章节题目
第五节 无穷大与无穷小
内容提要
无穷小与无穷大的概念无穷大与无穷小的关系
重点分析
无穷小的运算性质
难点分析
无穷小的概念
习题布置
：2（1）、3、4、7
备注
教 学 内 容
一、无穷小
1.定义,极限为零的变量称为无穷小.
定义1：如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数(或正数),使得对于适合不等式(或)的一切,对应的函数值都满足不等式 ,那末 称函数当(或)时为无穷小,记作 
例如, 
 
 
注意
1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
2.无穷小与函数极限的关系:
定理1 其中是当时的无穷小.
证：必要性
  

充分性
 
  
意义
1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);

3.无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
证：

 
 
  

注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
 
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证：



 
  

推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
都是无穷小
二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义2 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数(或正数),使得对于适合不等式(或)的一切,所对应的函数值都满足不等式 ,则称函数当(或)时为无穷小,记作 
特殊情形：正无穷大，负无穷大．

注意:
1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;

3,无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.



 无界，

  不是无穷大．


证,  
  


三、无穷小与无穷大的关系定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证,




 
 

意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
四、小结无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容,两个定义;四个定理;三个推论.
2、几点注意:
(1) 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.
（3） 无界变量未必是无穷大.
思考题若，且，问：能否保证有的结论？试举例说明.
思考题解答不能保证,例