章节题目
第五节 函数的极值及其求法
内容提要
函数极值的定义函数极值的求法
重点分析
极值的概念求函数极值的步骤
难点分析
函数极值点的确定
习题布置
：1（3）（9）（12）（14）、2、3
备注
教 学 内 容
一、函数极值的定义

 
定义：

函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
二、函数极值的求法定理1(必要条件)：设在点处具有导数,且在处取得极值,那末必定
定义：
注意,

例如,  
定理2(第一充分条件)
(1)如果有而,有，则在处取得极大值.
(2)如果有而有，则在处取得极小值.
(3)如果当及时,符号相同,则在处无极值.

(是极值点情形)

(不是极值点情形)
求极值的步骤:




例1
解：
列表讨论


图形如下

定理3(第二充分条件) 设在处具有二阶导数,且,,那末
(1)当时,函数在处取得极大值;
(2)当时,函数在处取得极小值.
证,  

 =0
 =0
所以,函数在处取得极大值例2 
解, 
 
  
=60
   
图形如下

注意,
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
例3,
解,
 
 
  

三、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为临界点.
函数的极值必在临界点取得.
判别法：1、第一充分条件;2、第二充分条件; (注意使用条件)
思考题下命题正确吗？
如果为的极小值点，那么必存在的某邻域，在此邻域内，在的左侧下降，而在的右侧上升.
思考题解答不正确．
例
当时，  
于是为的极小值点当时，
当时， 在–1和1之间振荡因而在的两侧都不单调.
故命题不成立．