章节题目
第二节 二重积分的计算法（2）
内容提要
利用极坐标系计算二重积分
重点分析
利用极坐标系计算二重积分
难点分析
极坐标系下二重积分化为二次积分时积分限的确定
习题布置
 2（单）、3（单）、4（单）、5（单）、8
备注
教 学 内 容
一、利用极坐标系计算二重积分




二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图

 
 
区域特征如图

 
 
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图

 
 
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图

  
 
极坐标系下区域的面积
例1 写出积分的极坐标二次积分形式，其中积分区域 .
解 在极坐标系下
所以圆方程为 ,
直线方程为,
 

例2 计算，其中D 是由中心在原点，半径为的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
D：，.
 

例3 求广义积分.

解 


显然有 


又
 


同理 


当时, 
故当时,即,
所求广义积分 .
例4 计算，其 D为由圆 ，及直线, 所围成的平面闭区域.
解

 
 
 
 
  
例5 计算二重积分,其中积分区域为
.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，

注意：被积函数也要有对称性.


例6 求曲线  和所围成的图形的面积.
解 根据对称性有 

在极坐标系下

 
由,得交点,
所求面积 
 
二、小结二重积分在极坐标下的计算公式




（在积分中注意使用对称性）
思考题交换积分次序:
思考题解答