章节题目
第四节 函数展开成幂级数
内容提要
泰勒级数、麦克劳林级数函数展开成幂级数
重点分析
如何将函数展开成幂级数熟悉几个常见的幂级数展开式
难点分析
用间接法展开幂级数
习题布置
 2（单）、4、6
备注
教 学 内 容
一、泰勒级数上节例题
存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数问题,1.如果能展开,是什么?
2.展开式是否唯一?
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
定理1 如果函数在内具有任意阶导数,且在内能展开成的幂级数,即 则其系数 
且展开式是唯一的.
证明

逐项求导任意次,得



泰勒系数泰勒系数是唯一的,
定义 如果在点处任意阶可导,则幂级数
称为在点的泰勒级数.
称为在点的麦克劳林级数.
问题
泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定.

在x=0点任意可导,

可见

定理2 在点的泰勒级数,在内收敛于在内.
证明 必要性,



  
充分性 
  


定理3 设在上有定义,,对,恒有 ,则在内可展开成点的泰勒级数.
证明  

  

二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
步骤,


例1 
解  

   
 
由于M的任意性,即得
例2 
解  
  
   
 
例3 
解 
 

   






 
两边积分 
得 
即 
 

 牛顿二项式展开式注意,







2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.
例如

 
 
 
例4 

解  
 

 
 

三、小结
1.如何求函数的泰勒级数;
2.泰勒级数收敛于函数的条件;
3.函数展开成泰勒级数的方法.
思考题什么叫幂级数的间接展开法？
思考题解答从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之.