章节题目
第三节 泰勒（Tylor）公式
内容提要
泰勒(Taylor)公式麦克劳林(Maclaurin)公式泰勒中值定理与拉格朗日中值定理的联系函数的展开利用泰勒公式求极限
重点分析
泰勒(Taylor)公式、麦克劳林(Maclaurin)公式的应用
难点分析
求函数的n阶泰勒公式、麦克劳林公式
习题布置
：1、3、8
备注
教 学 内 容
一、问题的提出
1.设在处连续,则有
 []
2.设在处可导,则有


例如,当很小时,,
（如下图）

不足,1、精确度不高；2、误差不能估计。
问题,寻找函数,使得
误差  可估计设函数在含有的开区间内具有直到阶导数,为多项式函数

误差 
二、和的确定分析:1.若在点相交
2.若有相同的切线
3.若弯曲方向相同 
近似程度越来越好

假设 
  
 
得 
代入中得

三、泰勒(Taylor)中值定理泰勒(Taylor)中值定理 如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数,则当在内时,可以表示为的一个次多项式与一个余项之和:

其中(在与之间).
证明,由假设,在内具有直到阶导数,且

两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
 
两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得


如此下去,经过次后,得
(,也在与之间)

则由上式得


称为按的幂展开的n次近似多项式

称为按的幂展开的n阶泰勒公式
拉格朗日形式的余项

皮亚诺形式的余项

注意:
1、当时,泰勒公式变成拉氏中值公式

2.取,
在与之间,令 则余项 
麦克劳林(Maclaurin)公式


四、简单的应用例1 求的阶麦克劳林公式.
解：

，代入公式,得

由公式可知
估计误差


其误差 
常用函数的麦克劳林公式





例2 计算 .
解：



五、小结
1.Taylor公式在近似计算中的应用;
2.Taylor公式的数学思想---局部逼近.
思考题利用泰勒公式求极限
思考题解答
，