章节题目
第二节 二重积分的计算法（1）
内容提要
利用直角坐标系计算二重积分
重点分析
利用直角坐标计算二重积分
难点分析
二重积分化为二次积分时积分次序的选择及积分限的选择
习题布置
 1（单）、2（单）、4、6（单）、8、10
备注
教 学 内 容
一、利用直角坐标系计算二重积分如果积分区域为：
［X－型］
 
其中函数、在区间 上连续.

应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,
得

如果积分区域为：
［Y－型］
 

X型区域的特点,穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图，则必须分割.
在分割后的三个区域上分别使用积分公式


例1 改变积分 的次序.
解 积分区域如图原式.

例2 改变积分的次序.
解 积分区域如图

原式.
例3 改变积分的次序.
解

  
原式=
例4 求，其中是由抛物线和所围平面闭区域.
解 两曲线的交点
 
 
例5 求，其中D是以为顶点的三角形.
解 无法用初等函数表示
 积分时必须考虑次序

例6 计算积分 .
解 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
原式 

例7 求由下列曲面所围成的立体体积，，，，，.
解 曲面围成的立体如图.
所围立体在面上的投影是

 
所求体积
 
二、小结二重积分在直角坐标下的计算公式
［X－型］
［Y－型］
（在积分中要正确选择积分次序）
思考题设在上连续，并设，
求.
思考题解答
不能直接积出,
改变积分次序.
令,
则原式.