章节题目
第五节 曲面及其方程
内容提要
曲面方程的概念
旋转曲面的概念及求法柱面的概念
重点分析
已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程已知坐标间的关系式，研究曲面形状
难点分析
旋转曲面的求法
习题布置
：1、3、5、8（4）、10
备注
教 学 内 容
一、曲面方程的概念曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面与三元方程有下述关系：
(1) 曲面上任一点的坐标都满足方程；
(2）不在曲面上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程的图形．
以下给出几例常见的曲面.
例1 建立球心在点、半径为的球面方程.
解 设是球面上任一点，
根据题意有
所求方程为
特殊地：球心在原点时方程为
例2 求与原点及的距离之比为的点的全体所组成的曲面方程.
解 设是曲面上任一点，
根据题意有
所求方程为:
例3 已知，，求线段的垂直平分面的方程.
解 设是所求平面上任一点，
根据题意有
化简得所求方程
例4 方程 的图形是怎样的？
解 根据题意有
用平面去截图形得圆：
当平面上下移动时，得到一系列圆圆心在，半径为
半径随的增大而增大,图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论柱面、二次曲面）
二、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴．
旋转过程中的特征：如图
（2）点到轴的距离
将 代入
得方程
坐标面上的已知曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程.
同理：坐标面上的已知曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程为
例5 直线绕另一条与相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为轴，半顶角为的圆锥面方程．
解 面上直线方程为
圆锥面方程
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线分别绕轴和轴；
绕轴旋转
绕轴旋转
(旋转双曲面)
（2）椭圆绕轴和轴；
绕轴旋转
绕轴旋转
(旋转椭球面)
（3）抛物线绕轴；
(旋转抛物面)
三、柱面定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.
观察柱面的形成过程:
柱面举例
从柱面方程看柱面的特征：
只含而缺的方程，在空间直角坐标系中表示母线平行于轴的柱面，其准线为面上曲线.
实 例, 椭圆柱面 // 轴
双曲柱面 // 轴
抛物柱面 // 轴
四、小结曲面方程的概念
旋转曲面的概念及求法.
柱面的概念(母线、准线).
思考题指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？
思考题解答
第五节 曲面及其方程
内容提要
曲面方程的概念
旋转曲面的概念及求法柱面的概念
重点分析
已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程已知坐标间的关系式，研究曲面形状
难点分析
旋转曲面的求法
习题布置
：1、3、5、8（4）、10
备注
教 学 内 容
一、曲面方程的概念曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面与三元方程有下述关系：
(1) 曲面上任一点的坐标都满足方程；
(2）不在曲面上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程的图形．
以下给出几例常见的曲面.
例1 建立球心在点、半径为的球面方程.
解 设是球面上任一点，
根据题意有
所求方程为
特殊地：球心在原点时方程为
例2 求与原点及的距离之比为的点的全体所组成的曲面方程.
解 设是曲面上任一点，
根据题意有
所求方程为:
例3 已知，，求线段的垂直平分面的方程.
解 设是所求平面上任一点，
根据题意有
化简得所求方程
例4 方程 的图形是怎样的？
解 根据题意有
用平面去截图形得圆：
当平面上下移动时，得到一系列圆圆心在，半径为
半径随的增大而增大,图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论柱面、二次曲面）
二、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴．
旋转过程中的特征：如图
（2）点到轴的距离
将 代入
得方程
坐标面上的已知曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程.
同理：坐标面上的已知曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程为
例5 直线绕另一条与相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为轴，半顶角为的圆锥面方程．
解 面上直线方程为
圆锥面方程
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线分别绕轴和轴；
绕轴旋转
绕轴旋转
(旋转双曲面)
（2）椭圆绕轴和轴；
绕轴旋转
绕轴旋转
(旋转椭球面)
（3）抛物线绕轴；
(旋转抛物面)
三、柱面定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.
观察柱面的形成过程:
柱面举例
从柱面方程看柱面的特征：
只含而缺的方程，在空间直角坐标系中表示母线平行于轴的柱面，其准线为面上曲线.
实 例, 椭圆柱面 // 轴
双曲柱面 // 轴
抛物柱面 // 轴
四、小结曲面方程的概念
旋转曲面的概念及求法.
柱面的概念(母线、准线).
思考题指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？
思考题解答
