章节题目
第九节 二次曲面
内容提要
椭球面、抛物面、双曲面的方程几个常见曲面的特性
重点分析
讨论二次曲面性状的截痕法
难点分析
二次曲面的特性
习题布置
备注
教 学 内 容
一、基本内容二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为一次曲面．
讨论二次曲面性状的截痕法,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
（一）椭球面



椭球面与三个坐标面的交线：
椭球面与平面 的交线为椭圆

同理与平面  和 的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
旋转椭球面由椭圆 绕 轴旋转而成．
方程可写为
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 的交线为圆.
截面上圆的方程
球面方程可写为
（二）抛物面
（p与q同号）

椭圆抛物面用截痕法讨论：设
（1）用坐标面与曲面相截截得一点，即坐标原点
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面的交线为椭圆.

当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.
与平面不相交.
（2）用坐标面与曲面相截截得抛物线
与平面  的交线为抛物线.
它的轴平行于轴，顶点
（3）用坐标面，与曲面相截均可得抛物线.
同理当时可类似讨论.
椭圆抛物面的图形如下：

特殊地：当  时，方程变为旋转抛物面
（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）
与平面的交线为圆.当变动时，这种圆的中心都在轴上.
（p与q同号）双曲抛物面（马鞍面）

用截痕法讨论：设图形如下：

（三）双曲面
单叶双曲面

（1）用坐标面  与曲面相截截得中心在原点的椭圆.
与平面的交线为椭圆.

当 变动时，这种椭圆的中心都在轴上.
（2）用坐标面 与曲面相截截得中心在原点的双曲线.

实轴与轴相合，虚轴与轴相合.
与平面的交线为双曲线.

双曲线的中心都在轴上.
实轴与 x轴平行,虚轴与z轴平行.
实轴与z轴平行,虚轴与x轴平行.
截痕为一对相交于点的直线.
 
截痕为一对相交于点 的直线.
 
（3）用坐标面，与曲面相截均可得双曲线.
平面的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形

双叶双曲面
 
二、小结椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.（熟知这几个常见曲面的特性）
思考题方程表示怎样的曲线？
思考题解答