章节题目
第三节 向量的坐标
内容提要
向量在轴上的投影与投影定理向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量的模与方向余弦的坐标表示式
重点分析
向量在坐标轴上的分向量与向量坐标的区别与联系
难点分析
向量的模与方向余弦的坐标表示式
习题布置
：1、2、4、7、8
备注
教 学 内 容
一、向量在轴上的投影与投影定理










例1 在轴上取定一点作为坐标原点．设,是轴上坐标依次为,的两个点，是与轴同方向的单位向量，证明.

证
 于是
  
空间两向量的夹角的概念：

 
向量与向量的夹角
  
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.
空间一点在轴上的投影

过点作轴的垂直平面，交点即为点在轴上的投影.
空间一向量在轴上的投影

已知向量的起点和终点在轴上的投影分别为那么轴上的有向线段的值，称为向量在轴上的投影.
向量在轴上的投影记为 
关于向量的投影定理（1）
向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：
 

   
定理1的说明：
 投影为正；
 投影为负；
 投影为零；
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和.
（可推广到有限多个）


二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标




 

如果是与轴正向一致的单位向量，
由例1知
 
设是以为起点、
为终点的向量，过各作垂直于三个坐标轴的平面,
这六个平面围成一个以线段为对角线的长方体.

以分别表示沿轴正向的单位向量.

上式分别表示向量在x 轴上的投影向量在y轴上的投影向量在z 轴上的投影
  

按基本单位向量的坐标分解式：

在三个坐标轴上的分向量：
向量的坐标：
向量的坐标表达式：

特殊地
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
 






例2 设和为两已知点，而在直线上的点分有向线段为两部分、，使它们的值的比等于某数，即，求分点的坐标.

解 设为直线上的点，


由题意知：




为有向线段的定比分点,为中点时，

三、向量的模与方向余弦的坐标表示式非零向量  的方向角：、、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.


由图分析可知
  
(向量的方向余弦)
方向余弦通常用来表示向量的方向.

向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式当  时，



方向余弦的特征

特殊地：单位向量的方向余弦为


例3 求平行于向量的单位向量的分解式.
解 所求向量有两个，一个与  同向，一个反向
 
   
或  
例4 设有向量，已知，它与轴和轴的夹角分别为和，如果的坐标为，求的坐标.
解 设向量的方向角为、、



设的坐标为,
   
   
   
的坐标为
例5 设，，，求向量在轴上的投影及在轴上的分向量.
解 
 

在轴上的投影为,在轴上的分向量为.
四、小结向量在轴上的投影与投影定理.
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.
（注意分向量与向量的坐标的区别）
向量的模与方向余弦的坐标表示式.
思考题设，，求以向量为边的平行四边形的对角线的长度.
思考题解答

对角线的长为
 
 
平行四边形的对角线的长度各为.