章节题目
第四节、定积分换元法
内容提要
定积分的换元法：
几个特殊积分、定积分等式
重点分析
利用换元公式计算定积分
难点分析
利用换元公式计算定积分时积分上下限的确定
习题布置
：1（双）、2（1）（2）、5、6、8
备注
教 学 内 容
一、换元公式定理：假设（1）在上连续；（2）函数在上是单值的且有连续导数；（3）当在区间上变化时，的值在上变化，且、，则 有.
证明:设是的一个原函数，

   
是的一个原函数,
、


注意：当时，换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意:
1.用把变量换成新变量时，积分限也相应的改变.
2.求出的一个原函数后，不必象计算不定积分那样再要把变换成原变量的函数，而只要把新变量的上、下限分别代入然后相减就行了.
例1 计算
解：令     
   
例2 计算
解： 
 
  

  
例3 计算
原式  
 
例4 计算
    
原式 
 
例5 当在上连续，且有
①为偶函数，则 ；
②为奇函数，则.
证明：
在中令,
①为偶函数，则

②为奇函数，则
例6 计算
原式 （被积函数奇偶性）

 （减去单位圆面积）

例7 若在上连续，证明
（1）;
（2）.
由此计算.
证明,（1）设     
   
（2）设     
  
    

  
  
二、小结定积分的换元法
几个特殊积分、定积分的几个等式
思考题指出求的解法中的错误，并写出正确的解法.
解：令  
   
思考题解答计算中第二步是错误的.
   
正确解法是