章节题目
第三节 格林公式及其应用（2）
内容提要
曲线积分与路径无关的定义、条件二元函数的全微分求积
重点分析
曲线积分与路径无关的判定全微分函数的计算
难点分析
积分与路径无关的四个等价命题
习题布置
 4（3）、5（单）、6（单）
备注
教 学 内 容
一、曲线积分与路径无关的定义如果在区域G内有


则称曲线积分在内与路径无关,否则与路径有关.
二、曲线积分与路径无关的条件
定理2 设开区域是一个单连通域,函数在内具有一阶连续偏导数,则曲线积分在内与路径无关 （或沿内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是在内恒成立.
有关定理的说明：
(1) 开区域是一个单连通域.
(2) 函数在内具有一阶连续偏导数.
两条件缺一不可三、二元函数的全微分求积定理3 设开区域是一个单连通域,函数在内具有一阶连续偏导数,则在内为某一函数的全微分的充要条件是等式在内恒成立.




例1 计算 .其中L为由点到点的曲线弧.
解 ,
，原积分与路径无关故原式 
例2 设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且,计算.
解  
 
积分与路径无关，
由
由，知.
故  
四、小结与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域上具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等价命题