章节题目
第四节、平面弧长的积分
内容提要
平面曲线弧长的概念弧微分的概念弧长的计算
重点分析
直角坐标系下，参数方程情形下，极坐标系下弧长的计算公式
难点分析
直角坐标系下，参数方程情形下，极坐标系下弧长元素的确定
习题布置
：1、4、6、8、9
备注
教 学 内 容
一、平面曲线弧长的概念设、是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长的极限存在，则称此极限为曲线弧的弧长.

并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长的极限存在，则称此极限为曲线弧的弧长.
二、直角坐标情形设曲线弧为 ，其中在上有一阶连续导数，取积分变量为，在上任取小区间，以对应小切线段的长代替小弧段的长

小切线段的长 
弧长元素
弧长
例1 计算曲线上相应于从到的一段弧的长度.
  
所求弧长为 

例2 计算曲线的弧长.
解： 
   
  
三、参数方程情形曲线弧为 ，其中在上具有连续导数.
  
弧长
例3 求星形线的全长.
解：星形线的参数方程为 
根据对称性（第一象限部分的弧长4倍）
   
例4 证明正弦线 的弧长等于椭圆 的周长.
解：设正弦线的弧长等于
  
设椭圆的周长为
四、极坐标情形曲线弧为 ，其中在上具有连续导数.
 
 
弧长
例5 求极坐标系下曲线的长,  
解： 


 
例6 求阿基米德螺线 上相应于从到的弧长.

解：
  

五、小结平面曲线弧长的概念弧微分的概念求弧长的公式：直角坐标系下；参数方程情形下；极坐标系下
思考题闭区间上的连续曲线是否一定可求长？
思考题解答不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．