章节题目
第七节 曲线的凹凸与拐点
内容提要
曲线凹凸的定义曲线凹凸的判定曲线的拐点及其求法
重点分析
曲线凹凸的判定曲线拐点的求法
难点分析
曲线拐点的求法
习题布置
：2、4
备注
教 学 内 容
一、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?
 
图形上任意弧段位于所张弦的下方 图形上任意弧段位于所张弦的上方定义：



二、曲线凹凸的判定

定理1

例1：

解：


注意到,
三、曲线的拐点及其求法
1.定义,连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
2.拐点的求法定理2 如果在内存在二阶导数,则点是拐点的必要条件是.
证, 
 
 

方法1:


例2 
解：
 
 



方法2,
例3 
解：  
 
   

 
注意,
例4 
解：  

 
 

四、小结曲线的弯曲方向——凹凸性;
凹凸性的判定.
改变弯曲方向的点——拐点;
拐点的求法1,2.
思考题设在内二阶可导，且，其中，则是否一定为曲线的拐点？举例说明.
思考题解答因为只是为拐点的必要条件，故不一定是拐点.
例：  但并不是曲线的拐点.