章节题目
第四节 函数单调性的判别法
内容提要
单调性的判别法单调区间求法利用函数的单调性确定方程实根的个数及证明不等式
重点分析
函数单调性的判别法利用函数单调性证明不等式、确定方程根的个数
难点分析
利用函数单调性证明不等式、确定方程根的个数
习题布置
：3（1）（5）（7）、4（1）（3）
备注
教 学 内 容
一、单调性的判别法


证：应用拉氏定理,得





例1

解：


注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
二、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．

例2

解：





单调区间为
例3

解：



单调区间为
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如,
例4
证：



三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.
定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.
应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.
思考题若，是否能断定在原点的充分小的邻域内单调递增？
思考题解答不能断定,例如
  
但
当时，
当时
注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．