章节题目
第四节 三重积分的概念和计算方法
内容提要
三重积分的定义、计算
重点分析
三重积分的计算
难点分析
化三重积分为三次积分时积分限的确定
习题布置
 2、5、7
备注
教 学 内 容
一、三重积分的定义设是空间有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成个小闭区域，,，其中表示第个小闭区域，也表示它的体积,在每个上任取一点作乘积，，并作和,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数在闭区域上的三重积分，记为,
即 .



三重积记为 .

二、三重积分的计算直角坐标系中将三重积分化为三次积分．
如图，
g







得
 
注意

例1 化三重积分为三次积分，其中积分区域为由曲面 及所围成的闭区域.
解 由,得交线投影区域 
故 ,,


例2、化三重积分 为三次积分，其中 积分区域为由曲面,,,所围成的空间闭区域.如图，

解

.
例3 将按 的次序积分.
解


：

：
 .
截面法的一般步骤：
把积分区域向某轴（例如 轴）投影，得投影区间；
对用过轴且平行平面的平面去截，得截面;
计算二重积分 其结果为的函数；
(4) 最后计算单积分即得三重积分值.

例4 计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.
解（一） 


原式.

解（二）

.
例5 计算三重积分，其中 是由椭球面所成的空间闭区域.
解

  
原式


原式
例6 计算三重积分，其中由曲面，，所围成.
解 如图,

将投影到平面得
,
先对积分，再求上二重积分,

 
三、小结三重积分的定义和计算（计算时将三重积分化为三次积分）
在直角坐标系下的体积元素
思考题选择题:
为六个平面，，，，，围成的区域，在上连续，则累次积分____ .




思考题解答选（D）