章节题目
第一节 中值定理
内容提要
罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理
重点分析
三个中值定理之间的关系、及其几何解释三个中值定理的应用
难点分析
应用中值定理证明时辅助函数的构造
习题布置
：1、3、5、7、8、13
备注
教 学 内 容
一、罗尔(Rolle)定理罗尔（Rolle）定理 如果函数在闭区间 上连续,在开区间内可导,且在区间端点的函数值相等，即,那末在内至少有一点,使得函数在该点的导数等于零，
即
例如, 
 

 
几何解释:


物理解释,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.
证： 
 
  
 

 
 
 
 



 
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.
例如,

又例如, 
例1 
证： 
由介值定理即为方程的小于1的正实根.
 

 
 矛盾,

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f(x)在闭区间上连续,在开区间内可导,那末在内至少有一点，使等式 成立.


几何解释:


证：分析,
弦AB方程为

作辅助函数



注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.


（）
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
拉格朗日中值定理又称有限增量定理,（微分中值定理）
推论：
例2
证：
=0



例3
证：

由上式得
  

三、柯西(Cauchy)中值定理柯西（Cauchy）中值定理 如果函数及在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零，那末在内至少有一点,使等式成立.
几何解释:


证：作辅助函数
 



 
 
例4

证：分析,结论可变形为
  


 
四、小结罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；

注意定理成立的条件；
注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.
思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.
思考题解答
不满足在闭区间上连续的条件；
且不满足在开区间内可微的条件；
以上两个都可说明问题.