章节题目
第一节 导数的概念
内容提要
导数的实质,增量比的极限;

导数的几何意义,切线的斜率;
函数可导一定连续，但连续不一定可导;
求导数最基本的方法,由定义求导数.
判断可导性
重点分析
导数的概念、几何意义函数可导与连续的关系利用导数的定义判断函数的可导性
难点分析
利用导数的定义判断分段函数的可导性
习题布置
：4、5（单）、7、9、12（2）、13、18
备注
教 学 内 容
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题


取极限得
2.切线问题割线的极限位置——切线位置如图：如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线,

极限位置即：



二、导数的定义定义






，
即
其它形式
关于导数的说明：
★ 
★
★

注意,

2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.
★单侧导数
1.左导数,
2.右导数,
★函数在点处可导左导数和右导数都存在且相等.
★如果在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导.
★
 

 


则在点可导，
三、由定义求导数步骤:



例1
解：

例2
解：


例3
解：


更一般地
例如,

例4
解：
 
例5
解：

 
例6
解：
=1


四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义

切线方程为：
法线方程为：
例7

解：由导数的几何意义,得切线斜率为

所求切线方程为
法线方程为
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.

交流电路:电量对时间的导数为电流强度.

非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.
五、可导与连续的关系定理 凡可导函数都是连续函数.
证：
，
，
=0

注意,该定理的逆定理不成立.
★连续函数不存在导数举例

例如,

例如,

例如,



例8
解：




六、小结
1,导数的实质,增量比的极限;
2,
3,导数的几何意义,切线的斜率;
4,函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5,求导数最基本的方法,由定义求导数.
6,判断可导性不连续,一定不可导,连续，直接用定义;或看左右导数是否存在且相等.
思考题函数在某点处的导数与导函数有什么区别与联思考题解答由导数的定义知，是一个具体的数值，是由于在某区间上每一点都可导而定义在上的一个新函数，即,有唯一值与之对应，所以两者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两者的联系是：在某点处的导数即是导函数在处的函数值．