章节题目
第七节 平面及其方程
内容提要
平面的方程,点法式方程、一般方程、截距式方程两平面的夹角点到平面的距离公式
重点分析
求平面的法向量两平面的位置关系点与平面的距离
难点分析
平面方程的确定
习题布置
：3、6、7、8
备注
教 学 内 容
一、平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．
法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．

已知 
设平面上的任一点为
必有  

 平面的点法式方程其中法向量已知点
平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．
例1求过三点、和的平面方程.

解，
取 
所求平面方程为
化简得
例2 求过点，且垂直于和的平面方程.
解  
取法向量 
所求平面方程为
化简得
二、平面的一般方程由平面的点法式方程


平面的一般方程法向量
平面一般方程的几种特殊情况：
平面通过坐标原点；
 
平面通过  轴；平面平行于  轴；
类似地可讨论情形.
平面平行于 坐标面；
类似地可讨论 情形.
例3 设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程.
解 设平面为
由平面过原点知
由平面过点知
 
所求平面方程为
例4 设平面与三轴分别交于、、（其中，，），求此平面方程.
解 设平面为
将三点坐标代入得
   
将  代入所设方程得
平面的截距式方程
a:轴上截距
b:y轴上截距
c:轴上截距例5 求平行于平面而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.

解 设平面为
 
由所求平面与已知平面平行得
（向量平行的充要条件）

化简得令
  代入体积式
 

所求平面方程为
三、两平面的夹角定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角,（通常取锐角）



 
按照两向量夹角余弦公式有

两平面夹角余弦公式两平面位置特征：
 
 
例6 研究以下各组里两平面的位置关系：



解 
两平面相交，夹角
  
两平面平行

两平面平行但不重合．
 两平面平行

两平面重合.
例7 设是平面外一点，求到平面的距离.

解 










 
  
点到平面距离公式
四、小结平面的方程,点法式方程,一般方程,截距式方程.
（熟记平面的几种特殊位置的方程）
两平面的夹角,（注意两平面的位置特征）
点到平面的距离公式.
思考题若平面与平面的夹角为，求
思考题解答