章节题目
第六节 空间曲线及其方程
内容提要
空间曲线的一般方程、参数方程．
 
空间曲线在坐标面上的投影．
  
重点分析
空间曲线方程的建立给出方程确定曲线
难点分析
空间曲线的投影
习题布置
：1（3）、3、7、8
备注
教 学 内 容
一、空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线.

 空间曲线的一般方程特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.
例1 方程组 表示怎样的曲线？

解 表示圆柱面，
表示平面，
交线为椭圆.
例2 方程组  表示怎样的曲线？

解上半球面,
圆柱面,
交线如图.
二、空间曲线的参数方程
空间曲线的参数方程
当给定时，就得到曲线上的一个点，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.
例3 如果空间一点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，同时又以线速度沿平行于轴的正方向上升（其中、都是常数），那么点构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．

取时间t为参数，动点从A点出发，经过t时间，运动到M点
在面的投影



(螺旋线的参数方程)

螺旋线的参数方程还可以写为


螺旋线的重要性质：
上升的高度与转过的角度成正比．
即
上升的高度(螺距)
三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的一般方程：
消去变量z后得：
曲线关于  的投影柱面投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
如图:投影曲线的研究过程.

空间曲线在  面上的投影曲线
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
面上的投影曲线,面上的投影曲线,
 
例4 求曲线 在坐标面上的投影.

解（1）消去变量z后得
在  面上的投影为
（2）因为曲线在平面 上，所以在面上的投影为线段.

（3）同理在面上的投影也为线段.

例5 求抛物面与平面 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.

解 截线方程为
（1）消去得投影
（2）消去得投影
（3）消去得投影
补充,空间立体或曲面在坐标面上的投影.

例6

解 半球面和锥面的交线为


一个圆,

四、小结空间曲线的一般方程、参数方程．
 
空间曲线在坐标面上的投影．
  
思考题求椭圆抛物面与抛物柱面的交线关于面的投影柱面和在面上的投影曲线方程.
思考题解答

交线方程为
消去得投影柱面
在 面上的投影为