章节题目
第二节 换元积分法
内容提要
第一类换元法：
第二类换元法：
重点分析
利用第一类换元法求不定积分时如何凑微分利用三角代换、倒代换、根式代换求不定积分
难点分析
凑微分法求不定积分
习题布置
：2（双）
备注
教 学 内 容
一、第一类换元法问题：
解决方法：利用复合函数，设置中间变量.
过程：令
在一般情况下：
设则
如果（可微）
由此可得换元法定理定理1：设具有原函数，可导，则有换元公式
第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将化为
观察重点不同，所得结论不同.
例1 求
解（一）
解（二）
解（三）
例2 求
解：
一般地
例3 求
解：
例4 求
解：
例5 求
解：
例6 求
解：
例7 求
解：
例8 求
解：
例9 求
解：原式
例10 求
解：
例11 求
解：
说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.
例12 求
解：
例13 求
解（一）
（使用了三角函数恒等变形）
解（二）
类似地可推出
例14 设求.
解：令
例15 求
解：
二、第二类换元法问题：
解决方法：改变中间变量的设置方法.
过程：令
（应用“凑微分”即可求出结果）
定理2设是单调的、可导的函数，并且，又设具有原函数，则有换元公式其中是的反函数.
证：设为的原函数,
令
则
说明为的原函数,
第二类积分换元公式例16 求
解：令
例17 求
解：令,，
例18 求
解：令，，
说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是化掉根式.
一般规律如下：当被积函数中含有
，可令
，可令
，可令
说明(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.
也可以化掉根式例中,令，
说明(3) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.
例19 求 （三角代换很繁琐）
解：令
例20 求
解：令
说明(4) 当分母的阶较高时,可采用倒代换
例21 求
解：令
例22 求 （分母的阶较高）
解：令
说明(5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）
例23 求
解：令
基本积分表
三、小结两类积分换元法：
（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)
思考题求积分
思考题解答
第二节 换元积分法
内容提要
第一类换元法：
第二类换元法：
重点分析
利用第一类换元法求不定积分时如何凑微分利用三角代换、倒代换、根式代换求不定积分
难点分析
凑微分法求不定积分
习题布置
：2（双）
备注
教 学 内 容
一、第一类换元法问题：
解决方法：利用复合函数，设置中间变量.
过程：令
在一般情况下：
设则
如果（可微）
由此可得换元法定理定理1：设具有原函数，可导，则有换元公式
第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将化为
观察重点不同，所得结论不同.
例1 求
解（一）
解（二）
解（三）
例2 求
解：
一般地
例3 求
解：
例4 求
解：
例5 求
解：
例6 求
解：
例7 求
解：
例8 求
解：
例9 求
解：原式
例10 求
解：
例11 求
解：
说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.
例12 求
解：
例13 求
解（一）
（使用了三角函数恒等变形）
解（二）
类似地可推出
例14 设求.
解：令
例15 求
解：
二、第二类换元法问题：
解决方法：改变中间变量的设置方法.
过程：令
（应用“凑微分”即可求出结果）
定理2设是单调的、可导的函数，并且，又设具有原函数，则有换元公式其中是的反函数.
证：设为的原函数,
令
则
说明为的原函数,
第二类积分换元公式例16 求
解：令
例17 求
解：令,，
例18 求
解：令，，
说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是化掉根式.
一般规律如下：当被积函数中含有
，可令
，可令
，可令
说明(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.
也可以化掉根式例中,令，
说明(3) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.
例19 求 （三角代换很繁琐）
解：令
例20 求
解：令
说明(4) 当分母的阶较高时,可采用倒代换
例21 求
解：令
例22 求 （分母的阶较高）
解：令
说明(5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）
例23 求
解：令
基本积分表
三、小结两类积分换元法：
（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)
思考题求积分
思考题解答
