章节题目
第四节 一阶线性微分方程
内容提要
一阶线性微分方程的标准形式及其解法伯努利(Bernoulli)方程的标准形式及其解法
重点分析
一阶线性微分方程的解法及解的结构
难点分析
常数变易法用变量代换法求解微分方程
习题布置
 1（单）、3、6、7（单）、9（单）
备注
教 学 内 容
一、线性方程一阶线性微分方程的标准形式:

上方程称为齐次的.
上方程称为非齐次的.
例如
线性的;
非线性的.
一阶线性微分方程的解法
1,线性齐次方程(使用分离变量法)


齐次方程的通解为
2,线性非齐次方程
讨论
两边积分

非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比,
常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,
实质,未知函数的变量代换.

作变换


积分得 
一阶线性非齐次微分方程的通解为:


对应齐次方程通解
非齐次方程特解例1
解 
 
 
例2 如图所示，平行与轴的动直线被曲线与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.
解 
两边求导得
解此微分方程



所求曲线为 
二、伯努利方程伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
方程为线性微分方程.
 方程为非线性微分方程.
解法,需经过变量代换化为线性微分方程.


代入上式
求出通解后，将代入即得

例 3 
解 


例4 用适当的变量代换解下列微分方程:

解 


所求通解为 

解 

分离变量法得 

所求通解为 

解 
代入原式 
分离变量法得 
所求通解为

另解 
三、小结
1.齐次方程
2.线性非齐次方程
3.伯努利方程
思考题求微分方程 的通解.
思考题解答