章节题目
第一节、定积分的概念
内容提要
定积分的定义定积分的存在定理定积分的几何意义
重点分析
定积分的实质：特殊和式的极限利用定义求定积分
难点分析
利用定义求定积分
习题布置
：2（1）、3（2）（3）
备注
教 学 内 容
一、问题的提出实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线、轴与两条直线、所围成.
用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
曲边梯形面积的近似值为
曲边梯形面积为
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的一个连续函数，且，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
（1）分割
，
（2）求和
（3）取极限
路程的精确值
二、定积分的定义定义 设函数在上有界，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为，，在各小区间上任取一点（），作乘积 并作和，
记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限，我们称这个极限为函数在区间上的定积分，
记为
注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关.
（2）定义中区间的分法和的取法是任意的.
（3）当函数在区间上的定积分存在时，称在区间上可积.
三、存在定理定理1 当函数在区间上连续时，称在区间上可积.
定理2 设函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积.
四、定积分的几何意义
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积的负值
几何意义：
例1 利用定义计算定积分
解 将等分，分点为，()，小区间的长度，()取，()
例2 利用定义计算定积分
解：在中插入分点 ,典型小区间为，（）
小区间的长度,取，（）
取即,
例3 设函数在区间上连续，且取正值,
证明 利用对数的性质得
（极限运算与对数运算换序得）
指数上可理解为：在区间上的一个积分和．分点为，（）
因为在区间上连续，且，所以在上有意义且可积,
故
五、小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
２．定积分的思想和方法：
思考题将和式极限：表示成定积分.
思考题解答原式
第一节、定积分的概念
内容提要
定积分的定义定积分的存在定理定积分的几何意义
重点分析
定积分的实质：特殊和式的极限利用定义求定积分
难点分析
利用定义求定积分
习题布置
：2（1）、3（2）（3）
备注
教 学 内 容
一、问题的提出实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线、轴与两条直线、所围成.
用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
曲边梯形面积的近似值为
曲边梯形面积为
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的一个连续函数，且，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
（1）分割
，
（2）求和
（3）取极限
路程的精确值
二、定积分的定义定义 设函数在上有界，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为，，在各小区间上任取一点（），作乘积 并作和，
记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限，我们称这个极限为函数在区间上的定积分，
记为
注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关.
（2）定义中区间的分法和的取法是任意的.
（3）当函数在区间上的定积分存在时，称在区间上可积.
三、存在定理定理1 当函数在区间上连续时，称在区间上可积.
定理2 设函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积.
四、定积分的几何意义
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积的负值
几何意义：
例1 利用定义计算定积分
解 将等分，分点为，()，小区间的长度，()取，()
例2 利用定义计算定积分
解：在中插入分点 ,典型小区间为，（）
小区间的长度,取，（）
取即,
例3 设函数在区间上连续，且取正值,
证明 利用对数的性质得
（极限运算与对数运算换序得）
指数上可理解为：在区间上的一个积分和．分点为，（）
因为在区间上连续，且，所以在上有意义且可积,
故
五、小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
２．定积分的思想和方法：
思考题将和式极限：表示成定积分.
思考题解答原式
