一、广告的效用二、人影长度何时为零第二节 函数的极限三、数列极限与函数极限的关系四、极限公式与极限的运算法则五、小结六、练习一、广告的效用第二节 函数的极限
)( 时的极限x
当一件新的耐用产品被广告推出后，用它的人将越来越多，但随着时间的推移，试用这一产品的新人的增长率逐渐减慢，问题是随着时间的推移，使用这一产品的总人数与时间将有怎样的关系？总人数的变化如何？
引例
1
第二节 函数的极限
)( 时的极限x
将一块白薯放入烤箱中，若烤箱的温度为恒温 100０,问白薯的温度可否正好达到 100０,何时到达？
一、广告的效用引例
2
第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用引例 1 与 2 的共同特征,
当自变量 (时间 )逐渐增大 (趋于 +?)时，相应的函数值随之而趋于某一常量．
第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用
．时的变化趋势当考察 x
x
xf 21)(
2
1)(
xxf?
如图例第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用
．趋近于的值无限，时当，由图可知
0
)( xfx
．时的变化趋势当考察 x
x
xf 21)(
例第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用当 x时，函数 f(x) 的极限则称，个确定的常数无限趋近于一函数，时如果当
，充分大时有定义当设函数
A
xfx
xxf
)(
||)(
．时的极限当为xxfA )(
记作 Axf
x )(lim
第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用当 x时，函数 f(x) 的极限根据定义可知
01l i m 2?
xx
第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用当 x时，函数 f(x) 的极限就可记为的情形，如果只考虑在定义中,x
x
Axfx )(lim
Axfx )(lim就可记为的情形，如果只考虑在定义中,x
x
第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用当 x时，函数 f(x) 的极限
01lim?
xx
而?
xx
1lim,0
结论
)(lim)(lim)(lim xfxfxf
xxx
存在
xx
1lim,0
第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用例
．求极限 x
x
a r c t a nlim
xxf a r c t a n)(?
2?
2
如图第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用例如图
．求极限
x
x x
11l i m
x
xxf )
11()(
e
第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用如图由极限定义可得
e)11(lim
x
x x
例
．求极限
x
x x
11l i m
第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用例
？多能养多少只野生动物在该自然保护区中，最多少年？需要精心照料的期限为规律．即群体增长仍符合增长进入正常的生长状态，
野生动物也将会只时，不用精心照料，动物达到
，保护区中野生年后动物总数在足：野生动物的增长规律满只，若精心照料，预计群野生动物，总数为在某自然保护区放入一
)2(
)1(
80
83.0101
220
20
t
Nt
二、人影长度何时为零第二节 函数的极限引例为什么？．于那一点时均如此接近且无论以何种方式逐渐，
于其影子的长度逐渐趋近，点时那一当一个人走向灯正下方，
度为设路灯与地面的垂直高
0
H
第二节 函数的极限二、人影长度何时为零如图
A
O
H
C
B
D
xy
h
第二节 函数的极限例
．的变化趋势
，时考察当 1)(1 xxfx
二、人影长度何时为零如图
1)( xxf
第二节 函数的极限二、人影长度何时为零记作
1.当 x?x0 时，函数 f(x) 的极限
Axf
xx
)(lim
0
则称，个确定的常数无限趋近于一，时如果当，义的左右附近有定在点设函数
A
xfxx
xxf
)(
)(
0
0
的极限.
时当为 0)( xxxfA?
第二节 函数的极限二、人影长度何时为零例
x
x
s i nlim)1(
0?
极限用图形法求下列函数的
1
1lim)2( 2
1?
x
x
x
画图求下列函数的极限
cxx
xxxxx 00
lim.3lim.2c o slim.1
0
练一练第二节 函数的极限二、人影长度何时为零记作则称，一个确定的常数无限趋近于函数，时如果当
A
xfxx )(0
．时的左极限当为 0)( xxxfA
Axf
xx
)(l i m
0
2.当 x?x0 时，函数 f(x) 的左极限第二节 函数的极限二、人影长度何时为零记作 Axf
xx
)(li m
0
则称，一个确定的常数无限趋近于函数，时如果当
A
xfxx )(0
．极限右时的当为 0)( xxxfA
2.当 x?x0 时，函数 f(x) 的左极限第二节 函数的极限二、人影长度何时为零
3.当 x?x0 时,极限存在的充要条件结论
.
)(lim)(lim)(lim
000
存在且相等与存在 xfxfxf
xxxxxx
:也可记为 AxfxfAxf
xxxxxx
)(lim)(lim)(lim
000
第二节 函数的极限二、人影长度何时为零
．时的极限与当函数考察 xx
x
x
xf 0
s i n
)(
如图例
3.当 x?x0 时,极限存在的充要条件第二节 函数的极限二、人影长度何时为零例
．的极限时当函数考察 1
13
122
)(?
x
xx
xx
xf
例
．的极限时当讨论函数 1
11
10
11
)(?
x
xx
x
xx
xf
3.当 x?x0 时,极限存在的充要条件第二节 函数的极限二、人影长度何时为零练一练的极限是否存在？时及论当
，讨设函数
)(10
1
2
101
023
)(
2
xfxx
x
x
xx
xx
xf
3.当 x?x0 时,极限存在的充要条件三、数列极限与函数极限的关系第二节 函数的极限定理 1
,均有的任意数列时当对于满足
Axfxn
xxAxf
nn
n
xx
)()
()(lim 0
0
第二节 函数的极限定理 2
,)()
()(lim
Axfxn
xAxf
nn
n
x
均有的任意数列时当对于满足三、数列极限与函数极限的关系第二节 函数的极限三、数列极限与函数极限的关系例
.0
02
01
)(
时的极限当求函数
x
xx
xx
xf
第二节 函数的极限三、数列极限与函数极限的关系的联系．
时极限间当，
，与数列考察函数极限
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
2
2
0
1
s i n
1
1
s i n
1
s i n
s i n
l i m
练一练四、极限公式与极限的运算法则第二节 函数的极限
1.两个重要极限
e
1
1lim
1
s i n
lim
0
x
x
x
x
x
x
(1)
(2)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则特点
1
2
型的；时，函数必须是当
0
00?x
．形式一致式与分母的正弦符号后面变量的形
1
s i n
l i m
0
x
x
x
(1)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则求下列极限
x
x
x
t a nlim)1(
0? x
kx
x
s inlim)2(
0?
20
c o s1lim)3(
x
x
x
1
s i n
l i m
0
x
x
x
(1)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则思考的结果是什么？
x
x
x
1s i nlim
1
s i n
l i m
0
x
x
x
(1)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则练习
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
s i n
l i m)4(
s i n
l i m)3(
3s i n
5s i n
l i m)2(
s i nt a n
l i m1
2
0
00
）（
1
s i n
l i m
0
x
x
x
(1)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则特点
1
2
型的；时，函数必须是当
x
．互为倒数的形式后面变量的形式与指数1
e
1
1lim
x
x x
(2)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则求下列极限
x
x x
)
2
1(l i m)1(?
x
x x
x
)
1
(lim
( 2 )
e
1
1lim
x
x x
(2)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则思考
？结果是什么的和
n
n
x
x n
x?
1
1lim)1(lim
1
0
e
1
1lim
x
x x
(2)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则求下列极限
x
x
x 4
1
0
)21(l i m)1(?
x
x
x
6
0
)1(l i m)2(?
e
1
1lim
x
x x
(2)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则练习 x
x
x
x
x
x
x
1
0 2
1lim)2(
1
3
lim1?
）（
e
1
1lim
x
x x
(2)
第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则
，，设 BxgAxf )(l i m)(l i m 则
(1) BAxgxfxgxf )(lim)(lim)]()([lim
(2)
BAxgxfxgxf )(lim)(lim)]()([lim
思考
)(lim?xcf
第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则
(3) )0(
)(lim
)(lim
)(
)(
lim B
B
A
xg
xf
xg
xf
(4)
，则，且 )0()(0)(l i m MMxgxf?
0)()(l i m?xgxf?
，，设 BxgAxf )(l i m)(l i m 则第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则例
．求 )32(l i m
2
x
x
001
1
010
01
1
1
0
)(lim
axaxaxa
axaxaxa
n
n
n
n
n
n
n
n
xx
结论第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则练一练求下列极限：
)12(lim.2)523(lim.1 2
1
10
1
xxx
xx
第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则例,求
3
45lim 2
2?
x
x
x
结论
，0
且，表示多项式函数，若
)(
)()(
0xQ
xQxP
)(
)(
)(
)(
l i m
0
0
0 xQ
xP
xQ
xP
xx
则第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则例,求
2
4lim 2
2?
x
x
x
注意
．法则求极限然后再利用极限的运算
，则先消公因式，子和分母有公因式且分，0限为若分式的分子和分母极第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则练一练求下列极限：
1
1
lim.2
24
12
lim.1
3
13
2
0?
x
x
x
x
xx
第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则例,求
123
2lim
2
2
xx
xx
x
例,求
42
432lim
3
2
x
xx
x
例,求
42
432lim
2
3
x
xx
x
第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则结论
)(
)(
)(0
lim
0
0
1
10
1
10
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x?
第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则练一练 求下列极限：
123
4lim.1
1921
1520
xx
xx
x
42
31 0 0lim.2
23
24
x
xx
x 100002
400033li m.3
30
30
x
xx
x
第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则例
．求
x
x
x
11
lim
0
注意
．才能求极限有些需进行有理化后，理根式时有无当分式的分子或分母中第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则
．时的极限项和当求这个数列前
，，，，，：
已知等比数列
nn
a
nnn
2
1
8
1
4
1
2
1
2
1
例第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则思考
？的极限是多少项和前其，时则当，若其公比绝对值
，，，，，，
对于一个等比数列
n
n
Sn
nq
aqaqaqaqa
1||
32
第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则例
．求?
xxxx 2c os
11l i m
0
．求?
xxxx 2c os
11l i m
220
练一练五、小结
1.函数极限的概念第二节 函数的极限；的极限函数，时(2)当 )(0 xfxx?
．的左右极限函数，时(3)当 )(0 xfxx?；的极限函数，时(1)当 )( xfx
2.极限存在的充要条件第二节 函数的极限
AxfxfAxf
xxxxxx
)(lim)(lim)(lim
000
AxfxfAxf xxx )(lim)(lim)(lim
五、小结
(1)
(2)
3.数列极限与函数极限的关系第二节 函数的极限五、小结
,均有的任意数列时当对于满足
Axfxn
xxAxf
nn
n
xx
)()
()(lim 0
0
,)()
()(lim
Axfxn
xAxf
nn
n
x
均有的任意数列时当对于满足
4.两个重要极限第二节 函数的极限五、小结
e
1
1lim
1
s i n
lim
0
x
x
x
x
x
x
(1)
(2)
5.极限的运算法则和几个重要的结论第二节 函数的极限五、小结
001
1
010
01
1
1
0
)(lim
axaxaxa
axaxaxa
n
n
n
n
n
n
n
n
xx
．法则求极限然后再利用极限的运算
，则先消公因式，子和分母有公因式且分，0限为若分式的分子和分母极
5.极限的运算法则和几个重要的结论第二节 函数的极限五、小结
)(
)(
)(0
lim
0
0
1
10
1
10
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x?
．能求极限有些需进行有理化后才
，有无理根式时当分式的分子或分母中六、练习第二节 函数的极限
：用图形法求函数的极限.1
xx
xx
x
x
t a nlim)3(lnlim)2()
2
1
(lim).1(
4
1
)(l i m)(l i m)(l i m
213
102
)(.2
1
11
存在是否，并回答及求
，用观察法设
xfxfxf
xx
xx
xf
x
xx
第二节 函数的极限的值应为多少？在，
存，为使设
m
xf
xmx
x
xf
x
x
)(lim
02
0e
)(.3
0?
六、练习的极限．数列时，，，试考察当时的极限为当函数
))((
)(0
)c o s( s i n
1
)(.4
32
2
ngf
nnnng
xxxx
x
xf
第二节 函数的极限六、练习
5.求下列极限：
2
1
0
s e c2
2
0
0
1
l i m)6()31(l i m)5(
)c o s1(l i m)4(
s i n)s i n (
l i m)3(
)(2
)s i n (
l i m)2(
s i n
)3(
l i m1
x
x
x
x
x
x
h
xx
x
x
x
x
h
xhx
x
x
x
xx
）（
第二节 函数的极限六、练习
6.求下列极限：
123
4lim)1(
2
2
xx
xx
x 4200
3lim)2(
23
24
x
xx
x
102
10033lim)3(
4
3
x
xx
x )321(
1l i m)4(
2 nnn
1
23l im)5(
1?
x
x
x ]2
1)1(
2
11[lim)6(
1
1
nn
n
)( 时的极限x
当一件新的耐用产品被广告推出后，用它的人将越来越多，但随着时间的推移，试用这一产品的新人的增长率逐渐减慢，问题是随着时间的推移，使用这一产品的总人数与时间将有怎样的关系？总人数的变化如何？
引例
1
第二节 函数的极限
)( 时的极限x
将一块白薯放入烤箱中，若烤箱的温度为恒温 100０,问白薯的温度可否正好达到 100０,何时到达？
一、广告的效用引例
2
第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用引例 1 与 2 的共同特征,
当自变量 (时间 )逐渐增大 (趋于 +?)时，相应的函数值随之而趋于某一常量．
第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用
．时的变化趋势当考察 x
x
xf 21)(
2
1)(
xxf?
如图例第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用
．趋近于的值无限，时当，由图可知
0
)( xfx
．时的变化趋势当考察 x
x
xf 21)(
例第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用当 x时，函数 f(x) 的极限则称，个确定的常数无限趋近于一函数，时如果当
，充分大时有定义当设函数
A
xfx
xxf
)(
||)(
．时的极限当为xxfA )(
记作 Axf
x )(lim
第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用当 x时，函数 f(x) 的极限根据定义可知
01l i m 2?
xx
第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用当 x时，函数 f(x) 的极限就可记为的情形，如果只考虑在定义中,x
x
Axfx )(lim
Axfx )(lim就可记为的情形，如果只考虑在定义中,x
x
第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用当 x时，函数 f(x) 的极限
01lim?
xx
而?
xx
1lim,0
结论
)(lim)(lim)(lim xfxfxf
xxx
存在
xx
1lim,0
第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用例
．求极限 x
x
a r c t a nlim
xxf a r c t a n)(?
2?
2
如图第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用例如图
．求极限
x
x x
11l i m
x
xxf )
11()(
e
第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用如图由极限定义可得
e)11(lim
x
x x
例
．求极限
x
x x
11l i m
第二节 函数的极限
)( 时的极限x一、广告的效用例
？多能养多少只野生动物在该自然保护区中，最多少年？需要精心照料的期限为规律．即群体增长仍符合增长进入正常的生长状态，
野生动物也将会只时，不用精心照料，动物达到
，保护区中野生年后动物总数在足：野生动物的增长规律满只，若精心照料，预计群野生动物，总数为在某自然保护区放入一
)2(
)1(
80
83.0101
220
20
t
Nt
二、人影长度何时为零第二节 函数的极限引例为什么？．于那一点时均如此接近且无论以何种方式逐渐，
于其影子的长度逐渐趋近，点时那一当一个人走向灯正下方，
度为设路灯与地面的垂直高
0
H
第二节 函数的极限二、人影长度何时为零如图
A
O
H
C
B
D
xy
h
第二节 函数的极限例
．的变化趋势
，时考察当 1)(1 xxfx
二、人影长度何时为零如图
1)( xxf
第二节 函数的极限二、人影长度何时为零记作
1.当 x?x0 时，函数 f(x) 的极限
Axf
xx
)(lim
0
则称，个确定的常数无限趋近于一，时如果当，义的左右附近有定在点设函数
A
xfxx
xxf
)(
)(
0
0
的极限.
时当为 0)( xxxfA?
第二节 函数的极限二、人影长度何时为零例
x
x
s i nlim)1(
0?
极限用图形法求下列函数的
1
1lim)2( 2
1?
x
x
x
画图求下列函数的极限
cxx
xxxxx 00
lim.3lim.2c o slim.1
0
练一练第二节 函数的极限二、人影长度何时为零记作则称，一个确定的常数无限趋近于函数，时如果当
A
xfxx )(0
．时的左极限当为 0)( xxxfA
Axf
xx
)(l i m
0
2.当 x?x0 时，函数 f(x) 的左极限第二节 函数的极限二、人影长度何时为零记作 Axf
xx
)(li m
0
则称，一个确定的常数无限趋近于函数，时如果当
A
xfxx )(0
．极限右时的当为 0)( xxxfA
2.当 x?x0 时，函数 f(x) 的左极限第二节 函数的极限二、人影长度何时为零
3.当 x?x0 时,极限存在的充要条件结论
.
)(lim)(lim)(lim
000
存在且相等与存在 xfxfxf
xxxxxx
:也可记为 AxfxfAxf
xxxxxx
)(lim)(lim)(lim
000
第二节 函数的极限二、人影长度何时为零
．时的极限与当函数考察 xx
x
x
xf 0
s i n
)(
如图例
3.当 x?x0 时,极限存在的充要条件第二节 函数的极限二、人影长度何时为零例
．的极限时当函数考察 1
13
122
)(?
x
xx
xx
xf
例
．的极限时当讨论函数 1
11
10
11
)(?
x
xx
x
xx
xf
3.当 x?x0 时,极限存在的充要条件第二节 函数的极限二、人影长度何时为零练一练的极限是否存在？时及论当
，讨设函数
)(10
1
2
101
023
)(
2
xfxx
x
x
xx
xx
xf
3.当 x?x0 时,极限存在的充要条件三、数列极限与函数极限的关系第二节 函数的极限定理 1
,均有的任意数列时当对于满足
Axfxn
xxAxf
nn
n
xx
)()
()(lim 0
0
第二节 函数的极限定理 2
,)()
()(lim
Axfxn
xAxf
nn
n
x
均有的任意数列时当对于满足三、数列极限与函数极限的关系第二节 函数的极限三、数列极限与函数极限的关系例
.0
02
01
)(
时的极限当求函数
x
xx
xx
xf
第二节 函数的极限三、数列极限与函数极限的关系的联系．
时极限间当，
，与数列考察函数极限
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
2
2
0
1
s i n
1
1
s i n
1
s i n
s i n
l i m
练一练四、极限公式与极限的运算法则第二节 函数的极限
1.两个重要极限
e
1
1lim
1
s i n
lim
0
x
x
x
x
x
x
(1)
(2)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则特点
1
2
型的；时，函数必须是当
0
00?x
．形式一致式与分母的正弦符号后面变量的形
1
s i n
l i m
0
x
x
x
(1)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则求下列极限
x
x
x
t a nlim)1(
0? x
kx
x
s inlim)2(
0?
20
c o s1lim)3(
x
x
x
1
s i n
l i m
0
x
x
x
(1)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则思考的结果是什么？
x
x
x
1s i nlim
1
s i n
l i m
0
x
x
x
(1)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则练习
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
s i n
l i m)4(
s i n
l i m)3(
3s i n
5s i n
l i m)2(
s i nt a n
l i m1
2
0
00
）（
1
s i n
l i m
0
x
x
x
(1)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则特点
1
2
型的；时，函数必须是当
x
．互为倒数的形式后面变量的形式与指数1
e
1
1lim
x
x x
(2)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则求下列极限
x
x x
)
2
1(l i m)1(?
x
x x
x
)
1
(lim
( 2 )
e
1
1lim
x
x x
(2)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则思考
？结果是什么的和
n
n
x
x n
x?
1
1lim)1(lim
1
0
e
1
1lim
x
x x
(2)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则求下列极限
x
x
x 4
1
0
)21(l i m)1(?
x
x
x
6
0
)1(l i m)2(?
e
1
1lim
x
x x
(2)
第二节 函数的极限
1.两个重要极限四、极限公式与极限的运算法则练习 x
x
x
x
x
x
x
1
0 2
1lim)2(
1
3
lim1?
）（
e
1
1lim
x
x x
(2)
第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则
，，设 BxgAxf )(l i m)(l i m 则
(1) BAxgxfxgxf )(lim)(lim)]()([lim
(2)
BAxgxfxgxf )(lim)(lim)]()([lim
思考
)(lim?xcf
第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则
(3) )0(
)(lim
)(lim
)(
)(
lim B
B
A
xg
xf
xg
xf
(4)
，则，且 )0()(0)(l i m MMxgxf?
0)()(l i m?xgxf?
，，设 BxgAxf )(l i m)(l i m 则第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则例
．求 )32(l i m
2
x
x
001
1
010
01
1
1
0
)(lim
axaxaxa
axaxaxa
n
n
n
n
n
n
n
n
xx
结论第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则练一练求下列极限：
)12(lim.2)523(lim.1 2
1
10
1
xxx
xx
第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则例,求
3
45lim 2
2?
x
x
x
结论
，0
且，表示多项式函数，若
)(
)()(
0xQ
xQxP
)(
)(
)(
)(
l i m
0
0
0 xQ
xP
xQ
xP
xx
则第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则例,求
2
4lim 2
2?
x
x
x
注意
．法则求极限然后再利用极限的运算
，则先消公因式，子和分母有公因式且分，0限为若分式的分子和分母极第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则练一练求下列极限：
1
1
lim.2
24
12
lim.1
3
13
2
0?
x
x
x
x
xx
第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则例,求
123
2lim
2
2
xx
xx
x
例,求
42
432lim
3
2
x
xx
x
例,求
42
432lim
2
3
x
xx
x
第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则结论
)(
)(
)(0
lim
0
0
1
10
1
10
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x?
第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则练一练 求下列极限：
123
4lim.1
1921
1520
xx
xx
x
42
31 0 0lim.2
23
24
x
xx
x 100002
400033li m.3
30
30
x
xx
x
第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则例
．求
x
x
x
11
lim
0
注意
．才能求极限有些需进行有理化后，理根式时有无当分式的分子或分母中第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则
．时的极限项和当求这个数列前
，，，，，：
已知等比数列
nn
a
nnn
2
1
8
1
4
1
2
1
2
1
例第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则思考
？的极限是多少项和前其，时则当，若其公比绝对值
，，，，，，
对于一个等比数列
n
n
Sn
nq
aqaqaqaqa
1||
32
第二节 函数的极限
2.极限运算法则四、极限公式与极限的运算法则例
．求?
xxxx 2c os
11l i m
0
．求?
xxxx 2c os
11l i m
220
练一练五、小结
1.函数极限的概念第二节 函数的极限；的极限函数，时(2)当 )(0 xfxx?
．的左右极限函数，时(3)当 )(0 xfxx?；的极限函数，时(1)当 )( xfx
2.极限存在的充要条件第二节 函数的极限
AxfxfAxf
xxxxxx
)(lim)(lim)(lim
000
AxfxfAxf xxx )(lim)(lim)(lim
五、小结
(1)
(2)
3.数列极限与函数极限的关系第二节 函数的极限五、小结
,均有的任意数列时当对于满足
Axfxn
xxAxf
nn
n
xx
)()
()(lim 0
0
,)()
()(lim
Axfxn
xAxf
nn
n
x
均有的任意数列时当对于满足
4.两个重要极限第二节 函数的极限五、小结
e
1
1lim
1
s i n
lim
0
x
x
x
x
x
x
(1)
(2)
5.极限的运算法则和几个重要的结论第二节 函数的极限五、小结
001
1
010
01
1
1
0
)(lim
axaxaxa
axaxaxa
n
n
n
n
n
n
n
n
xx
．法则求极限然后再利用极限的运算
，则先消公因式，子和分母有公因式且分，0限为若分式的分子和分母极
5.极限的运算法则和几个重要的结论第二节 函数的极限五、小结
)(
)(
)(0
lim
0
0
1
10
1
10
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x?
．能求极限有些需进行有理化后才
，有无理根式时当分式的分子或分母中六、练习第二节 函数的极限
：用图形法求函数的极限.1
xx
xx
x
x
t a nlim)3(lnlim)2()
2
1
(lim).1(
4
1
)(l i m)(l i m)(l i m
213
102
)(.2
1
11
存在是否，并回答及求
，用观察法设
xfxfxf
xx
xx
xf
x
xx
第二节 函数的极限的值应为多少？在，
存，为使设
m
xf
xmx
x
xf
x
x
)(lim
02
0e
)(.3
0?
六、练习的极限．数列时，，，试考察当时的极限为当函数
))((
)(0
)c o s( s i n
1
)(.4
32
2
ngf
nnnng
xxxx
x
xf
第二节 函数的极限六、练习
5.求下列极限：
2
1
0
s e c2
2
0
0
1
l i m)6()31(l i m)5(
)c o s1(l i m)4(
s i n)s i n (
l i m)3(
)(2
)s i n (
l i m)2(
s i n
)3(
l i m1
x
x
x
x
x
x
h
xx
x
x
x
x
h
xhx
x
x
x
xx
）（
第二节 函数的极限六、练习
6.求下列极限：
123
4lim)1(
2
2
xx
xx
x 4200
3lim)2(
23
24
x
xx
x
102
10033lim)3(
4
3
x
xx
x )321(
1l i m)4(
2 nnn
1
23l im)5(
1?
x
x
x ]2
1)1(
2
11[lim)6(
1
1
nn
n
