章节题目
第六节 高斯(Gauss)公式通量与散度
内容提要
高 斯 公 式通量与散度
重点分析
利用高斯公式计算曲面积分
难点分析
高斯公式使用的条件及方法
习题布置
 1（单）、2（单）
备注
教 学 内 容
一、高 斯 公 式设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成,函数、、在上具有一阶连续偏导数,则有公式


这里是的整个边界曲面的外侧，是上点处的法向量的方向余弦.

证明 设闭区域在面上的投影区域为.由,和三部分组成,
  柱面根据三重积分的计算法


根据曲面积分的计算法(取下侧,取上侧,取外侧)





同理

和并以上三式得：
------------高斯公式由两类曲面积分之间的关系知

Gauss公式的实质：表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
二、简单的应用例1、计算曲面积分其中Σ为柱面及平面所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.

解 


(利用柱面坐标得)
使用Guass公式时应注意:
1.是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件;
3.Σ是取闭曲面的外侧.
例2 计算曲面积分
,其中Σ为锥面 介于平面 及之间的部分的下侧,是Σ在处的法向量的方向余弦.

解 空间曲面在  面上的投影域为

曲面(不是封闭曲面,为利用高斯公式
 
 







 
故所求积分为

三、物理意义----通量与散度
1,通量的定义:
设有向量场
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为

称为向量场向正侧穿过曲面Σ的通量.
2,散度的定义:
设有向量场,在场内作包围点的闭曲面,包围的区域为,记体积为.若当收缩成点时,极限存在,则称此极限值为在点处的散度,记为.
散度在直角坐标系下的形式


积分中值定理,
两边取极限,

高斯公式可写成



四、小结
1、高斯公式

2、高斯公式的实质
（1）、高斯公式的实质
（2）物理意义
思考题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？
思考题解答曲面应是分片光滑的闭曲面.