章节题目
第三节 格林公式及其应用
内容提要
连通区域的概念二重积分与曲线积分的联系格林公式的应用
重点分析
格林公式应用
难点分析
利用格林公式计算积分时，函数在区域D内某点不具有连续偏导数时，如何构造新的闭区域利用格林公式简化二重积分、曲线积分、求平面图形面积
习题布置
 2（3）、3
备注
教 学 内 容
一、区域连通性的分类
设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.
单连通区域

复连通区域

设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G是空间二维单连通域;如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面,则称G为空间一维单连通区域.
一维单连通二维单连通 一维单连通二维不连通
 
一维不连通二维单连通

二、格林公式
定理1设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数在上具有一阶连续偏导数,则有 (1)
其中是的取正向的边界曲线,公式(1)叫做格林公式.




证明(1)


若区域既是型又是型,即平行于坐标轴的直线和至多交于两点.







同理可证
两式相加得
证明(2)

若区域由按段光滑的闭曲线围成.如图,
将分成三个既是型又是型的区域,,.





证明(3)

若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段AB,CE.则的边界曲线由AB,,BA,
AFC,CE,,EC及CGA构成.
由(2)知
 

 
格林公式的实质,沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系.
便于记忆形式,.
三、简单应用
1,简化曲线积分例1 计算,其中曲线是半径为的圆在第一象限部分.

解 引入辅助曲线,
应用格林公式, 有
 


2,简化二重积分例2 计算,其中是以为顶点的三角形闭区域.

解 令,则 ,
应用格林公式,有

例3 计算,其中为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,的方向为逆时针方向.


解 记所围成的闭区域为,
令,
则当时,有.
(1) 当时,由格林公式知
(2) 当时,作位于内圆周 ,记由和所围成,
应用格林公式,得


(其中的方向取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
3,计算平面面积格林公式,
取 得
闭区域的面积 .
取 得 
取 得 
例4 计算抛物线与轴所围成的面积.

解 为直线.曲线由函数表示,



四、小结
1.连通区域的概念;
2.二重积分与曲线积分的关系
——格林公式;
3,格林公式的应用.
思考题若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。


思考题解答
由两部分组成外边界：
内边界：