章节题目
第三节 二重积分的应用
内容提要
曲面的面积平面薄片的重心、转动惯量、对质点的引力
重点分析
曲面面积及重心坐标
难点分析
利用元素法解决重积分在几何和物理上的应用问题
习题布置
1、3、4（3）、8
备注
教 学 内 容
一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.
若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 d时，相应地部分量可近似地表示为f(x,y)d的形式，其中 (x,y) 在d内．这个 f(x,y)d称为所求量U的元素，记为 dU，所求量的积分表达式为
二、曲面的面积实例 一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道．通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动．若地球半径取为，问卫星距地面的高度应为多少？
通讯卫星的覆盖面积是多大？
１．设曲面的方程为：
如图
曲面S的面积元素
曲面面积公式为：
同理可得
２．设曲面的方程为：
曲面面积公式为：
３．设曲面的方程为：
曲面面积公式为：
例1 求球面，含在圆柱面内部的那部分面积.
解 由对称性知,：
曲面方程 ,
于是
面积
例2 求由曲面和所围立体的表面积.
解 解方程组
得两曲面的交线为圆周
在 xy 平面上的投影域为
三、平面薄片的重心(x,y)
设平面上有个质点，它们分别位于，，处，质量分别为．则该质点系的重心的坐标为
,．
设有一平面薄片，占有面上的闭区域，在点处的面密度为，假定在上连续，平面薄片的重心由元素法
当薄片是均匀的，重心称为形心,
例3 设平面薄板由，与轴围成，它的面密度，求形心坐标．
解 先求区域D的面积A，
,
由于区域关于直线对称,所以形心在上，即 ,
所求形心坐标为 .
四、平面薄片的转动惯量
设平面上有个质点，它们分别位于，，处，质量分别为．则该质点系对于轴和轴的转动惯量依次为
,.
设有一平面薄片，占有面上的闭区域，在点处的面密度为，假定在上连续，平面薄片对于轴和轴的转动惯量为薄片对于 x 轴的转动惯量
薄片对于 y 轴的转动惯量
例4 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别 为、，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.
解 设三角形的两直角边分别在轴和轴上，如图
对轴的转动惯量为
同理：对轴的转动惯量为
例5 已知均匀矩形板（面密度为常数）的长和宽分别为和，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.
解 先求形心
建立坐标系如图
因为矩形板均匀,由对称性知形心坐标,.
将坐标系平移如图
对轴的转动惯量
对轴的转动惯量
五、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片，占有面上的闭区域，在点处的面密度为，假定在上连续，计算该平面薄片对位于 轴上的点处的单位质点的引力．
薄片对z 轴上单位质点的引力
f为引力常数例6、求面密度为常量、半径为的均匀圆形薄片：，对位于 轴上的点处的单位质点的引力．
解 由积分区域的对称性知
所求引力为
六、小结几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力
（注意审题，熟悉相关物理知识）
思考题
思考题解答薄片关于x 轴对称
第三节 二重积分的应用
内容提要
曲面的面积平面薄片的重心、转动惯量、对质点的引力
重点分析
曲面面积及重心坐标
难点分析
利用元素法解决重积分在几何和物理上的应用问题
习题布置
1、3、4（3）、8
备注
教 学 内 容
一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.
若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 d时，相应地部分量可近似地表示为f(x,y)d的形式，其中 (x,y) 在d内．这个 f(x,y)d称为所求量U的元素，记为 dU，所求量的积分表达式为
二、曲面的面积实例 一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道．通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动．若地球半径取为，问卫星距地面的高度应为多少？
通讯卫星的覆盖面积是多大？
１．设曲面的方程为：
如图
曲面S的面积元素
曲面面积公式为：
同理可得
２．设曲面的方程为：
曲面面积公式为：
３．设曲面的方程为：
曲面面积公式为：
例1 求球面，含在圆柱面内部的那部分面积.
解 由对称性知,：
曲面方程 ,
于是
面积
例2 求由曲面和所围立体的表面积.
解 解方程组
得两曲面的交线为圆周
在 xy 平面上的投影域为
三、平面薄片的重心(x,y)
设平面上有个质点，它们分别位于，，处，质量分别为．则该质点系的重心的坐标为
,．
设有一平面薄片，占有面上的闭区域，在点处的面密度为，假定在上连续，平面薄片的重心由元素法
当薄片是均匀的，重心称为形心,
例3 设平面薄板由，与轴围成，它的面密度，求形心坐标．
解 先求区域D的面积A，
,
由于区域关于直线对称,所以形心在上，即 ,
所求形心坐标为 .
四、平面薄片的转动惯量
设平面上有个质点，它们分别位于，，处，质量分别为．则该质点系对于轴和轴的转动惯量依次为
,.
设有一平面薄片，占有面上的闭区域，在点处的面密度为，假定在上连续，平面薄片对于轴和轴的转动惯量为薄片对于 x 轴的转动惯量
薄片对于 y 轴的转动惯量
例4 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别 为、，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.
解 设三角形的两直角边分别在轴和轴上，如图
对轴的转动惯量为
同理：对轴的转动惯量为
例5 已知均匀矩形板（面密度为常数）的长和宽分别为和，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.
解 先求形心
建立坐标系如图
因为矩形板均匀,由对称性知形心坐标,.
将坐标系平移如图
对轴的转动惯量
对轴的转动惯量
五、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片，占有面上的闭区域，在点处的面密度为，假定在上连续，计算该平面薄片对位于 轴上的点处的单位质点的引力．
薄片对z 轴上单位质点的引力
f为引力常数例6、求面密度为常量、半径为的均匀圆形薄片：，对位于 轴上的点处的单位质点的引力．
解 由积分区域的对称性知
所求引力为
六、小结几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力
（注意审题，熟悉相关物理知识）
思考题
思考题解答薄片关于x 轴对称
