章节题目
第九节 曲率
内容提要
弧微分公式曲率定义与计算曲率圆与曲率半径
重点分析
曲率的定义及其计算
难点分析
曲率的定义
习题布置
：2、3
备注
教 学 内 容
一、弧微分



规定：

单调增函数如图，






（弧微分公式）
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义：曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。

设曲线C是光滑的，


定义：曲线C在点M处的曲率

注意:
(1) 直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.
2.曲率的计算公式



 

例1
解：
显然,

例2



证：如图
在缓冲段上,

实际要求




三、曲率圆与曲率半径定义：



注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数,

2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例3

解：如图,受力分析

视飞行员在点o作匀速圆周运动,（为O点处抛物线轨道的曲率半径）

得曲率为曲率半径为


即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
四、小结运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支——微分几何学.
基本概念,弧微分,曲率,曲率圆.
曲线弯曲程度的描述——曲率;
曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
思考题椭圆上哪些点处曲率最大？
思考题解答

要使最大，必有最小，此时最大