章节题目
第二节、平面图形的面积
内容提要
直角坐标系下平面图形的面积参数方程形式下平面图形的面积极坐标系下平面图形的面积.
重点分析
如何求平面图形的面积
难点分析
求平面图形的面积时积分变量的选取求平面图形的面积时坐标系的选取
习题布置
：2、5、8、10
备注
教 学 内 容
一、直角坐标系情形

曲边梯形的面积

曲边梯形的面积
例1 计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.

解,两曲线的交点,选为积分变量
面积元素
  
例2 计算由曲线和所围成的图形的面积.

解：两曲线的交点 
选为积分变量，
 
 
于是所求面积
 

说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
问题：积分变量只能选吗？
例3 计算由曲线和直线所围成的图形的面积.
解：两曲线的交点 
选为积分变量  

如果曲边梯形的曲边为参数方程
曲边梯形的面积（其中和对应曲线起点与终点的参数值）
在[,]（或[,]）上具有连续导数，连续.
例4 求椭圆的面积.

解：椭圆的参数方程
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
   
二、极坐标系情形设由曲线及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里，在上连续，且．面积元素：，曲边扇形的面积：

例5 求双纽线所围平面图形的面积.

解：由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积
 
例6 求心形线所围平面图形的面积.


利用对称性知 
 
三、小结求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.
（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）
思考题设曲线过原点及点，且为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与轴和曲线围成的面积是另一条平行线与轴和曲线围成的面积的两倍，求曲线方程.
思考题解答

 ,
 
两边同时对求导
 
积分得
因为曲线过点 
 因为为单调函数所以所求曲线为