章节题目
第五节 函数的幂级数展开式的应用
内容提要
近似计算求数项级数的和欧拉公式
重点分析
近似计算
难点分析
求数项级数的和
习题布置
 1（单）、3
备注
教 学 内 容
一、近似计算



两类问题:
1.给定项数,求近似值并估计精度;
2.给出精度,确定项数.
关键,通过估计余项,确定精度或项数.
常用方法:
1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;
2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.
例1 
解
 
余和: 
 
 
 
 
例2 
解  
   
  其误差不超过.
二、计算定积分

解法

例3 
解 
收敛的交错级数第四项 
取前三项作为积分的近似值,得 
三、求数项级数的和
1.利用级数和的定义求和:
(1)直接法;
(2)拆项法;
(3)递推法.
例4 
解
 
 


 

2.阿贝尔法(构造幂级数法):
 
 (逐项积分、逐项求导)
例4 
解  
  
 


例5 
解  
 
 
   
四、欧拉公式复数项级数:

若,,则称级数收敛,且其和为 .
复数项级数绝对收敛的概念,若收敛,
则,绝对收敛,称复数项级数绝对收敛.
三个基本展开式
 
 





 
 欧拉公式

揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系.
五、小结
１、近似计算,求不可积类函数的定积分，求数项级数的和，欧拉公式的证明；
２、微分方程的幂级数的解法．(第十二章介绍)
思考题利用幂级数展开式,求极限
思考题解答
 
 
将上两式代入
原式=