一、除雪机除雪问题二、曲边梯形的面积第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义四、小结五、练习一、除雪机除雪问题第一节 定积分的概念冬天的大雪，使公路上积起厚雪而影响交通．有条
10 kg长的公路由一台除雪机负责除雪．每当路面积雪平均厚度达到 0.5 米时，除雪机就开始工作．但问题是开始除雪后,大雪仍下个不停，使路面积雪越来越深，除雪机工作速度逐渐降低，直到无法继续工作．若除雪机工作速度 v(米 /秒 )与积雪厚度 d(米 )成正比，其在无雪路面上行走速度为 10 米 /秒，且当积雪达 1.5 米时，无法工作,
试给出除雪机工作速度与积雪厚度间的关系 ；若下雪速度恒定为 0.1 厘米 /秒,问一台除雪机可否完成任务,
第一节 定积分的概念
(1)怎样才算完成任务?
(2)怎样计算走过的距离?
除雪机所走过的路程为一、除雪机除雪问题
n
i
iiλ tξvs
10
)(li m
问题结论二、曲边梯形的面积第一节 定积分的概念曲边梯形
x
y
)( xfy?
a b
如图第一节 定积分的概念二、曲边梯形的面积第一步,分割,
1x 1?ix 1?nx
x
y
)( xfy?
a b
如下图
ix
第一节 定积分的概念二、曲边梯形的面积第二步,近似代替,如下图
1?ix ixi?
第一节 定积分的概念二、曲边梯形的面积第三步,求和,
n
i ii
xfA
1
)(
第四步,取极限,
曲边梯形的面积
n
i iiλ
xξfA
10
)(l im
三、定积分的概念与几何意义第一节 定积分的概念上有界，在区间设函数 ],[)( baxf
．度为个长，记第个小区间分成把区间用分点
1
1
10
],[],[
iii
ii
n
xxx
ixxnba
bxxxa?
分割)(1
1.定积分的定义第一节 定积分的概念
(2)近似代替
．，，，，乘积
，作内任取一点在每个小区间
)21()(
],[ 1
nixξf
ξxx
ii
iii
三、定积分的概念与几何意义
1.定积分的定义上有界，在区间设函数 ],[)( baxf
第一节 定积分的概念
．记?
n
i
ii xξfσ
1
)(
(3)求和
(4)取极限怎样取法．上点也不论在小区间怎样分法，，不论对令
iii
i
ni
ξxx
baxλ
],[
],[}{m a x
1
1
三、定积分的概念与几何意义
1.定积分的定义上有界，在区间设函数 ],[)( baxf
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义
1.定积分的定义定积分,
上的在区间为函数存在，则称此极限值若
],[)(
)(l i m
10
baxf
xξf
n
i
ii
λ
上有界，在区间设函数 ],[)( baxf
记作,?ba xxf d)(
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义即积分号积分下限积分上限 被积函数
被积表达式 积分变量
1.定积分的定义
n
i
iiλ
b
a xξfxxf
10
)(limd)(
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义根据定积分的定义，得曲边梯形的面积变速直线运动的路程
1.定积分的定义
ba xxfA d)(
ba xxvS d)(
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义即
1.定积分的定义注意号无关．
符有关，而与积分变量的及区间
，它与函数定积分是一种和式极限
],[)(
)1(
baxf
bababa uufttfxxf d)(d)(d)(
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义
．即对区间无限细分．于度必然趋，此时每个小区间的长度趋于表示最大小区间的长
0
0
}{m a x)2(
1
i
ni
xλ
1.定积分的定义注意第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义
0?
λ
n 代替在和式极限中，能否用
1.定积分的定义思考第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义
(1)
(2)
1.定积分的定义规定
ba ab xxfxxf d)(d)(
aa xxf 0d)(
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义
(1)
，上，若在 0)(],[?xfba 表示则? ba xf d)(曲边梯形的面积．
(2)
2.定积分的几何意义
，上，若在 0)(],[?xfba 表示则? ba xf d)(
曲边梯形面积的负值．
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义
(3)
2.定积分的几何意义所围曲边梯形面积的代数表示则? ba xxf d)(和
．
上既有正值又有负值，在若 ],[)( baxf
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义例,求利用定积分的几何意义
10 2 d1 xx
．求利用定积分的几何意义? 10 d xx
2.定积分的几何意义练一练第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义
x
y
)( xfy?
a bx dxx?
xxfA d)(d?如图
３,定积分的实质面积微元第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义即曲边梯形的面积定积分的实质由此可得
３,定积分的实质
baba xxfAA d)(d
”累加求和．“
就是无穷多个微元定积分
xxf
xxfba
d)(
d)(?
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义例石油消耗的总量．
年间年到亿桶．试用此式估算从年的石油消耗率，则年起第从表示亿桶．设初，消耗率大约为每年年，数大约为率呈指数增长，增长指年的石油消耗近年来，世界范围内每
1 9 9 01 9 7 0e
1 6 1)(1 9 7 0
)(1 6 1
1 9 7 007.0
07.0 t
tRt
tR
３,定积分的实质第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义性质 1
性质 2 )( 为常数k
性质 3 ],[ bac?设 区间可加性
４,定积分的性质
ba ba ba xxgxxfxxgxf d)(d)(d)]()([
ba ba xxfkxxkf d)(d)(
ba bcca xxfxxfxxf d)(d)(d)(
四、小结
1.定积分的定义曲边梯形的面积
n
i
ii
b
a
xfdxxf
1
0
)(lim)(?
n
i ii
xfA
10
)(lim
变速直线运动的路程 b
a ttvs d)(
第一节 定积分的概念
2.定积分的几何意义四、小结
(1)
(2)
(3)
第一节 定积分的概念
，上，若在 0)(],[?xfba 表示则? ba xf d)(曲边梯形的面积．
，上，若在 0)(],[?xfba 表示则? ba xf d)(
曲边梯形面积的负值．
所围曲边梯形面积的代数表示则? ba xxf d)(和
．
上既有正值又有负值，在若 ],[)( baxf
3.定积分的实质四、小结
4.两个规定第一节 定积分的概念
”累加求和．“
就是无穷多个微元定积分
xxf
xxfba
d)(
d)(?
ba ab xxfxxf d)(d)(
aa xxf 0d)(
5.定积分的性质四、小结第一节 定积分的概念
ba ba ba xxgxxfxxgxf d)(d)(d)]()([
ba ba xxfkxxkf d)(d)(
ba bcca xxfxxfxxf d)(d)(d)(
五、练习
dxxdxx
xxxxa
a
2
π
0
π
0
2
π
2
π
0
22
s i n2s i n
.2
ds i n)2(d)1(
.1
等式成立：
何意义说明下列利用定积分的性质与几求下列积分的值：利用定积分的几何意义第一节 定积分的概念
10 kg长的公路由一台除雪机负责除雪．每当路面积雪平均厚度达到 0.5 米时，除雪机就开始工作．但问题是开始除雪后,大雪仍下个不停，使路面积雪越来越深，除雪机工作速度逐渐降低，直到无法继续工作．若除雪机工作速度 v(米 /秒 )与积雪厚度 d(米 )成正比，其在无雪路面上行走速度为 10 米 /秒，且当积雪达 1.5 米时，无法工作,
试给出除雪机工作速度与积雪厚度间的关系 ；若下雪速度恒定为 0.1 厘米 /秒,问一台除雪机可否完成任务,
第一节 定积分的概念
(1)怎样才算完成任务?
(2)怎样计算走过的距离?
除雪机所走过的路程为一、除雪机除雪问题
n
i
iiλ tξvs
10
)(li m
问题结论二、曲边梯形的面积第一节 定积分的概念曲边梯形
x
y
)( xfy?
a b
如图第一节 定积分的概念二、曲边梯形的面积第一步,分割,
1x 1?ix 1?nx
x
y
)( xfy?
a b
如下图
ix
第一节 定积分的概念二、曲边梯形的面积第二步,近似代替,如下图
1?ix ixi?
第一节 定积分的概念二、曲边梯形的面积第三步,求和,
n
i ii
xfA
1
)(
第四步,取极限,
曲边梯形的面积
n
i iiλ
xξfA
10
)(l im
三、定积分的概念与几何意义第一节 定积分的概念上有界，在区间设函数 ],[)( baxf
．度为个长，记第个小区间分成把区间用分点
1
1
10
],[],[
iii
ii
n
xxx
ixxnba
bxxxa?
分割)(1
1.定积分的定义第一节 定积分的概念
(2)近似代替
．，，，，乘积
，作内任取一点在每个小区间
)21()(
],[ 1
nixξf
ξxx
ii
iii
三、定积分的概念与几何意义
1.定积分的定义上有界，在区间设函数 ],[)( baxf
第一节 定积分的概念
．记?
n
i
ii xξfσ
1
)(
(3)求和
(4)取极限怎样取法．上点也不论在小区间怎样分法，，不论对令
iii
i
ni
ξxx
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],[
],[}{m a x
1
1
三、定积分的概念与几何意义
1.定积分的定义上有界，在区间设函数 ],[)( baxf
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义
1.定积分的定义定积分,
上的在区间为函数存在，则称此极限值若
],[)(
)(l i m
10
baxf
xξf
n
i
ii
λ
上有界，在区间设函数 ],[)( baxf
记作,?ba xxf d)(
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义即积分号积分下限积分上限 被积函数
被积表达式 积分变量
1.定积分的定义
n
i
iiλ
b
a xξfxxf
10
)(limd)(
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义根据定积分的定义，得曲边梯形的面积变速直线运动的路程
1.定积分的定义
ba xxfA d)(
ba xxvS d)(
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义即
1.定积分的定义注意号无关．
符有关，而与积分变量的及区间
，它与函数定积分是一种和式极限
],[)(
)1(
baxf
bababa uufttfxxf d)(d)(d)(
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义
．即对区间无限细分．于度必然趋，此时每个小区间的长度趋于表示最大小区间的长
0
0
}{m a x)2(
1
i
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xλ
1.定积分的定义注意第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义
0?
λ
n 代替在和式极限中，能否用
1.定积分的定义思考第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义
(1)
(2)
1.定积分的定义规定
ba ab xxfxxf d)(d)(
aa xxf 0d)(
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义
(1)
，上，若在 0)(],[?xfba 表示则? ba xf d)(曲边梯形的面积．
(2)
2.定积分的几何意义
，上，若在 0)(],[?xfba 表示则? ba xf d)(
曲边梯形面积的负值．
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义
(3)
2.定积分的几何意义所围曲边梯形面积的代数表示则? ba xxf d)(和
．
上既有正值又有负值，在若 ],[)( baxf
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义例,求利用定积分的几何意义
10 2 d1 xx
．求利用定积分的几何意义? 10 d xx
2.定积分的几何意义练一练第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义
x
y
)( xfy?
a bx dxx?
xxfA d)(d?如图
３,定积分的实质面积微元第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义即曲边梯形的面积定积分的实质由此可得
３,定积分的实质
baba xxfAA d)(d
”累加求和．“
就是无穷多个微元定积分
xxf
xxfba
d)(
d)(?
第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义例石油消耗的总量．
年间年到亿桶．试用此式估算从年的石油消耗率，则年起第从表示亿桶．设初，消耗率大约为每年年，数大约为率呈指数增长，增长指年的石油消耗近年来，世界范围内每
1 9 9 01 9 7 0e
1 6 1)(1 9 7 0
)(1 6 1
1 9 7 007.0
07.0 t
tRt
tR
３,定积分的实质第一节 定积分的概念三、定积分的概念与几何意义性质 1
性质 2 )( 为常数k
性质 3 ],[ bac?设 区间可加性
４,定积分的性质
ba ba ba xxgxxfxxgxf d)(d)(d)]()([
ba ba xxfkxxkf d)(d)(
ba bcca xxfxxfxxf d)(d)(d)(
四、小结
1.定积分的定义曲边梯形的面积
n
i
ii
b
a
xfdxxf
1
0
)(lim)(?
n
i ii
xfA
10
)(lim
变速直线运动的路程 b
a ttvs d)(
第一节 定积分的概念
2.定积分的几何意义四、小结
(1)
(2)
(3)
第一节 定积分的概念
，上，若在 0)(],[?xfba 表示则? ba xf d)(曲边梯形的面积．
，上，若在 0)(],[?xfba 表示则? ba xf d)(
曲边梯形面积的负值．
所围曲边梯形面积的代数表示则? ba xxf d)(和
．
上既有正值又有负值，在若 ],[)( baxf
3.定积分的实质四、小结
4.两个规定第一节 定积分的概念
”累加求和．“
就是无穷多个微元定积分
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d)(
d)(?
ba ab xxfxxf d)(d)(
aa xxf 0d)(
5.定积分的性质四、小结第一节 定积分的概念
ba ba ba xxgxxfxxgxf d)(d)(d)]()([
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ba bcca xxfxxfxxf d)(d)(d)(
五、练习
dxxdxx
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.1
等式成立：
何意义说明下列利用定积分的性质与几求下列积分的值：利用定积分的几何意义第一节 定积分的概念
