章节题目
第三节、微积分基本公式
内容提要
积分上限函数及其导数积分上限函数的性质牛顿—莱布尼茨公式
重点分析
利用微积分基本公式求定积分
难点分析
和积分上限函数有关的计算
习题布置
：2、3、4、5（1）（3）、6（单）、9、10、11
备注
教 学 内 容
一、问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的一个连续函数，且，求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为，另一方面这段路程可表示为
 
二、积分上限函数及其导数设函数在区间上连续，并且设为上的一点，考察定积分
 
如果上限在区间上任意变动，则对于每一个取定的值，定积分有一个对应值，所以它在上定义了一个函数，记积分上限函数积分上限函数的性质定理１ 如果在上连续，则积分上限的函数在上具有导数，且它的导数是 
证明：
  

由积分中值定理得 
 
 
补充如果连续，、可导，则的导数为
 
证   

例1 求
分析：这是0/0型不定式，应用洛必达法则.
解：  
  
例2 设在内连续，且.证明函数在内为单调增加函数.
证明:   


 
 

故在内为单调增加函数.
例3 设在上连续，且.证明 在上只有一个解.
证明：令  
在上为单调增加函数,

所以即原方程在上只有一个解.
定理2（原函数存在定理）
如果在上连续，则积分上限的函数就是在上的一个原函数.
定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.
三、牛顿—莱布尼茨公式定理 3（微积分基本公式）
如果是连续函数在区间上的一个原函数，则。
证 已知是的一个原函数，
又 也是的一个原函数,
 
令 
 
 
令 
  牛顿—莱布尼茨公式微积分基本公式表明：一个连续函数在区间上的定积分等于它的任意一个原函数在区间上的增量.求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意：当时，仍成立.
例4 求 
原式 
设,求 

解：,在上规定当时，,
 
例6 求

由图形可知 
 
例7 求当时，的一个原函数是,
  
例8 计算曲线在上与轴所围成的平面图形的面积.

解：面积  
四、小结
1.积分上限函数
2.积分上限函数的导数
3.微积分基本公式
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．
思考题设在上连续，则与是的函数还是与的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？
思考题解答
与都是的函数，，