以平面代曲面思想方程．
处的切平面在其上点其平面恰好就是曲面
)),(,,(
),(
0000
yxfyx
yxfz?
即
))(,(
))(,(),(
000
00000
yyyxf
xxyxfyxfz
y
x
第七节 以直代曲及其应用一、局部线性化
3.以平面代曲面或
0),(
))(,())(,(
00
00000
yxfz
yyyxfxxyxf yx
思考 该切平面的法向量是什么?
第七节 以直代曲及其应用一、局部线性化
3.以平面代曲面
．切平面方程和法线方程处的在点求曲面 )4,1,2(122 yxz
例练一练面方程和法线方程．
处的切平在点求曲面 )1,0,0(e yxz
第七节 以直代曲及其应用一、局部线性化
3.以平面代曲面推广处的切平面方程为在点一般曲面 ),,(0),,( 000 zyxMzyxF?
0)()()( 000
zz
z
Fyy
y
Fxx
x
F
MMM
第七节 以直代曲及其应用一、局部线性化
3.以平面代曲面法线及方程过切点且与切平面垂直的直线称为曲面在该点的 法线,
法线方程为
MMM
z
F
zz
y
F
yy
x
F
xx
000
第七节 以直代曲及其应用一、局部线性化
3.以平面代曲面例平面方程和法线方程．
处的切在点求曲面 )0,1,2(3e xyzz
练一练 程．的切平面方程与法线方处在点求球面 )3,2,1(14
222
zyx
二、求方程根的牛顿迭代法第七节 以直代曲及其应用
)( xfy?
0x1x
2x
如图第七节 以直代曲及其应用由此得到求方程根的 牛顿迭代公式,
？是否可以任意选取初值的近似根时，使用牛顿迭代法求方程
0x
二、求方程根的牛顿迭代法
)(
)(
1
n
n
nn xf
xfxx
思考第七节 以直代曲及其应用二、求方程根的牛顿迭代法求方程根的牛顿迭代法的 具体步骤,
(1)；定义函数 )( xf
(2)；，，，，置初值 0xim a xεδ
(3)
的最大迭代次数．是为避免陷入死循环设其中终止取或若循环做对
i
xxxxxf
xf
xf
xxin
nnnn
n
n
nn
m a x
.,,;
)(
)(
m a x,,2,1,0
1
*
1
1
第七节 以直代曲及其应用二、求方程根的牛顿迭代法例 的正零点．求函数 2)( 2 xxf
例内的所有零点．
在区间求函数
]10,1[
l o g2s i n5)( 3 xxxf
三、梯度及其应用第七节 以直代曲及其应用梯度的定义
y
f
x
ff,g r a d
梯度,处的在点为二维向量
),(
),(
yx
yxfz?
第七节 以直代曲及其应用三、梯度及其应用结论一点的梯度方向就是从这点出发时,函数值增加最快的方向 ； 而负梯度方向则是从这点出发时,函数值减少最快的方向,
第七节 以直代曲及其应用三、梯度及其应用例 如何找到湖的最深处?
如图第七节 以直代曲及其应用三、梯度及其应用
(1)；，选定初始点给定
00,0 yxε?
(2)
．
循环，计算出，，，对
n
n
n
n
yy
xx
yy
xx
nn
y
z
x
z
yxf
n
,),(g r a d
210?
最速下降法的过程第七节 以直代曲及其应用三、梯度及其应用
(3)
；；否则转到最优解
，循环结束，输出若
)4(),(,
),(g r a d
**
nn
nn
yxyx
εyxf
(4);
,)(
n
yy
xx
n
yy
xx
n
t
y
z
ty
x
z
txftz
n
n
n
n
最值点的计算
最速下降法的过程第七节 以直代曲及其应用三、梯度及其应用
(5)
继续循环．转到
，，计算
)2(
11
n
n
n
n
yy
xx
nn
yy
xx
nn
y
z
tyy
x
z
txx
最速下降法的过程第七节 以直代曲及其应用三、梯度及其应用例
)101.0(
32
1
),(
00
22
yxε
yx
zyx
，，这里取求其最大值．
，数处的温度函数为二元函的上的情况，设在平面内热点．在此只考虑平面最问题的解主要在于寻求点而设计制作的．因此热尾部，通过逐步寻找最据最热点是在飞行器的统，其原理是根地对空导弹自动追踪系四、小结
1.局部线性化第六节 信息的放大与缩小
(1)局部线性化的定义
(2)以直代曲
(3)以平面代曲面
))(()( 000 xxxfxfy
))(,(
))(,(),(
000
0000
yyyxf
xxyxfyxfz
y
x
四、小结第六节 信息的放大与缩小切平面方程法线方程
0)()()( 000
zz
z
Fyy
y
Fxx
x
F
MMM
MMM
z
F
zz
y
F
yy
x
F
xx
000
推广
2.求方程根的牛顿迭代公式第六节 信息的放大与缩小
(1)牛顿迭代公式
(2)求方程根的牛顿迭代法的步骤四、小结
)(
)(
1
n
n
nn xf
xfxx
3.梯度及其应用第六节 信息的放大与缩小
(1)梯度的定义
(2)有关梯度的一个结论四、小结
y
f
x
f
f,g r a d
一点的梯度方向就是从这点出发时,函数值增加最快的方向 ； 而负梯度方向则是从这点出发时,函数值减少最快的方向,
四、小结第六节 信息的放大与缩小
3.梯度及其应用
(3)梯度的应用 — 最速下降法
(4) 最速下降法的过程五、练习
．与
，求设
．切平面方程和法线方程处的，，在点求方程方程．平面方程与相应的切线
，并写出切量平面的法向量平行于向切上求一点，使这点处的在曲面
)1,1(g r a d
),(g r a d2),(.3
1002e.2
1,3,1
.1
22
f
yxfyxyxyxf
zyx
n
xyz
x y z
第六节 信息的放大与缩小
．最快到达较凉快的地点沿什么方向爬行才能只蚂蚁，问这只蚂蚁应处有一反比．在与该点到原点的距离成板上任一点处的温度它使金属板受热．假定
，．坐标原点处有一火焰，，，为顶点坐标分别一长方形金属板，四个
2,3
3,53,11,51,1
.4
第六节 信息的放大与缩小五、练习
．，分别取初值根．误差不超过的近似实试用牛顿迭代法求方程５
)0.100.0(10
1e.
3?
xx
第六节 信息的放大与缩小五、练习
？
第七节 以直代曲及其应用在不同区间上的图形观察 523 xxy
一、局部线性化第七节 以直代曲及其应用
1.局部线性化局部线性化 就是用线性表达式来近似表示非线性的表达式．
第七节 以直代曲及其应用处的切线方程．上点在其其直线恰好就是
))(,(
)(
00 xfx
xfy?
即一、局部线性化
2.以直代曲以直代曲的思想
))(()( 000 xxxfxfy
第七节 以直代曲及其应用处的切线方程．在点求 )1,(ln exy?
31
2
平行于这条割线抛物线上哪一点的切线割线，问该的两点，作过这两点的和上取横坐标为在抛物线 xy?
一、局部线性化例
2.以直代曲练一练第七节 以直代曲及其应用一、局部线性化
3.以平面代曲面以平面代曲面思想方程．
处的切平面在其上点其平面恰好就是曲面
)),(,,(
),(
0000
yxfyx
yxfz?
即
))(,(
))(,(),(
000
00000
yyyxf
xxyxfyxfz
y
x
第七节 以直代曲及其应用一、局部线性化
3.以平面代曲面或
0),(
))(,())(,(
00
00000
yxfz
yyyxfxxyxf yx
思考 该切平面的法向量是什么?
第七节 以直代曲及其应用一、局部线性化
3.以平面代曲面
．切平面方程和法线方程处的在点求曲面 )4,1,2(122 yxz
例练一练面方程和法线方程．
处的切平在点求曲面 )1,0,0(e yxz
第七节 以直代曲及其应用一、局部线性化
3.以平面代曲面推广处的切平面方程为在点一般曲面 ),,(0),,( 000 zyxMzyxF?
0)()()( 000
zz
z
Fyy
y
Fxx
x
F
MMM
第七节 以直代曲及其应用一、局部线性化
3.以平面代曲面法线及方程过切点且与切平面垂直的直线称为曲面在该点的 法线,
法线方程为
MMM
z
F
zz
y
F
yy
x
F
xx
000
第七节 以直代曲及其应用一、局部线性化
3.以平面代曲面例平面方程和法线方程．
处的切在点求曲面 )0,1,2(3e xyzz
练一练 程．的切平面方程与法线方处在点求球面 )3,2,1(14
222
zyx
二、求方程根的牛顿迭代法第七节 以直代曲及其应用
)( xfy?
0x1x
2x
如图第七节 以直代曲及其应用由此得到求方程根的 牛顿迭代公式,
？是否可以任意选取初值的近似根时，使用牛顿迭代法求方程
0x
二、求方程根的牛顿迭代法
)(
)(
1
n
n
nn xf
xfxx
思考第七节 以直代曲及其应用二、求方程根的牛顿迭代法求方程根的牛顿迭代法的 具体步骤,
(1)；定义函数 )( xf
(2)；，，，，置初值 0xim a xεδ
(3)
的最大迭代次数．是为避免陷入死循环设其中终止取或若循环做对
i
xxxxxf
xf
xf
xxin
nnnn
n
n
nn
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.,,;
)(
)(
m a x,,2,1,0
1
*
1
1
第七节 以直代曲及其应用二、求方程根的牛顿迭代法例 的正零点．求函数 2)( 2 xxf
例内的所有零点．
在区间求函数
]10,1[
l o g2s i n5)( 3 xxxf
三、梯度及其应用第七节 以直代曲及其应用梯度的定义
y
f
x
ff,g r a d
梯度,处的在点为二维向量
),(
),(
yx
yxfz?
第七节 以直代曲及其应用三、梯度及其应用结论一点的梯度方向就是从这点出发时,函数值增加最快的方向 ； 而负梯度方向则是从这点出发时,函数值减少最快的方向,
第七节 以直代曲及其应用三、梯度及其应用例 如何找到湖的最深处?
如图第七节 以直代曲及其应用三、梯度及其应用
(1)；，选定初始点给定
00,0 yxε?
(2)
．
循环，计算出，，，对
n
n
n
n
yy
xx
yy
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nn
y
z
x
z
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n
,),(g r a d
210?
最速下降法的过程第七节 以直代曲及其应用三、梯度及其应用
(3)
；；否则转到最优解
，循环结束，输出若
)4(),(,
),(g r a d
**
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(4);
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n
n
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n
最值点的计算
最速下降法的过程第七节 以直代曲及其应用三、梯度及其应用
(5)
继续循环．转到
，，计算
)2(
11
n
n
n
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yy
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nn
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最速下降法的过程第七节 以直代曲及其应用三、梯度及其应用例
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32
1
),(
00
22
yxε
yx
zyx
，，这里取求其最大值．
，数处的温度函数为二元函的上的情况，设在平面内热点．在此只考虑平面最问题的解主要在于寻求点而设计制作的．因此热尾部，通过逐步寻找最据最热点是在飞行器的统，其原理是根地对空导弹自动追踪系四、小结
1.局部线性化第六节 信息的放大与缩小
(1)局部线性化的定义
(2)以直代曲
(3)以平面代曲面
))(()( 000 xxxfxfy
))(,(
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000
0000
yyyxf
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y
x
四、小结第六节 信息的放大与缩小切平面方程法线方程
0)()()( 000
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x
F
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F
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y
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F
xx
000
推广
2.求方程根的牛顿迭代公式第六节 信息的放大与缩小
(1)牛顿迭代公式
(2)求方程根的牛顿迭代法的步骤四、小结
)(
)(
1
n
n
nn xf
xfxx
3.梯度及其应用第六节 信息的放大与缩小
(1)梯度的定义
(2)有关梯度的一个结论四、小结
y
f
x
f
f,g r a d
一点的梯度方向就是从这点出发时,函数值增加最快的方向 ； 而负梯度方向则是从这点出发时,函数值减少最快的方向,
四、小结第六节 信息的放大与缩小
3.梯度及其应用
(3)梯度的应用 — 最速下降法
(4) 最速下降法的过程五、练习
．与
，求设
．切平面方程和法线方程处的，，在点求方程方程．平面方程与相应的切线
，并写出切量平面的法向量平行于向切上求一点，使这点处的在曲面
)1,1(g r a d
),(g r a d2),(.3
1002e.2
1,3,1
.1
22
f
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zyx
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第六节 信息的放大与缩小
．最快到达较凉快的地点沿什么方向爬行才能只蚂蚁，问这只蚂蚁应处有一反比．在与该点到原点的距离成板上任一点处的温度它使金属板受热．假定
，．坐标原点处有一火焰，，，为顶点坐标分别一长方形金属板，四个
2,3
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.4
第六节 信息的放大与缩小五、练习
．，分别取初值根．误差不超过的近似实试用牛顿迭代法求方程５
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3?
xx
第六节 信息的放大与缩小五、练习
