一、矿山中矿物的储量二、二重积分的定义及几何意义第五节 二重积分三、二重积分的计算四、小结五、练习一、矿山中矿物的储量例其中矿物质的总含量．所围成的圆域，试确定为一地平面内方程为其坐落的区域
，曲面方程为在这一坐标系下山顶的山貌进行了测量，得知平面建立坐标系，并对为原点，以地面为察人员以山脚的某一点其中矿物质的含量，勘含量高且均匀．为估计矿山，其中矿藏矿藏勘察人员发现了一
2
22
),(
R
yxD
yxfz
x o y
第五节 二重积分第五节 二重积分一、矿山中矿物的储量如图
x
y
z
O
z = f ( x,y )
称此几何体为 曲顶柱体曲顶柱体的体积为
n
i
iiiλ σηξfV
10
),(lim
二、二重积分的定义及几何意义第五节 二重积分界函数，
上是有在有界闭区域，设 Dyxf )(
(1)分割：
．，，，
个小闭区域任意分割成将
nσσσ
nD
21
(2)作乘积：
iii σηξf?)(,),,,( ni?21?
1.二重积分的定义第五节 二重积分
(3)求和：
i
n
i ii
σηξf
1
),(
界函数，
上是有在有界闭区域，设 Dyxf )(
1.二重积分的定义
(4)取极限：
i
n
i
iiλ σηξf
10
),(l i m
二、二重积分的定义及几何意义第五节 二重积分二、二重积分的定义及几何意义界函数，
上是有在有界闭区域，设 Dyxf )(
1.二重积分的定义上的在区域值为函数存在，则称此极限若
Dyxf
σηξf i
n
i
ii
λ
),(
),(lim
10
二重积分,
第五节 二重积分二、二重积分的定义及几何意义记作,
D
σyxf d),( 即积分区域被积函数面积元素被积表达式曲顶柱体的体积为
1.二重积分的定义
i
n
i
iiλ
D
σηξfσyxf
10
),(limd),(
D
σyxfV d),(
第五节 二重积分二、二重积分的定义及几何意义
(1)
柱体的体积；
表示曲顶，则若
D
σyxfyxf d),(0),(
(2)
柱体体积的负值；
表示曲顶，则若
D
σyxfyxf d),(0),(
2.二重积分的几何意义第五节 二重积分二、二重积分的定义及几何意义
(3)
数和．表示曲顶柱体体积的代则既有正值，又有负值，若
D
σyxf
yxf
d),(
),(
2.二重积分的几何意义第五节 二重积分二、二重积分的定义及几何意义
(1) (线性性质 )
(2) (分域性质 )
,21 DDD设
3.二重积分的性质
DDD
σyxgbσyxfaσyxbgyxaf d),(d),(d)],(),([
21
d),(d),(d),(
DDD
σyxfσyxfσyxf
三、二重积分的计算第五节 二重积分如图
x
y
D
x xx d?
y
yy d?
σd
1.在直角坐标系下，ｄ?＝？
直角坐标系下的面积元素为,yxσ ddd?
第五节 二重积分三、二重积分的计算是矩形区域设积分区域 D)1(
如图
x
y
o a b
d
c
2.二重积分的计算
dyc
bxa
第五节 二重积分三、二重积分的计算
x
y
z
x
)(xSdxx?
a
b
c d
如图
2.二重积分的计算是矩形区域设积分区域 D)1(
第五节 二重积分三、二重积分的计算即先对 y,后对
x 的二次积分
2.二重积分的计算是矩形区域设积分区域 D)1(
dcba yyxfx d),(d
xyyxfyxyxf ba dc
D
dd),(dd),(
第五节 二重积分三、二重积分的计算同理先对 x,后对
y 的二次积分
2.二重积分的计算是矩形区域设积分区域 D)1(
badc
D
xyxfyyxyxf d),(ddd),(
第五节 二重积分三、二重积分的计算如图
x
y
o a b
)( xy 1
)( xy 2
2.二重积分的计算区域是设积分区域?xD)2(
)()( 21 xyx
bxa
第五节 二重积分三、二重积分的计算的二次积分．后对
，为先对型区域，二重积分可化对
x
yx?即
2.二重积分的计算区域是设积分区域?xD)2(
)(2 )(1 d),(ddd),( xxba
D
yyxfxyxyxf
第五节 二重积分三、二重积分的计算如图
x
y
o
c
d
)( yx 1
)( yx 2
2.二重积分的计算区域是设积分区域?yD)3(
)()( 21 yxy
dyc
第五节 二重积分三、二重积分的计算
2.二重积分的计算区域是设积分区域?yD)3(
的二次积分．后对
，为先对型区域，二重积分可化对
y
xy?即
)(2 )(1 d),(ddd),( yydc
D
xyxfyyxyxf
第五节 二重积分三、二重积分的计算型，
型，又能化为若区域既能化为
yx
)()( 21 xyx
bxa
)()( 21 yxy
dyc
即
2.二重积分的计算区域是设积分区域?yD)3(
注意第五节 二重积分三、二重积分的计算有更换积分次序
2.二重积分的计算型，
型，又能化为若区域既能化为
yx
区域是设积分区域?yD)3(
注意
)(2
)(1
)(2
)(1
d),(d
d),(ddd),(
y
y
d
c
x
x
b
a
D
xyxfy
yyxfxyxyxf
第五节 二重积分三、二重积分的计算型区域型，又不是既不是若区域 yxD)4(
如图
x
y
o
I
II
III
2.二重积分的计算第五节 二重积分三、二重积分的计算例围成．
，，由，其中求
0
1dd2
x
xyxyDyxxy
D
例围成．
与由，其中求 22 dd2 xyxyDyxyx
D
2.二重积分的计算第五节 二重积分三、二重积分的计算例围成．
，，由，其中求
1
2dd
2
2
xy
yxyDyx
x
y
D
2.二重积分的计算第五节 二重积分三、二重积分的计算计算．
型进行看作是然后再把区域型进行计算．看作是要求：先把区域所围成的三角形区域．及是由，其中区域计算
yD
xD
xyxy
Dyxxy
D
2,1
dd2.二重积分的计算练一练第五节 二重积分三、二重积分的计算例围成．
，，由，其中求
0
1dd
2
x
yxyDyxe
D
y
积分来计算可以吗后对对型，即先看成将上例的区域
xy
xD?
2.二重积分的计算思考第五节 二重积分三、二重积分的计算例
．平面围成的立体的体积及
，，平面求由
xoy
yxyxz 1122
例
．更换积分次序,
1
21
1
0 d),(d
y
y
xyxfy
．更换积分次序, 110 d),(d x yyxfx
2.二重积分的计算练一练四、小结
1.二重积分的定义
(1)二重积分的定义 ;
(2)二重积分的几何意义 ;
第五节 二重积分
(3)二重积分的性质,
2.二重积分的计算五、练习第五节 二重积分
．为：，其中区域计算序：更换下列二次积分的次的面积．为区域成立，其中义说明等式试用二重积分的几何意
41d.3
d),(d)2(d),(d)1(
.2
d
.1
22
01
0
yxDσ
yyxfxxyxfy
DS
kSσk
D
a
xa
y
y
D
区域；
围成的，：，
围成的区域；
，，，：，
计算下列二重积分：
D
D
xyxyDyx
y
y
y
xxyxyDyx
y
x
2
3
dd
s i n
)2(
4
22dd)1(
.4
五、练习第五节 二重积分所围成的立体的体积．
及计算由曲面围成的区域．，：，；，：，
2222
22
2
2
262.4
dd)4(
1010dd
1
)3(
yxzyxz
xyxyDyxxy
yxDyx
y
x
D
D
五、练习第五节 二重积分
，曲面方程为在这一坐标系下山顶的山貌进行了测量，得知平面建立坐标系，并对为原点，以地面为察人员以山脚的某一点其中矿物质的含量，勘含量高且均匀．为估计矿山，其中矿藏矿藏勘察人员发现了一
2
22
),(
R
yxD
yxfz
x o y
第五节 二重积分第五节 二重积分一、矿山中矿物的储量如图
x
y
z
O
z = f ( x,y )
称此几何体为 曲顶柱体曲顶柱体的体积为
n
i
iiiλ σηξfV
10
),(lim
二、二重积分的定义及几何意义第五节 二重积分界函数，
上是有在有界闭区域，设 Dyxf )(
(1)分割：
．，，，
个小闭区域任意分割成将
nσσσ
nD
21
(2)作乘积：
iii σηξf?)(,),,,( ni?21?
1.二重积分的定义第五节 二重积分
(3)求和：
i
n
i ii
σηξf
1
),(
界函数，
上是有在有界闭区域，设 Dyxf )(
1.二重积分的定义
(4)取极限：
i
n
i
iiλ σηξf
10
),(l i m
二、二重积分的定义及几何意义第五节 二重积分二、二重积分的定义及几何意义界函数，
上是有在有界闭区域，设 Dyxf )(
1.二重积分的定义上的在区域值为函数存在，则称此极限若
Dyxf
σηξf i
n
i
ii
λ
),(
),(lim
10
二重积分,
第五节 二重积分二、二重积分的定义及几何意义记作,
D
σyxf d),( 即积分区域被积函数面积元素被积表达式曲顶柱体的体积为
1.二重积分的定义
i
n
i
iiλ
D
σηξfσyxf
10
),(limd),(
D
σyxfV d),(
第五节 二重积分二、二重积分的定义及几何意义
(1)
柱体的体积；
表示曲顶，则若
D
σyxfyxf d),(0),(
(2)
柱体体积的负值；
表示曲顶，则若
D
σyxfyxf d),(0),(
2.二重积分的几何意义第五节 二重积分二、二重积分的定义及几何意义
(3)
数和．表示曲顶柱体体积的代则既有正值，又有负值，若
D
σyxf
yxf
d),(
),(
2.二重积分的几何意义第五节 二重积分二、二重积分的定义及几何意义
(1) (线性性质 )
(2) (分域性质 )
,21 DDD设
3.二重积分的性质
DDD
σyxgbσyxfaσyxbgyxaf d),(d),(d)],(),([
21
d),(d),(d),(
DDD
σyxfσyxfσyxf
三、二重积分的计算第五节 二重积分如图
x
y
D
x xx d?
y
yy d?
σd
1.在直角坐标系下，ｄ?＝？
直角坐标系下的面积元素为,yxσ ddd?
第五节 二重积分三、二重积分的计算是矩形区域设积分区域 D)1(
如图
x
y
o a b
d
c
2.二重积分的计算
dyc
bxa
第五节 二重积分三、二重积分的计算
x
y
z
x
)(xSdxx?
a
b
c d
如图
2.二重积分的计算是矩形区域设积分区域 D)1(
第五节 二重积分三、二重积分的计算即先对 y,后对
x 的二次积分
2.二重积分的计算是矩形区域设积分区域 D)1(
dcba yyxfx d),(d
xyyxfyxyxf ba dc
D
dd),(dd),(
第五节 二重积分三、二重积分的计算同理先对 x,后对
y 的二次积分
2.二重积分的计算是矩形区域设积分区域 D)1(
badc
D
xyxfyyxyxf d),(ddd),(
第五节 二重积分三、二重积分的计算如图
x
y
o a b
)( xy 1
)( xy 2
2.二重积分的计算区域是设积分区域?xD)2(
)()( 21 xyx
bxa
第五节 二重积分三、二重积分的计算的二次积分．后对
，为先对型区域，二重积分可化对
x
yx?即
2.二重积分的计算区域是设积分区域?xD)2(
)(2 )(1 d),(ddd),( xxba
D
yyxfxyxyxf
第五节 二重积分三、二重积分的计算如图
x
y
o
c
d
)( yx 1
)( yx 2
2.二重积分的计算区域是设积分区域?yD)3(
)()( 21 yxy
dyc
第五节 二重积分三、二重积分的计算
2.二重积分的计算区域是设积分区域?yD)3(
的二次积分．后对
，为先对型区域，二重积分可化对
y
xy?即
)(2 )(1 d),(ddd),( yydc
D
xyxfyyxyxf
第五节 二重积分三、二重积分的计算型，
型，又能化为若区域既能化为
yx
)()( 21 xyx
bxa
)()( 21 yxy
dyc
即
2.二重积分的计算区域是设积分区域?yD)3(
注意第五节 二重积分三、二重积分的计算有更换积分次序
2.二重积分的计算型，
型，又能化为若区域既能化为
yx
区域是设积分区域?yD)3(
注意
)(2
)(1
)(2
)(1
d),(d
d),(ddd),(
y
y
d
c
x
x
b
a
D
xyxfy
yyxfxyxyxf
第五节 二重积分三、二重积分的计算型区域型，又不是既不是若区域 yxD)4(
如图
x
y
o
I
II
III
2.二重积分的计算第五节 二重积分三、二重积分的计算例围成．
，，由，其中求
0
1dd2
x
xyxyDyxxy
D
例围成．
与由，其中求 22 dd2 xyxyDyxyx
D
2.二重积分的计算第五节 二重积分三、二重积分的计算例围成．
，，由，其中求
1
2dd
2
2
xy
yxyDyx
x
y
D
2.二重积分的计算第五节 二重积分三、二重积分的计算计算．
型进行看作是然后再把区域型进行计算．看作是要求：先把区域所围成的三角形区域．及是由，其中区域计算
yD
xD
xyxy
Dyxxy
D
2,1
dd2.二重积分的计算练一练第五节 二重积分三、二重积分的计算例围成．
，，由，其中求
0
1dd
2
x
yxyDyxe
D
y
积分来计算可以吗后对对型，即先看成将上例的区域
xy
xD?
2.二重积分的计算思考第五节 二重积分三、二重积分的计算例
．平面围成的立体的体积及
，，平面求由
xoy
yxyxz 1122
例
．更换积分次序,
1
21
1
0 d),(d
y
y
xyxfy
．更换积分次序, 110 d),(d x yyxfx
2.二重积分的计算练一练四、小结
1.二重积分的定义
(1)二重积分的定义 ;
(2)二重积分的几何意义 ;
第五节 二重积分
(3)二重积分的性质,
2.二重积分的计算五、练习第五节 二重积分
．为：，其中区域计算序：更换下列二次积分的次的面积．为区域成立，其中义说明等式试用二重积分的几何意
41d.3
d),(d)2(d),(d)1(
.2
d
.1
22
01
0
yxDσ
yyxfxxyxfy
DS
kSσk
D
a
xa
y
y
D
区域；
围成的，：，
围成的区域；
，，，：，
计算下列二重积分：
D
D
xyxyDyx
y
y
y
xxyxyDyx
y
x
2
3
dd
s i n
)2(
4
22dd)1(
.4
五、练习第五节 二重积分所围成的立体的体积．
及计算由曲面围成的区域．，：，；，：，
2222
22
2
2
262.4
dd)4(
1010dd
1
)3(
yxzyxz
xyxyDyxxy
yxDyx
y
x
D
D
五、练习第五节 二重积分
