章节题目
第二节 可分离变量的微分方程
内容提要
可分离变量的微分方程：
可分离变量的微分方程解法
重点分析
可分离变量的微分方程通解的求法
难点分析
通解的求法中的不定积分
习题布置
 1（单）、2（单）、6、7
备注
教 学 内 容
一、可分离变量的微分方程
 可分离变量的微分方程.
 
解法 设函数和是连续的, 分离变量法设函数和是依次为和的原函数,
为微分方程的解.
二、典型例题例1 求解微分方程
解 分离变量
两端积分 


解  



通解为 
例3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量成正比,已知,求衰变过程中铀含量随时间变化的规律.
解 由题设条件

  
  
衰变规律例4 有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图),开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.

解 由力学知识得,水从孔口流出的流量为
0.62 流量系数
S 孔口截面面积
g 重力加速度
 

设在微小的时间间隔
水面的高度由h降至 ,


比较(1)和(2)得:
 
即为未知函数的微分方程.


 
所求规律为
例5、某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有 的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的 的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内  的百分比降低到多少?
解 设鼓风机开动后时刻 的含量为
在 内,
的通入量
的排出量
的改变量=的通入量的排出量




6分钟后,车间内 的百分比降低到
三、小结分离变量法步骤:
1.分离变量;
2.两端积分-------隐式通解.
思考题求解微分方程
思考题解答


为所求解.