一、向量的概念二、向量的向量运算第五节 关于向量的几点说明三、向量的坐标运算四、小结五、练习一、向量的概念第五节 关于向量的几点说明在中学物理中我们曾经学习过 位移,力,速度,加速度,电场 等,尽管它们的物理意义不同,但它们都是既有大小又有方向的量．
第五节 关于向量的几点说明一、向量的概念
1.
向量的概念既有大小又有方向的量称为 向量,将向量放在一个空间直角坐标系中，使之始点与坐标系的原点重合，
则它的终点唯一确定了这一向量，从而 向量与坐标系内的点间构成了一一对应关系,即可以认为坐标系内的点与具有大小和方向的向量间毫无差别．
第五节 关于向量的几点说明一、向量的概念
2.
向量的表示
AB F
a
A
B
第五节 关于向量的几点说明一、向量的概念
3.
向量的要素模：
，记作方向：
．a，F
箭头所指的方向．
AB
有向线段的长度称为 向量的模,
结论模相等，方向相同．两向量相等?
第五节 关于向量的几点说明一、向量的概念
3.
向量的要素思考较大小？两个向量的模是否能比小？两个向量是否能比较大
)2
)1
第五节 关于向量的几点说明一、向量的概念
4.
自由向量由于一个向量经过平行移动 后，
模 和方向都不 改变，因此 称向量也为自由 向量,
如图：
A
B
A
B
第五节 关于向量的几点说明一、向量的概念
5.
两个特殊向量单位向量：
零向量：
的向量．模为 1
．0记作，模为零的向量注意意的．零向量的方向规定是任第五节 关于向量的几点说明一、向量的概念
6,
向量的负向量记 作,ab 或,ba
如图
a
a?
当向量 和 的大小相等和方向相反时称向量 a 和 b互为 负向量,
a b
二、向量的向量运算第五节 关于向量的几点说明
A B
C
有 ACBCAB
1.
向量的加法实例第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
(1)三角形加法如图
a
b
c
b
bac则有
(首尾相连 )
三角形加法
1.
向量的加法第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
(1)三角形加法
1.
向量的加法推广如图
a
b
c
d
e
dcbae
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
1.
向量的加法
(2)平行四边形加法
a
c
b
b
(起点重合 )
如图
bac则有 平行四边行加法第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
1.
向量的加法
(2)平行四边形加法想一想形加法是否一致？
行四边向量的三角形加法与平第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
1.
向量的加法
(3)加法的运算律交换律：)1
结合律：)2
abba
)()( cbacba
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
(3)加法的运算律
1.
向量的加法思考么情况下上式成立？
是否成立? 在什baba
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
(3)加法的运算律
1.
向量的加法思考
,
试给出其几何意义若成立是否成立?baba
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
2.
向量的减法如图：
a
b
bac
c
则有向量的减法第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
3.
数乘向量
(1) 定义模：
记做,aλ
的乘积是一个向量与向量实数 aλ
|||||| aλaλ
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
3.
数乘向量
(1) 定义方向记做,aλ
的乘积是一个向量与向量实数 aλ
其方向，，时当的方向的方向与，时当的方向的方向与，时当
00
0
0
aλλ
aaλλ
aaλλ 相同,相反,任意,
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
3.
数乘向量
(2) 运算律结合律)1
分配律)2
)()( aλμaμλaμλ
aμaλaμλ )(
bλaλbaλ )(
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
3.
数乘向量
(3) 数乘向量的作用则有，为一个非零向量设 a
o
aaa? 其中
1)
2)
R
//,00
λ
bababa 则，设
a
a
a
1o
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
3.
数乘向量
(3) 数乘向量的作用
．是对角线的交点其中．，
，，表示向量与试用，，
设，中在平行四边形
MMDMC
MBMAbabADa
ABABCD
例第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
3.
数乘向量
(3) 数乘向量的作用练一练利用向量证明三角形中位线定理,
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
4,
向量的数量积实例所做的功．如图：求力 F
F
)
s
：所做的功为力 F c o ssFW
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
4,
向量的数量积
(1) 两向量夹角的定义如图
a
b b
)
），（
ba记做,
），（0 ba其中第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
4,
向量的数量积
(2) 向量数量积的定义即ba?记 做,数乘积．
余弦值的的模及它们之间夹角的是指两向量的两向量
ba
ba
,
,
数量积
)c o s (||||
bababa,
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
4,
向量的数量积
(2) 向量数量积的定义所做的功为：由定义可知力 F
ｓ FW
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
4,
向量的数量积
(3) 有关数量积的结论
1) 2|| aaa
2) 0 baba
3)
||||
)c o s (
ba
ba
ba
，
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
4,
向量的数量积
(4) 数量积的运算律交换律：)1
分配律：)2
与数乘的结合律：)3
abba
cabacba )(
)()()( baλbλabaλ
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
4,
向量的数量积
(4) 数量积的运算律思考
)()(
cbacba
请说明理由．判断下式是否成立第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
5,
向量的向量积
(1) 向量积的定义记 做,ba?
模方向是一个向量．的与向量 ba向量积
),s in (||||||
bababa
成右手系．
，，，且,bababbaaba
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
5,
向量的向量积
(1) 向量积的定义思考
.|| 的几何意义试给出 ba?
.
,||
积所做的平行四边形的面为边表示以向量 baba?
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
5,
向量的向量积
(2) 有关向量积的结论
1)
2)
0 aa
0// baba
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
5,
向量的向量积
(3) 向量积的运算律
1) abba
反交换律
2) cabacba )(
分配律
3) )()()( bλabaλbaλ
与数乘的结合律第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
5,
向量的向量积思考
.2
)()(
.1
同时垂直的向量，如何求和向量说明理由．判断下式是否成立？请
ba
cbacba
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
5,
向量的向量积例面体的体积．
所确定的平行六求由向量 cba,,
如图
a
b
c
三、向量的坐标运算第五节 关于向量的几点说明
1|||||| kji
x
y
z
O
如图
i
k
j
为称向量 kji,,kji,,坐标向量
1.
坐标向量第五节 关于向量的几点说明
2,
向量的坐标表示三、向量的坐标运算
x
y
z
O
如图 )( zyxP,，
MA
OP MPAMOA
ixOA?
jyAM?
kzMP?
kzjyixzyx,，?
向量的坐标表示第五节 关于向量的几点说明
2,
向量的坐标表示三、向量的坐标运算思考
||.2
,,.1
OPOP
kji
的模向量各是什么？
用坐标表示时坐标向量第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(1) 向量的加减与数乘
R
222111
λ
zyxbzyxa,，，，，，设给定
ba212121 zzyyxx,，
aλ
111,,zλyλxλ
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(1) 向量的加减与数乘思考
？的坐标表示式及如何求向量
，，，，，，设点
ABAB
zyxBzyxA )()( 222111
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(1) 向量的加减与数乘例
。
方向一致的单位向量和求
，和已知两点
0
21
2121
21
)0,3,1()2,2,2(
MM
MMMM
MM
思考么？的单位向量，结果是什在上例中，如果求向量 21 MM
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(2) 向量的数量积思考于多少？
各等，，，，,kjkijikkjjii
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(2) 向量的数量积
ba
)()( 222111 kzjyixkzjyix
212121 zzyyxx
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(2) 向量的数量积由此可得
021221 zzyyxxba １
2
2
22
2
2
1
2
1
2
1
21221)c o s (
zyxzyx
zzyyxx
ba
２
１，(1)
(2)
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(2) 向量的数量积例直角三角形．
为，试证明，，，，，
，，，设三角形的顶点坐标为
A B CCB
A
)303()212(
)111(
练一练的夹角．
与，求，，
，，，，，，已知
31213
21
)212(
)122()111(
MMMMM
MM
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(3) 向量的向量积思考各等于多少？，
，，，，，，，
jkik
ijkjkijikkjjii
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(3) 向量的向量积
ba
)()( 222111 kzjyixkzjyix
kyxyx
jzxzxizyzy
)(
)()(
1221
12211221
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(3) 向量的向量积简记为
222
111
zyx
zyx
kji
ba
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(3) 向量的向量积由此可得
2
1
2
1
2
1//
z
z
y
y
x
x
ba
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(3) 向量的向量积例
．及单位向量 的向量同时垂直，，，，，求和
0
354122
cc
ba
例的面积．，求，，，，，
，，，的顶点是已知
ABCCB
AABC
)742()543(
)321(
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(3) 向量的向量积练一练
单位向量．
轴的和求同时垂直于向量平行．和＝
的值，使向量和试确定
xa
mbn
anm
8,6,3.2
2,6,,3,2
.1
四、小结
1.向量的概念第五节 关于向量的几点说明定义、表示方法、两个要素、特殊向量
2.向量的向量运算加减、数乘、数量积、向量积及一些结论
3.向量的坐标运算,
坐标向量、向量的坐标表示、加减、数乘、
数量积、向量积及一些结论五、练习第五节 关于向量的几点说明
．，表示向量并分别用单位向量的模，，，，，，，分别求向量
．求，的中点，设与分别是、，已知平行四边形等距离的点．，，，，，
，，，面上，求与三个已知点在
baba
ba
CDBCbAFaAECDBC
FEABCD
CB
Ay O z
00
,
}212{}111{.3
.2
)150()224(
)213(.1
五、练习第五节 关于向量的几点说明的面积．
，求已知同时垂直的单位向量．，求与
，，３，，，已知点５
的单位向量．６求平行于向量
O A BOBOA
MMMM
MMM
a
}3,1,0{},3,0,1{.6
)3,1,3()1,,3()211(.
}6,7,{.4
3221
321
第五节 关于向量的几点说明一、向量的概念
1.
向量的概念既有大小又有方向的量称为 向量,将向量放在一个空间直角坐标系中，使之始点与坐标系的原点重合，
则它的终点唯一确定了这一向量，从而 向量与坐标系内的点间构成了一一对应关系,即可以认为坐标系内的点与具有大小和方向的向量间毫无差别．
第五节 关于向量的几点说明一、向量的概念
2.
向量的表示
AB F
a
A
B
第五节 关于向量的几点说明一、向量的概念
3.
向量的要素模：
，记作方向：
．a，F
箭头所指的方向．
AB
有向线段的长度称为 向量的模,
结论模相等，方向相同．两向量相等?
第五节 关于向量的几点说明一、向量的概念
3.
向量的要素思考较大小？两个向量的模是否能比小？两个向量是否能比较大
)2
)1
第五节 关于向量的几点说明一、向量的概念
4.
自由向量由于一个向量经过平行移动 后，
模 和方向都不 改变，因此 称向量也为自由 向量,
如图：
A
B
A
B
第五节 关于向量的几点说明一、向量的概念
5.
两个特殊向量单位向量：
零向量：
的向量．模为 1
．0记作，模为零的向量注意意的．零向量的方向规定是任第五节 关于向量的几点说明一、向量的概念
6,
向量的负向量记 作,ab 或,ba
如图
a
a?
当向量 和 的大小相等和方向相反时称向量 a 和 b互为 负向量,
a b
二、向量的向量运算第五节 关于向量的几点说明
A B
C
有 ACBCAB
1.
向量的加法实例第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
(1)三角形加法如图
a
b
c
b
bac则有
(首尾相连 )
三角形加法
1.
向量的加法第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
(1)三角形加法
1.
向量的加法推广如图
a
b
c
d
e
dcbae
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
1.
向量的加法
(2)平行四边形加法
a
c
b
b
(起点重合 )
如图
bac则有 平行四边行加法第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
1.
向量的加法
(2)平行四边形加法想一想形加法是否一致？
行四边向量的三角形加法与平第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
1.
向量的加法
(3)加法的运算律交换律：)1
结合律：)2
abba
)()( cbacba
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
(3)加法的运算律
1.
向量的加法思考么情况下上式成立？
是否成立? 在什baba
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
(3)加法的运算律
1.
向量的加法思考
,
试给出其几何意义若成立是否成立?baba
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
2.
向量的减法如图：
a
b
bac
c
则有向量的减法第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
3.
数乘向量
(1) 定义模：
记做,aλ
的乘积是一个向量与向量实数 aλ
|||||| aλaλ
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
3.
数乘向量
(1) 定义方向记做,aλ
的乘积是一个向量与向量实数 aλ
其方向，，时当的方向的方向与，时当的方向的方向与，时当
00
0
0
aλλ
aaλλ
aaλλ 相同,相反,任意,
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
3.
数乘向量
(2) 运算律结合律)1
分配律)2
)()( aλμaμλaμλ
aμaλaμλ )(
bλaλbaλ )(
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
3.
数乘向量
(3) 数乘向量的作用则有，为一个非零向量设 a
o
aaa? 其中
1)
2)
R
//,00
λ
bababa 则，设
a
a
a
1o
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
3.
数乘向量
(3) 数乘向量的作用
．是对角线的交点其中．，
，，表示向量与试用，，
设，中在平行四边形
MMDMC
MBMAbabADa
ABABCD
例第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
3.
数乘向量
(3) 数乘向量的作用练一练利用向量证明三角形中位线定理,
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
4,
向量的数量积实例所做的功．如图：求力 F
F
)
s
：所做的功为力 F c o ssFW
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
4,
向量的数量积
(1) 两向量夹角的定义如图
a
b b
)
），（
ba记做,
），（0 ba其中第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
4,
向量的数量积
(2) 向量数量积的定义即ba?记 做,数乘积．
余弦值的的模及它们之间夹角的是指两向量的两向量
ba
ba
,
,
数量积
)c o s (||||
bababa,
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
4,
向量的数量积
(2) 向量数量积的定义所做的功为：由定义可知力 F
ｓ FW
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
4,
向量的数量积
(3) 有关数量积的结论
1) 2|| aaa
2) 0 baba
3)
||||
)c o s (
ba
ba
ba
，
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
4,
向量的数量积
(4) 数量积的运算律交换律：)1
分配律：)2
与数乘的结合律：)3
abba
cabacba )(
)()()( baλbλabaλ
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
4,
向量的数量积
(4) 数量积的运算律思考
)()(
cbacba
请说明理由．判断下式是否成立第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
5,
向量的向量积
(1) 向量积的定义记 做,ba?
模方向是一个向量．的与向量 ba向量积
),s in (||||||
bababa
成右手系．
，，，且,bababbaaba
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
5,
向量的向量积
(1) 向量积的定义思考
.|| 的几何意义试给出 ba?
.
,||
积所做的平行四边形的面为边表示以向量 baba?
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
5,
向量的向量积
(2) 有关向量积的结论
1)
2)
0 aa
0// baba
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
5,
向量的向量积
(3) 向量积的运算律
1) abba
反交换律
2) cabacba )(
分配律
3) )()()( bλabaλbaλ
与数乘的结合律第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
5,
向量的向量积思考
.2
)()(
.1
同时垂直的向量，如何求和向量说明理由．判断下式是否成立？请
ba
cbacba
第五节 关于向量的几点说明二、向量的向量运算
5,
向量的向量积例面体的体积．
所确定的平行六求由向量 cba,,
如图
a
b
c
三、向量的坐标运算第五节 关于向量的几点说明
1|||||| kji
x
y
z
O
如图
i
k
j
为称向量 kji,,kji,,坐标向量
1.
坐标向量第五节 关于向量的几点说明
2,
向量的坐标表示三、向量的坐标运算
x
y
z
O
如图 )( zyxP,，
MA
OP MPAMOA
ixOA?
jyAM?
kzMP?
kzjyixzyx,，?
向量的坐标表示第五节 关于向量的几点说明
2,
向量的坐标表示三、向量的坐标运算思考
||.2
,,.1
OPOP
kji
的模向量各是什么？
用坐标表示时坐标向量第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(1) 向量的加减与数乘
R
222111
λ
zyxbzyxa,，，，，，设给定
ba212121 zzyyxx,，
aλ
111,,zλyλxλ
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(1) 向量的加减与数乘思考
？的坐标表示式及如何求向量
，，，，，，设点
ABAB
zyxBzyxA )()( 222111
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(1) 向量的加减与数乘例
。
方向一致的单位向量和求
，和已知两点
0
21
2121
21
)0,3,1()2,2,2(
MM
MMMM
MM
思考么？的单位向量，结果是什在上例中，如果求向量 21 MM
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(2) 向量的数量积思考于多少？
各等，，，，,kjkijikkjjii
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(2) 向量的数量积
ba
)()( 222111 kzjyixkzjyix
212121 zzyyxx
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(2) 向量的数量积由此可得
021221 zzyyxxba １
2
2
22
2
2
1
2
1
2
1
21221)c o s (
zyxzyx
zzyyxx
ba
２
１，(1)
(2)
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(2) 向量的数量积例直角三角形．
为，试证明，，，，，
，，，设三角形的顶点坐标为
A B CCB
A
)303()212(
)111(
练一练的夹角．
与，求，，
，，，，，，已知
31213
21
)212(
)122()111(
MMMMM
MM
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(3) 向量的向量积思考各等于多少？，
，，，，，，，
jkik
ijkjkijikkjjii
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(3) 向量的向量积
ba
)()( 222111 kzjyixkzjyix
kyxyx
jzxzxizyzy
)(
)()(
1221
12211221
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(3) 向量的向量积简记为
222
111
zyx
zyx
kji
ba
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(3) 向量的向量积由此可得
2
1
2
1
2
1//
z
z
y
y
x
x
ba
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(3) 向量的向量积例
．及单位向量 的向量同时垂直，，，，，求和
0
354122
cc
ba
例的面积．，求，，，，，
，，，的顶点是已知
ABCCB
AABC
)742()543(
)321(
第五节 关于向量的几点说明
3,
向量的坐标运算三、向量的坐标运算
(3) 向量的向量积练一练
单位向量．
轴的和求同时垂直于向量平行．和＝
的值，使向量和试确定
xa
mbn
anm
8,6,3.2
2,6,,3,2
.1
四、小结
1.向量的概念第五节 关于向量的几点说明定义、表示方法、两个要素、特殊向量
2.向量的向量运算加减、数乘、数量积、向量积及一些结论
3.向量的坐标运算,
坐标向量、向量的坐标表示、加减、数乘、
数量积、向量积及一些结论五、练习第五节 关于向量的几点说明
．，表示向量并分别用单位向量的模，，，，，，，分别求向量
．求，的中点，设与分别是、，已知平行四边形等距离的点．，，，，，
，，，面上，求与三个已知点在
baba
ba
CDBCbAFaAECDBC
FEABCD
CB
Ay O z
00
,
}212{}111{.3
.2
)150()224(
)213(.1
五、练习第五节 关于向量的几点说明的面积．
，求已知同时垂直的单位向量．，求与
，，３，，，已知点５
的单位向量．６求平行于向量
O A BOBOA
MMMM
MMM
a
}3,1,0{},3,0,1{.6
)3,1,3()1,,3()211(.
}6,7,{.4
3221
321
