章节题目
第四节 对面积的曲面积分
内容提要
对面积的曲面积分的概念、性质对面积的曲面积分的计算法
重点分析
对面积的曲面积分的计算
难点分析
曲面类型及投影区域的确定
习题布置
 4、5、6（单）
备注
教 学 内 容
一、概念的引入实例 若曲面是光滑的,它的面密度为连续函数,求它的质量.

所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.
二、对面积的曲面积分的定义
1.定义 设曲面是光滑的,函数在上有界,把分成小块（同时也表示第小块曲面的面积）,设点为上任意取定的点,作乘积,并作和,如果当各小块曲面的直径的最大值时,这和式的极限存在,则称此极限为函数在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.
记为 .
即 
 
2.对面积的曲面积分的性质

.
三、计算法按照曲面的不同情况分为以下三种：

则 

则

则
例1 计算,其中为平面被柱面所截得的部分.

解 积分曲面 ：,投影域,
 
 
 
例2 计算,其中  为抛物面 （）.

解 依对称性知：
被积函数关于、坐标面对称有成立，(为第一卦限部分曲面)

原式 
其中,
利用极坐标 ,,

 令
 
例3 计算,其中是圆柱面 ,平面及所围成的空间立体的表面.

解 
其中：,：,
：.投影域：
显然 ,

讨论时,将投影域选在上.

（注意：分为左、右两片）
（左右两片投影相同）



.
例4 计算,其中为内接于球面的八面体表面.
解 被积函数,关于坐标面、原点均对称,积分曲面也具有对称性,故原积分,(其中表示第一卦限部分曲面)
：,即



四、小结
1,对面积的曲面积分的概念;

2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.
（按照曲面的不同情况分为三种）
思考题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.
思考题解答
是曲面元的面积,故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数.