章节题目
第五节 全微分方程
内容提要
全微分方程及其解法积分因子法
重点分析
全微分方程的判定及其解法用凑微分法求解微分方程
难点分析
积分因子的构造
习题布置
 1（单）、2（单）、4
备注
教 学 内 容
一、全微分方程及其求法
1.定义,若有全微分形式
则全微分方程或恰当方程例如 

所以是全微分方程.

2.解法:全微分方程
(应用曲线积分与路径无关,
通解为

(用直接凑全微分的方法.
例1
解 是全微分方程,

原方程的通解为
例2
解 是全微分方程,
将左端重新组合

原方程的通解为
二、积分因子法
定义,连续可微函数，使方程

成为全微分方程.则称为方程的积分因子.
问题,如何求方程的积分因子?
1.公式法,

求解不容易特殊地:






2.观察法,凭观察凑微分得到
常见的全微分表达式

可选用的积分因子有


解 
则原方程为

 可积组合法

原方程的通解为
 (公式法)
例4 求微分方程
解 

将方程左端重新组合,有
原方程的通解为 
例5 求微分方程
解 将方程左端重新组合,有


可积组合法

原方程的通解为
例6
解1 整理得
A 常数变易法,

B 公式法,

解2整理得

A 用曲线积分法:

B 凑微分法:



C 不定积分法:




原方程的通解为
三、一阶微分方程小结

思考题方程是否为全微分方程？
思考题解答


原方程是全微分方程.