章节题目
第一节 二重积分的概念与性质
内容提要
二重积分的定义二重积分的几何意义、性质
重点分析
二重积分的概念与性质
难点分析
对二重积分概念的理解利用二重积分的性质解决有关问题
习题布置
 4（单）、5（单）
备注
教 学 内 容
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积柱体体积=底面积×高特点：平顶.
柱体体积=？
特点：曲顶.
曲顶柱体


求曲顶柱体的体积采用,分割、求和、取极限”的方法．

步骤如下：
先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，
用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，
曲顶柱体的体积

２．求平面薄片的质量设有一平面薄片，占有面上的闭区域，在点处的面密度为，假定在上连续，平面薄片的质量为多少？
将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量


二、二重积分的概念定义 设是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成个小闭区域，，，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点，作乘积 ,并作和 ，
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数在闭区域D上的二重积分，
记为，即.
对二重积分定义的说明：
(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.
(2)当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.
二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，

则面积元素为
故二重积分可写为
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当 k为常数时，

性质２

性质３ 对区域具有可加性

性质４ 若为D的面积，
性质５ 若在D上
则有 
特殊地 
性质６ 设、分别是在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则
（二重积分估值不等式）
性质７ 设函数在闭区域上连续， 为
的面积，则在D上至少存在一点使得
（二重积分中值定理）
例1 不作计算，估计 的值，其中是椭圆闭区域, .
解 区域D的面积 
在上 ,

由性质6知 
  
例2 估计的值，其中D,.
解 区域面积,
在上的最大值
的最小值
故 
例3 判断的符号.
解 当时,
故 ;
又当 时,
于是.
例4 比较积分与的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).
解 三角形斜边方程
在D内有 ,
故 ,
于是,
因此 .

四、小结二重积分的定义（和式的极限）
二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）
二重积分的性质
思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.
思考题解答定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．