章节题目
第一节 微分方程的基本概念
内容提要
微分方程的定义微分方程的解、特解、通解微分方程的初值条件积分曲线
重点分析
微分方程的解的概念
难点分析
微分方程的解、特解、通解之间的联系与区别微分方程的初值问题
习题布置
 3、5
备注
教 学 内 容
一、问题的提出例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点处的切线的斜率为,求这曲线的方程.
解 
 
  

例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？
解 
 
 
代入条件后知

故
开始制动到列车完全停住共需
列车在这段时间内行驶了
二、微分方程的定义微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例   
实质,联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.
分类1,常微分方程,偏常微分方程.
微分方程的阶,微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.
分类2:
一阶微分方程 
高阶(n)微分方程

分类3,线性与非线性微分方程.
 
分类4,单个微分方程与微分方程组.

三、主要问题-----求方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之,

微分方程的解的分类：
(1)通解,微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
 
 
(2)特解,确定了通解中任意常数以后的解.
解的图象,微分方程的积分曲线.
通解的图象,积分曲线族.
初始条件,用来确定任意常数的条件.
初值问题,求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶,过定点的积分曲线;
二阶,
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例3 验证:函数是微分方程的解,并求满足初始条件的特解.
解 




 
所求特解为
补充,微分方程的初等解法,初等积分法.
求解微分方程求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来)
四、小结微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;
通解; 初始条件; 特解;
初值问题; 积分曲线;
思考题函数是微分方程的什么解?
思考题解答
 
 
中不含任意常数,
故为微分方程的特解.