章节题目
第四节 数量积 向量积 混合积
内容提要
向量的数量积向量的向量积向量的混合积
重点分析
数量积的定义及运算法则向量积的定义及运算法则
难点分析
向量的数量积、向量积的运算
习题布置
：1（1）、3、6、7、8、10
备注
教 学 内 容
一、两向量的数量积实例 一物体在常力作用下沿直线从点移动到点，以表示位移，则力所作的功为(其中为与的夹角)
启示 两向量作这样的运算,结果是一个数量.
定义 向量与的数量积为
(其中为与的夹角)


 

结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.数量积也称为“点积”、“内积”.
关于数量积的说明：

证 


证 




数量积符合下列运算规律：
（1）交换律：
（2）分配律：
（3）若为数：
若、为数：
设




数量积的坐标表达式


(两向量夹角余弦的坐标表示式)
由此可知两向量垂直的充要条件为

例1 已知，，求（1）；（2）与的夹角；（3）在上的投影.
解   

  
 
例2 证明向量与向量垂直.
证 




二、两向量的向量积实例 设为一根杠杆的支点，有一力作用于这杠杆上点处．力与的夹角为，力对支点的力矩是一向量,

它的模 
的方向垂直于与所决定的平面,指向符合右手系.
定义 向量与的向量积为 
(其中为与的夹角)
的方向既垂直于，又垂直于，指向符合右手系.向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明：


证 




向量积符合下列运算规律：
（1）
（2）分配律：
（3）若 为数：
设





(向量积的坐标表达式)
向量积还可用三阶行列式表示

由上式可推出

、、不能同时为零，但允许两个为零，
例如，
补充
表示以和为邻边的平行四边形的面积.

例3 求与，都垂直的单位向量.
解  


例4 在顶点为、和的三角形中，求边上的高.

解 
三角形ABC的面积为
S= 
  
 
例5 设向量两两垂直，符合右手规则，且，，，计算.
解
]

依题意知与同向，

  
三、向量的混合积定义 设已知三个向量、、，数量
称为这三个向量的混合积，记为.
设  

  
(混合积的坐标表达式)
关于混合积的说明：
（1）向量混合积的几何意义：
向量的混合积是这样的一个数，它的绝对值表示以向量、、为棱的平行六面体的体积.

   
（3）三向量、、共面
例6 已知，计算.
解 



  
例7 已知空间内不在一平面上的四点、、、,求四面体的体积.
解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量、、为棱的平行六面体的体积的六分之一





式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.
四、小结向量的数量积（结果是一个数量）
向量的向量积（结果是一个向量）
向量的混合积（结果是一个数量）
（注意共线、共面的条件）
思考题已知向量，，证明.
思考题解答