章节题目
第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
内容提要
利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
重点分析
利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
难点分析
利用柱面坐标计算三重积分时积分限的确定
习题布置
 1、2、3（单）、6（3）、8（3）
备注
教 学 内 容
一、利用柱面坐标计算三重积分

规定：  

如图，三坐标面分别为

圆柱面；
半平面；
平面．
柱面坐标与直角坐标的关系为
如图，柱面坐标系中的体积元素为



例1、计算，其中是球面 与抛物面 所围的立体.
解 由 ,知交线为 


 

例２　计算 ,其中是曲线 ， 绕轴旋转一周而成的曲面与两平面所围的立体.
解 由 绕  轴旋转得，旋转面方程为
所围成的立体如图,

所围成立体的投影区域如图,

 

 



原式.
二、利用球面坐标计算三重积分

规定：  
如图，三坐标面分别为

球 面；
圆锥面；
半平面．
如图，



球面坐标与直角坐标的关系为

如图，

球面坐标系中的体积元素为

例3 计算 ，其中是锥面,与平面 所围的立体.
解1 采用球面坐标
   




解2 采用柱面坐标
 




例4 求曲面与所围 成的立体体积.
解 由锥面和球面围成，采用球面坐标，
由 


由三重积分的性质知 ,

 

补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：
１、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．
一般地，当积分区域关于平面对称，且被积函数是关于的奇函数，则三重积分为零，若被积函数是关于的偶函数，则三重积分为在平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.
例５　利用对称性简化计算其中积分区域.
解 积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是Z的奇函数,


例6 计算其中是由抛物面 和球面所围成的空间闭区域.
解
其中是关于的奇函数,且关于面对称,
,
同理  是关于的奇函数,且关于面对称,

由对称性知 ,
则
在柱面坐标下：
  
投影区域 ：



三、小结三重积分换元法,柱面坐标; 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
（2） 球面坐标的体积元素
（3） 对称性简化运算
思考题




思考题答案:Z,Z,2