章节题目
第三节、体积
内容提要
旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积
重点分析
旋转体的体积的求法（绕轴旋转一周; 绕轴旋转一周; 绕非轴直线旋转一周）
平行截面面积为已知的立体的体积的求法
难点分析
体积元素的确定积分变量及上下限的确定
习题布置
：2、3、5（1）（4）、8、9
备注
教 学 内 容
一、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．

一般地，如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为多少？

取积分变量为,，在上任取小区间，取以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，
旋转体的体积为
例1 连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形．将它绕轴旋转构成一个底半径为、高为的圆锥体，计算圆锥体的体积．
解：直线方程为，取积分变量为，

在上任取小区间，以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为

圆锥体的体积  
例2 求星形线绕轴旋转构成旋转体的体积.

  
旋转体的体积
 
类似地，如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为
 

例3 求摆线，的一拱与所围成的图形分别绕轴、轴旋转构成旋转体的体积.
解：绕轴旋转的旋转体体积

 
 
绕轴旋转的旋转体体积可看作平面图与分别绕轴旋转构成旋转体的体积之差.

 
 
 
补充：如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为
利用这个公式，可知上例中
 
 
例4 求由曲线及所围成的图形绕直线旋转构成旋转体的体积.

取积分变量为,，体积元素为


二、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.
表示过点且垂直于轴的截面面积，

为的已知连续函数，
立体体积
例5 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.
取坐标系如图

底圆方程为
垂直于轴的截面为直角三角形，截面面积
立体体积 
例6 求以半径为的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为的正劈锥体的体积.
取坐标系如图

底圆方程为垂直于轴的截面为等腰三角形截面面积
立体体积 
三、小结旋转体的体积绕轴旋转一周; 绕轴旋转一周; 绕非轴直线旋转一周平行截面面积为已知的立体的体积
思考题求曲线，，所围成的图形绕轴旋转构成旋转体的体积.
思考题解答

,交点
立体体积