章节题目
第四节、几种特殊类型函数的积分
内容提要
有理函数的积分三角函数有理式的积分简单无理函数的积分
重点分析
有理函数的积分
难点分析
如何将有理函数化为部分分式之和
习题布置
：单数
备注
教 学 内 容
一、有理函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.
其中、都是非负整数；及都是实数，
并且，.
假定分子与分母之间没有公因式
这有理函数是真分式；
这有理函数是假分式；
利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.
例
难点：将有理函数化为部分分式之和.
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
分母中若有因式,则分解后为
其中都是常数.
特殊地：分解后为
（2）分母中若有因式，其中则分解后为
其中都是常数.
特殊地：分解后为
真分式化为部分分式之和的待定系数法例1
解：
例2
解：
代入特殊值来确定系数，取 ，取
取并将A,B值代入(1)
例3
整理得
例4 求积分
解：
例5 求积分
解：
例6 求积分
解：令
说明：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：
多项式；
讨论积分
令记
则
这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.
结论：有理函数的原函数都是初等函数
二、三角函数有理式的积分三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为
令，，（万能置换公式）
例7 求积分
解：由万能置换公式 ,
（）
例8 求积分
解（一）
解（二）修改万能置换公式,令
解（三）可以不用万能置换公式.
结论：比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.
例9 求积分
三、简单无理函数的积分讨论类型：
解决方法：作代换去掉根号.
例10 求积分
解：令，
例11 求积分
解：令
说明：无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.
例12 求积分
先对分母进行有理化原式
四、小结有理式分解成部分分式之和的积分,（注意：必须化成真分式）
三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）
简单无理式的积分.
思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？
思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式.
第四节、几种特殊类型函数的积分
内容提要
有理函数的积分三角函数有理式的积分简单无理函数的积分
重点分析
有理函数的积分
难点分析
如何将有理函数化为部分分式之和
习题布置
：单数
备注
教 学 内 容
一、有理函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.
其中、都是非负整数；及都是实数，
并且，.
假定分子与分母之间没有公因式
这有理函数是真分式；
这有理函数是假分式；
利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.
例
难点：将有理函数化为部分分式之和.
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
分母中若有因式,则分解后为
其中都是常数.
特殊地：分解后为
（2）分母中若有因式，其中则分解后为
其中都是常数.
特殊地：分解后为
真分式化为部分分式之和的待定系数法例1
解：
例2
解：
代入特殊值来确定系数，取 ，取
取并将A,B值代入(1)
例3
整理得
例4 求积分
解：
例5 求积分
解：
例6 求积分
解：令
说明：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：
多项式；
讨论积分
令记
则
这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.
结论：有理函数的原函数都是初等函数
二、三角函数有理式的积分三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为
令，，（万能置换公式）
例7 求积分
解：由万能置换公式 ,
（）
例8 求积分
解（一）
解（二）修改万能置换公式,令
解（三）可以不用万能置换公式.
结论：比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.
例9 求积分
三、简单无理函数的积分讨论类型：
解决方法：作代换去掉根号.
例10 求积分
解：令，
例11 求积分
解：令
说明：无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.
例12 求积分
先对分母进行有理化原式
四、小结有理式分解成部分分式之和的积分,（注意：必须化成真分式）
三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）
简单无理式的积分.
思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？
思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式.
