一、一元可导函数的单调性第五节 如何才能是最优的二、一元可导函数的极值与最值三、一元可导函数的凹凸性四、多元函数的极值五、小结六、练习一、一元可导函数的单调性第五节 如何才能是最优的观察下列图形,能否发现其规律性?
0f
0f
0f
0f
第五节 如何才能是最优的一、一元可导函数的单调性函数单调性的判别方法内可导．在区间设函数 ),()( baxf
(1)
内是单调递增的．在
，则函数内，若在区间
),(
)(0)(),(
ba
xfxfba
(2)
内是单调递减的．在
，则函数内，若在区间
),(
)(0)(),(
ba
xfxfba
第五节 如何才能是最优的一、一元可导函数的单调性内的单调性．
在其定义域判断函数 xxxf ln)(
域内的单调性．
在其定义判断函数 xxf a r c t a n)(?
练一练例第五节 如何才能是最优的一、一元可导函数的单调性的单调区间．求函数 xxxf e)(
调区间．
的单求函数 31292)( 23 xxxxf
驻点,
的点称为使 0)( xf驻点例例第五节 如何才能是最优的一、一元可导函数的单调性的单调区间．求函数 3)2()( xxxf
练一练思考单调函数的导函数是否必为单调函数?
二、一元可导函数的极值与最值
x
y
o
1x 2x 3x 4x 5x
第五节 如何才能是最优的
1.一元可导函数的极值如图第五节 如何才能是最优的
1.一元可导函数的极值二、一元可导函数的极值与最值及其左右附近有定义，在点设 0)( xxf
极大值极大值点,
的是．称的是则称
，总有附近任取一点若在点
)()()(
)()(
00
0
0
xfxxfxf
xfxf
xx
第五节 如何才能是最优的
1.一元可导函数的极值二、一元可导函数的极值与最值及其左右附近有定义，在点设 0)( xxf
极小值极小值点,
的是．称的是则称
，总有附近任取一点若在点
)()()(
)()(
00
0
0
xfxxfxf
xfxf
xx
第五节 如何才能是最优的
1.一元可导函数的极值二、一元可导函数的极值与最值注意极大值和极小值统称为 极值,
极大值点和极小值点统称为 极值点,
第五节 如何才能是最优的二、一元可导函数的极值与最值根据定义，结合右边图形，你是否能对极值做几点说明? x
y
o
1x 2x 3x 4x 5x
2.一元函数极值的判别法第五节 如何才能是最优的
2.一元函数极值的判别法二、一元可导函数的极值与最值点函数值为极小值．则该点为极小值点．该点处左负右正，若可导函数的导数在一点函数值为极大值．则该点为极大值点．该点处左正右负，若可导函数的导数在一定理第五节 如何才能是最优的
2.一元函数极值的判别法二、一元可导函数的极值与最值的极值．求 xxxxf 1232)( 23
例
．调区间、极值和极值点的单求函数 31292)( 23 xxxxf
练一练二、一元可导函数的极值与最值
x
y
o
1x 2x 3x 4x 5x
)( xfy?
a b
第五节 如何才能是最优的如图
3.一元函数的最值二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值上最值的方法：在闭区间求 ],[)( baxf
)}()()()(m in {)(
)}()()()(m a x {)(
1m i n
1m a x
bfxfxfafxf
bfxfxfafxf
n
n
，，，，
，，，，
上的最大值和最小值．
在求函数 ]3,0[)2)(1()( 2 xxxf
例二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值
:],[)( 上最值的方法在闭区间求 baxf
)}(),(,),(),(m i n {)(
)}(),(,),(),(m a x {)(
1m in
1m a x
bfxfxfafxf
bfxfxfafxf
n
n
练一练上的最大值和最小值．
在求函数
]2,3[
1232)( 23
xxxxf
二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值思考
),(
],[)(.2
],[)(.1
求最值上只有一个极值，如何上是可导的，且在在若函数求最值上是单调的，如何在若函数
ba
baxf
baxf
二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值例走速度．求其淋雨量最小时的行函数关系：，并设它们之间有以下单位：
，行走速度为单位：单位数，记淋雨量为雨量是人行走速度的函雨量有很大不同，即淋同可能导致淋人在雨中行走，速度不
496
)s/m(
)s/(
23
xxxy
x
y
二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值例
e191
2 0 0 0
)(
3
最畅销给出，试问该产品何时时刻的销售量由公式销时间．已知某产品在
—最畅—产品的销售高潮消广告？这往往取决于取来越小，何时减少甚至认可，广告的作用会越被．但随着产品在市场上费大量的广告费做广告推销新产品要花某产品问世后，公司为
t
tx
t
二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值例行社的收费最多？
使旅．试问：如何组团，可人数不能超过团体人元低人，平均每人收费将降每超过人，则过元．如果团体的人数超收费人的团体，每人到安排旅游．并规定：达教师某旅行社在暑假期间为
)180
(51
1000001
100
(团体旅行 )
二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值练一练才能使产量最高？
萄藤．试问每亩种多少株葡量平均下降
，每株产株最多每亩再多种一株葡萄藤葡萄，若每株葡萄藤将产出株葡萄藤，设每亩种
kg1
)20(
kg75
50
(合理密植 )
二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值例 (用材最省 )
最省？应如何确定，所用材料和罐头盒高半径柱形的罐头盒，问底面的圆要制造一个容积为
hr
V
二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值练一练 (最大容积 )
盒子的容积最大？的边长等于多少时，方子．问截去的小方块然后折成一个无盖的盒个小方块，薄片，从四角各截去一的正方形一块边长为 a
三、一元可导函数的凹凸性
xo
y
a b
A
B
C
D
第五节 如何才能是最优的
1.凹凸性的定义如图三、一元可导函数的凹凸性第五节 如何才能是最优的
1.凹凸性的定义
.为．称内是在区间函数的图形线的上方，则称曲线位于此曲线每一点的切若曲线弧
),(),(
)(
baba
AB
凹区间凹弧三、一元可导函数的凹凸性第五节 如何才能是最优的
1.凹凸性的定义
．为．称内是在区间函数的图形线的下方，则称曲线位于此曲线每一点的切若曲线弧
),(),(
)(
baba
AB
凸区间凸弧三、一元可导函数的凹凸性第五节 如何才能是最优的
2.凹凸性的判别方法内有二阶导数，在设函数 ),()( baxf
内是凹的．在
，则曲线内，若在区间
),(
)(0)(),(
ba
xfxfba(1)
内是凸的．在
，则曲线内，若在区间
),(
)(0)(),(
ba
xfxfba(2)
三、一元可导函数的凹凸性的凹凸性．研究曲线 cbxaxy 2
的凹凸性．研究曲线 xxy ln
如图第五节 如何才能是最优的
2.凹凸性的判别方法练一练例三、一元可导函数的凹凸性的凹凸区间．求曲线 34 4 xxy
如图第五节 如何才能是最优的
2.凹凸性的判别方法例三、一元可导函数的凹凸性如图第五节 如何才能是最优的
3.拐点的定义连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的 拐点,
三、一元可导函数的凹凸性的凹凸区间与拐点．求曲线 2e xy
答案
e
1
e
1
00
,
2
2
2
2
2
2
,
2
2
2
2
2
2
,
y
y
x
第五节 如何才能是最优的练一练
3.拐点的定义四、多元函数的极值第五节 如何才能是最优的
x
y
z
如图第五节 如何才能是最优的四、多元函数的极值结论
0
)0,0()0,0(
yxyx
y
z
x
z
极值，则必有取得在点若二元函数 ),(),( 00 yxyxfz?
第五节 如何才能是最优的所有可能的极值点．
求函数 xyxyxz 933 2233
例四、多元函数的极值
3.驻点的定义驻点,的点叫 同时成立，使得 0),(0),( yxfyxf yx
第五节 如何才能是最优的四、多元函数的极值例 (最大收益 )
768045
70/
//40
/30
最大收益两种牌子的饮料可取得应每天以什么价卖出地牌子的饮料．问店主箱外箱当地牌子的饮料，
箱，则每天可卖元箱，外地牌子的卖元箱．如果当地牌子的卖元的进价为箱，外地牌子元料，当地牌子的进价为饮一家商店有两种牌子的
yxyx
y
x
第五节 如何才能是最优的四、多元函数的极值最大？
方体的体积，试问边长如何，该长高之和等于设一长方体的长、宽、
)0(?a
a
练一练第五节 如何才能是最优的四、多元函数的极值结论点取得极值，则必有在若三元函数 ),,(),,( 000 zyxzyxfu?
0
)0,0,0()0,0,0()0,0,0(
zyxzyxzyx z
u
y
u
x
u
第五节 如何才能是最优的四、多元函数的极值结论的无条件极值问题．
元函数下的极值问题等价于三在条件二元函数
),(),(
),,(
0),(),(
yxλyxf
λyxL
yxyxfz
第五节 如何才能是最优的四、多元函数的极值例 (产量最高 )
00050250
150
1004/3
)
(),(
,
1
钱，以使产量最高下，你应如何分配这笔元的情况元．在总预算是本的成本是元，每单位资成本是查发现，每个劳动力的；又经过市场调，况，得到式中的
，根据工厂的情为生产量单位资本数量，函数值为为劳动力数量，其中模型：
生产函数通过查阅资料，查到品某种产一个生产经营者想生产
cα
yxycxyxf
D o u g l a sC o b b
αα
第五节 如何才能是最优的四、多元函数的极值
(效用理论 )
4
6lnln3
),(
)(
50
种商品的效用最大何购买，才使购买这两安排，如元．请为这位同学作一的单价是元，磁带，已知软盘的单价是盘磁带的效用函数为张软盘与买
，假定购软盘与磁带买两种商品元购某同学计划用
yx
yxUyx
练一练五、小结
1.一元可导函数单调性的判别方法第五节 如何才能是最优的
2,一元可导函数极值的定义及求法
(2) 最值及应用,3,一元可导函数凹凸性
(1)凹凸性与拐点的定义 ；
(2)凹凸性与拐点的判别方法,
(1) 极值、驻点的定义及求法 ；
第五节 如何才能是最优的
4,多元函数极值
(1) 极值与驻点的定义；
(2) 极值存在的必要条件；
(3)有条件的极值问题的转化；
(4)最值的应用．
五、小结六、练习第五节 如何才能是最优的
543
2
)3(
e)2(
)1l n ()1(
.2
a r c t a n.1
2
4
a r c t a n
2
xx
x
y
y
xy
xxy
x
．值点、凹凸区间与拐点区间、极值与极列表求下列函数的单调的单调性．判断函数
3,1.4
3
π
3s i n
3
1
s i n)(.3
2
3
的拐点为曲线为何值时，点，问极小值？并求此极值．
值还是处取得极值？它是极大在为何值时，函数试问
bx
axyba
xx
xaxfa
六、练习第五节 如何才能是最优的
.6
20
.5
多少这时底直径与高的比是最小面积等于多少时，才能使表和高面半径
，问底积为要造一圆柱形油罐，体间小屋的面积最大怎样的长方形才能使这米长的墙壁，问应围成现有存砖只够砌长方形小屋，某车间靠墙壁要盖一间
hr
V
六、练习第五节 如何才能是最优的
0f
0f
0f
0f
第五节 如何才能是最优的一、一元可导函数的单调性函数单调性的判别方法内可导．在区间设函数 ),()( baxf
(1)
内是单调递增的．在
，则函数内，若在区间
),(
)(0)(),(
ba
xfxfba
(2)
内是单调递减的．在
，则函数内，若在区间
),(
)(0)(),(
ba
xfxfba
第五节 如何才能是最优的一、一元可导函数的单调性内的单调性．
在其定义域判断函数 xxxf ln)(
域内的单调性．
在其定义判断函数 xxf a r c t a n)(?
练一练例第五节 如何才能是最优的一、一元可导函数的单调性的单调区间．求函数 xxxf e)(
调区间．
的单求函数 31292)( 23 xxxxf
驻点,
的点称为使 0)( xf驻点例例第五节 如何才能是最优的一、一元可导函数的单调性的单调区间．求函数 3)2()( xxxf
练一练思考单调函数的导函数是否必为单调函数?
二、一元可导函数的极值与最值
x
y
o
1x 2x 3x 4x 5x
第五节 如何才能是最优的
1.一元可导函数的极值如图第五节 如何才能是最优的
1.一元可导函数的极值二、一元可导函数的极值与最值及其左右附近有定义，在点设 0)( xxf
极大值极大值点,
的是．称的是则称
，总有附近任取一点若在点
)()()(
)()(
00
0
0
xfxxfxf
xfxf
xx
第五节 如何才能是最优的
1.一元可导函数的极值二、一元可导函数的极值与最值及其左右附近有定义，在点设 0)( xxf
极小值极小值点,
的是．称的是则称
，总有附近任取一点若在点
)()()(
)()(
00
0
0
xfxxfxf
xfxf
xx
第五节 如何才能是最优的
1.一元可导函数的极值二、一元可导函数的极值与最值注意极大值和极小值统称为 极值,
极大值点和极小值点统称为 极值点,
第五节 如何才能是最优的二、一元可导函数的极值与最值根据定义，结合右边图形，你是否能对极值做几点说明? x
y
o
1x 2x 3x 4x 5x
2.一元函数极值的判别法第五节 如何才能是最优的
2.一元函数极值的判别法二、一元可导函数的极值与最值点函数值为极小值．则该点为极小值点．该点处左负右正，若可导函数的导数在一点函数值为极大值．则该点为极大值点．该点处左正右负，若可导函数的导数在一定理第五节 如何才能是最优的
2.一元函数极值的判别法二、一元可导函数的极值与最值的极值．求 xxxxf 1232)( 23
例
．调区间、极值和极值点的单求函数 31292)( 23 xxxxf
练一练二、一元可导函数的极值与最值
x
y
o
1x 2x 3x 4x 5x
)( xfy?
a b
第五节 如何才能是最优的如图
3.一元函数的最值二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值上最值的方法：在闭区间求 ],[)( baxf
)}()()()(m in {)(
)}()()()(m a x {)(
1m i n
1m a x
bfxfxfafxf
bfxfxfafxf
n
n
，，，，
，，，，
上的最大值和最小值．
在求函数 ]3,0[)2)(1()( 2 xxxf
例二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值
:],[)( 上最值的方法在闭区间求 baxf
)}(),(,),(),(m i n {)(
)}(),(,),(),(m a x {)(
1m in
1m a x
bfxfxfafxf
bfxfxfafxf
n
n
练一练上的最大值和最小值．
在求函数
]2,3[
1232)( 23
xxxxf
二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值思考
),(
],[)(.2
],[)(.1
求最值上只有一个极值，如何上是可导的，且在在若函数求最值上是单调的，如何在若函数
ba
baxf
baxf
二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值例走速度．求其淋雨量最小时的行函数关系：，并设它们之间有以下单位：
，行走速度为单位：单位数，记淋雨量为雨量是人行走速度的函雨量有很大不同，即淋同可能导致淋人在雨中行走，速度不
496
)s/m(
)s/(
23
xxxy
x
y
二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值例
e191
2 0 0 0
)(
3
最畅销给出，试问该产品何时时刻的销售量由公式销时间．已知某产品在
—最畅—产品的销售高潮消广告？这往往取决于取来越小，何时减少甚至认可，广告的作用会越被．但随着产品在市场上费大量的广告费做广告推销新产品要花某产品问世后，公司为
t
tx
t
二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值例行社的收费最多？
使旅．试问：如何组团，可人数不能超过团体人元低人，平均每人收费将降每超过人，则过元．如果团体的人数超收费人的团体，每人到安排旅游．并规定：达教师某旅行社在暑假期间为
)180
(51
1000001
100
(团体旅行 )
二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值练一练才能使产量最高？
萄藤．试问每亩种多少株葡量平均下降
，每株产株最多每亩再多种一株葡萄藤葡萄，若每株葡萄藤将产出株葡萄藤，设每亩种
kg1
)20(
kg75
50
(合理密植 )
二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值例 (用材最省 )
最省？应如何确定，所用材料和罐头盒高半径柱形的罐头盒，问底面的圆要制造一个容积为
hr
V
二、一元可导函数的极值与最值第五节 如何才能是最优的
3.一元函数的最值练一练 (最大容积 )
盒子的容积最大？的边长等于多少时，方子．问截去的小方块然后折成一个无盖的盒个小方块，薄片，从四角各截去一的正方形一块边长为 a
三、一元可导函数的凹凸性
xo
y
a b
A
B
C
D
第五节 如何才能是最优的
1.凹凸性的定义如图三、一元可导函数的凹凸性第五节 如何才能是最优的
1.凹凸性的定义
.为．称内是在区间函数的图形线的上方，则称曲线位于此曲线每一点的切若曲线弧
),(),(
)(
baba
AB
凹区间凹弧三、一元可导函数的凹凸性第五节 如何才能是最优的
1.凹凸性的定义
．为．称内是在区间函数的图形线的下方，则称曲线位于此曲线每一点的切若曲线弧
),(),(
)(
baba
AB
凸区间凸弧三、一元可导函数的凹凸性第五节 如何才能是最优的
2.凹凸性的判别方法内有二阶导数，在设函数 ),()( baxf
内是凹的．在
，则曲线内，若在区间
),(
)(0)(),(
ba
xfxfba(1)
内是凸的．在
，则曲线内，若在区间
),(
)(0)(),(
ba
xfxfba(2)
三、一元可导函数的凹凸性的凹凸性．研究曲线 cbxaxy 2
的凹凸性．研究曲线 xxy ln
如图第五节 如何才能是最优的
2.凹凸性的判别方法练一练例三、一元可导函数的凹凸性的凹凸区间．求曲线 34 4 xxy
如图第五节 如何才能是最优的
2.凹凸性的判别方法例三、一元可导函数的凹凸性如图第五节 如何才能是最优的
3.拐点的定义连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的 拐点,
三、一元可导函数的凹凸性的凹凸区间与拐点．求曲线 2e xy
答案
e
1
e
1
00
,
2
2
2
2
2
2
,
2
2
2
2
2
2
,
y
y
x
第五节 如何才能是最优的练一练
3.拐点的定义四、多元函数的极值第五节 如何才能是最优的
x
y
z
如图第五节 如何才能是最优的四、多元函数的极值结论
0
)0,0()0,0(
yxyx
y
z
x
z
极值，则必有取得在点若二元函数 ),(),( 00 yxyxfz?
第五节 如何才能是最优的所有可能的极值点．
求函数 xyxyxz 933 2233
例四、多元函数的极值
3.驻点的定义驻点,的点叫 同时成立，使得 0),(0),( yxfyxf yx
第五节 如何才能是最优的四、多元函数的极值例 (最大收益 )
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70/
//40
/30
最大收益两种牌子的饮料可取得应每天以什么价卖出地牌子的饮料．问店主箱外箱当地牌子的饮料，
箱，则每天可卖元箱，外地牌子的卖元箱．如果当地牌子的卖元的进价为箱，外地牌子元料，当地牌子的进价为饮一家商店有两种牌子的
yxyx
y
x
第五节 如何才能是最优的四、多元函数的极值最大？
方体的体积，试问边长如何，该长高之和等于设一长方体的长、宽、
)0(?a
a
练一练第五节 如何才能是最优的四、多元函数的极值结论点取得极值，则必有在若三元函数 ),,(),,( 000 zyxzyxfu?
0
)0,0,0()0,0,0()0,0,0(
zyxzyxzyx z
u
y
u
x
u
第五节 如何才能是最优的四、多元函数的极值结论的无条件极值问题．
元函数下的极值问题等价于三在条件二元函数
),(),(
),,(
0),(),(
yxλyxf
λyxL
yxyxfz
第五节 如何才能是最优的四、多元函数的极值例 (产量最高 )
00050250
150
1004/3
)
(),(
,
1
钱，以使产量最高下，你应如何分配这笔元的情况元．在总预算是本的成本是元，每单位资成本是查发现，每个劳动力的；又经过市场调，况，得到式中的
，根据工厂的情为生产量单位资本数量，函数值为为劳动力数量，其中模型：
生产函数通过查阅资料，查到品某种产一个生产经营者想生产
cα
yxycxyxf
D o u g l a sC o b b
αα
第五节 如何才能是最优的四、多元函数的极值
(效用理论 )
4
6lnln3
),(
)(
50
种商品的效用最大何购买，才使购买这两安排，如元．请为这位同学作一的单价是元，磁带，已知软盘的单价是盘磁带的效用函数为张软盘与买
，假定购软盘与磁带买两种商品元购某同学计划用
yx
yxUyx
练一练五、小结
1.一元可导函数单调性的判别方法第五节 如何才能是最优的
2,一元可导函数极值的定义及求法
(2) 最值及应用,3,一元可导函数凹凸性
(1)凹凸性与拐点的定义 ；
(2)凹凸性与拐点的判别方法,
(1) 极值、驻点的定义及求法 ；
第五节 如何才能是最优的
4,多元函数极值
(1) 极值与驻点的定义；
(2) 极值存在的必要条件；
(3)有条件的极值问题的转化；
(4)最值的应用．
五、小结六、练习第五节 如何才能是最优的
543
2
)3(
e)2(
)1l n ()1(
.2
a r c t a n.1
2
4
a r c t a n
2
xx
x
y
y
xy
xxy
x
．值点、凹凸区间与拐点区间、极值与极列表求下列函数的单调的单调性．判断函数
3,1.4
3
π
3s i n
3
1
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2
3
的拐点为曲线为何值时，点，问极小值？并求此极值．
值还是处取得极值？它是极大在为何值时，函数试问
bx
axyba
xx
xaxfa
六、练习第五节 如何才能是最优的
.6
20
.5
多少这时底直径与高的比是最小面积等于多少时，才能使表和高面半径
，问底积为要造一圆柱形油罐，体间小屋的面积最大怎样的长方形才能使这米长的墙壁，问应围成现有存砖只够砌长方形小屋，某车间靠墙壁要盖一间
hr
V
六、练习第五节 如何才能是最优的
