章节题目
第七节 傅里叶（Fourier）级数
内容提要
三角级数 三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数
重点分析
狄利克雷收敛定理傅里叶系数的计算公式
难点分析
对狄利克雷收敛定理的理解
习题布置
 1（单）、3
备注
教 学 内 容
一、问题的提出非正弦周期函数,矩形波

不同频率正弦波逐个叠加











 
二、三角级数 三角函数系的正交性
1.三角级数
 谐波分析

   
三角级数
2.三角函数系的正交性三角函数系：

 


 
三、函数展开成傅里叶级数问题（1）若能展开,是什么?
（2）展开的条件是什么?
1.傅里叶系数 






 
 
 

 
 
傅里叶系数


傅里叶级数

问题:

2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设是以为周期的周期函数.如果它满足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则的傅里叶级数收敛,并且
（1） 当是的连续点时,级数收敛于;
（2）当是的间断点时,收敛于;
(3) 当为端点时,收敛于.
注意,函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.
例1 以为周期的矩形脉冲的波形将其展开为傅立叶级数.

解 所给函数满足狄利克雷充分条件.

  






所求函数的傅氏展开式为
 
注意,对于非周期函数,如果函数只在区间 上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数.
作法,
]
例2 将函数 展开为傅立叶级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于

 
 
 


所求函数的傅氏展开式为
 
利用傅氏展开式求级数的和

 




 
   
四、小结
1.基本概念；
2.傅里叶系数；
3.狄利克雷充分条件；
4.非周期函数的傅氏展开式；
5,傅氏级数的意义——整体逼近
思考题若函数，问：与的傅里叶系数、与、 之间有何关系？
思考题解答